2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(福建卷)理 (2)

1、数学试题(理工农医类)(福建卷)第卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013福建,理1)已知复数z的共轭复数z=1+2i(i为虚数单位),则z在复平面内对应的点位于(). a.第一象限b.第二象限c.第三象限d.第四象限答案:d解析:由z=1+2i,得z=1-2i,故复数z对应的点(1,-2)在第四象限.2.(2013福建,理2)已知集合a=1,a,b=1,2,3,则“a=3”是“ab”的().a.充分而不必要条件b.必要而不充分条件c.充分必要条件d.既不充分也不必要条件答案:a解析:若a=3,则

2、a=1,3b,故a=3是ab的充分条件;而若ab,则a不一定为3,当a=2时,也有ab.故a=3不是ab的必要条件.故选a.3.(2013福建,理3)双曲线x24-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于().a.25b.45c.255d.455答案:c解析:双曲线x24-y2=1的顶点为(±2,0),渐近线方程为y=±12x,即x-2y=0和x+2y=0.故其顶点到渐近线的距离d=|±2|1+4=25=255.4.(2013福建,理4)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分成6组:40,50),50,60),60,70),70,80),80,90

3、),90,100加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为().a.588b.480c.450d.120答案:b解析:由频率分布直方图知4060分的频率为(0.005+0.015)×10=0.2,故估计不少于60分的学生人数为600×(1-0.2)=480.5.(2013福建,理5)满足a,b-1,0,1,2,且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为().a.14b.13c.12d.10答案:b解析:a=0时,方程变为2x+b=0,则b为-1,0,1,2都有解;a0时,

4、若方程ax2+2x+b=0有实数解,则=22-4ab0,即ab1.当a=-1时,b可取-1,0,1,2.当a=1时,b可取-1,0,1.当a=2时,b可取-1,0,故满足条件的有序对(a,b)的个数为4+4+3+2=13.6.(2013福建,理6)阅读如图所示的程序框图,若输入的k=10,则该算法的功能是().a.计算数列2n-1的前10项和b.计算数列2n-1的前9项和c.计算数列2n-1的前10项和d.计算数列2n-1的前9项和答案:a解析:当k=10时,执行程序框图如下:s=0,i=1;s=1,i=2;s=1+2,i=3;s=1+2+22,i=4;s=1+2+22+28,i=10;s=1

5、+2+22+29,i=11.7.(2013福建,理7)在四边形abcd中,ac=(1,2),bd=(-4,2),则该四边形的面积为().a.5b.25c.5d.10答案:c解析:ac·bd=1×(-4)+2×2=0,acbd.又|ac|=1+22=5,|bd|=(-4)2+22=16+4=25,s四边形abcd=12|ac|bd|=5.8.(2013福建,理8)设函数f(x)的定义域为r,x0(x00)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是().a.xr,f(x)f(x0)b.-x0是f(-x)的极小值点c.-x0是-f(x)的极小值点d.-x0是-f(-x)

6、的极小值点答案:d解析:选项a,由极大值的定义知错误;对于选项b,函数f(x)与f(-x)的图象关于y轴对称,-x0应是f(-x)的极大值点,故不正确;对于c选项,函数f(x)与-f(x)图象关于x轴对称,x0应是-f(x)的极小值点,故不正确;而对于选项d,函数f(x)与-f(-x)的图象关于原点成中心对称,故正确.9.(2013福建,理9)已知等比数列an的公比为q,记bn=am(n-1)+1+am(n-1)+2+am(n-1)+m,cn=am(n-1)+1·am(n-1)+2··am(n-1)+m(m,nn*),则以下结论一定正确的是().a.数列bn为等差

7、数列,公差为qmb.数列bn为等比数列,公比为q2mc.数列cn为等比数列,公比为qm2d.数列cn为等比数列,公比为qmm答案:c解析:an是等比数列,amn+mam(n-1)+m=qmn+m-m(n-1)-m=qm,cn+1cn=amn+1·amn+2··amn+mam(n-1)+1·am(n-1)+2··am(n-1)+m=(qm)m=qm2.10.(2013福建,理10)设s,t是r的两个非空子集,如果存在一个从s到t的函数y=f(x)满足:(1)t=f(x)|xs;(2)对任意x1,x2s,当x1<x2时,恒有f(x1

8、)<f(x2),那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是().a.a=n*,b=nb.a=x|-1x3,b=x|x=-8或0<x10c.a=x|0<x<1,b=rd.a=z,b=q答案:d解析:由题意(1)可知,s为函数y=f(x)的定义域,t为函数y=f(x)的值域.由(2)可知,函数y=f(x)在定义域内单调递增,对于a,可构造函数y=x-1,xn*,yn,满足条件;对于b,构造函数y=-8,x=-1,52(x+1),-1<x3,满足条件;对于c,构造函数y=tan2x-2,x(0,1),满足条件;对于d,无法构造函数其定义域为z,值域为q

9、且递增的函数,故选d.第卷(非选择题共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.11.(2013福建,理11)利用计算机产生01之间的均匀随机数a,则事件“3a-1>0”发生的概率为. 答案:23解析:由3a-1>0得a>13,由几何概型知p=1-131=23.12.(2013福建,理12)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体,如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是. 答案:12解析:由题意知该几何体是一个正方体内接于球构成的组合体,球的直径2r=

10、22+22+22=12,所以r=3,故该球的表面积为s球=4r2=4×3=12.13.(2013福建,理13)如图,在abc中,已知点d在bc边上,adac,sinbac=223,ab=32,ad=3,则bd的长为. 答案:3解析:adac,dac=2.sinbac=223,sinbad+2=223,cosbad=223.由余弦定理得bd2=ab2+ad2-2ab·ad·cosbad=(32)2+32-2×32×3×223=3.bd=3.14.(2013福建,理14)椭圆:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左

11、、右焦点分别为f1,f2,焦距为2c.若直线y=3(x+c)与椭圆的一个交点m满足mf1f2=2mf2f1,则该椭圆的离心率等于. 答案:3-1解析:由直线y=3(x+c)知其倾斜角为60°,由题意知mf1f2=60°,则mf2f1=30°,f1mf2=90°.故|mf1|=c,|mf2|=3c.又|mf1|+|mf2|=2a,(3+1)c=2a,即e=23+1=3-1.15.(2013福建,理15)当xr,|x|<1时,有如下表达式:1+x+x2+xn+=11-x.两边同时积分得:012 1dx+012 xdx+012 x2dx+012

12、 xndx+=012 11-xdx,从而得到如下等式:1×12+12×122+13×123+1n+1×12n+1+=ln 2.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法,计算:cn0×12+12cn1×122+13cn2×123+1n+1cnn×12n+1=. 答案:1n+132n+1-1解析:由cn0+cn1x+cn2x2+cnnxn=(1+x)n,两边同时积分得:cn0012 1dx+cn1012 xdx+cn2012 x2dx+cnn012 xndx=012 (1+x)ndx,12cn0+12cn1122+

13、13cn2123+1n+1cnn12n+1=1n+1(1+x)n+1|012=1n+11+12n+1-1n+1=1n+132n+1-1.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(2013福建,理16)(本小题满分13分)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为23,中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为25,中奖可以获得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为x,求x3的概率;(2)若小明、小红两人

14、都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大?解法一:(1)由已知得,小明中奖的概率为23,小红中奖的概率为25,且两人中奖与否互不影响.记“这2人的累计得分x3”的事件为a,则事件a的对立事件为“x=5”,因为p(x=5)=23×25=415,所以p(a)=1-p(x=5)=1115,即这2人的累计得分x3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为x1,都选择方案乙抽奖中奖次数为x2,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为e(2x1),选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为e(3x2).由已知可得,x1b2,23,x2b2

15、,25,所以e(x1)=2×23=43,e(x2)=2×25=45,从而e(2x1)=2e(x1)=83,e(3x2)=3e(x2)=125.因为e(2x1)>e(3x2),所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大.解法二:(1)由已知得,小明中奖的概率为23,小红中奖的概率为25,且两人中奖与否互不影响.记“这2人的累计得分x3”的事件为a,则事件a包含有“x=0”,“x=2”,“x=3”三个两两互斥的事件,因为p(x=0)=1-23×1-25=15,p(x=2)=23×1-25=25,p(x=3)=1-23×25=215

16、,所以p(a)=p(x=0)+p(x=2)+p(x=3)=1115,即这2人的累计得分x3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为x1,都选择方案乙所获得的累计得分为x2,则x1,x2的分布列如下:x1024p194949x2036p9251225425所以e(x1)=0×19+2×49+4×49=83,e(x2)=0×925+3×1225+6×425=125.因为e(x1)>e(x2),所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大.17.(2013福建,理17)(本小题满分13分)已知函数f

17、(x)=x-aln x(ar).(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点a(1,f(1)处的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.解:函数f(x)的定义域为(0,+),f'(x)=1-ax.(1)当a=2时,f(x)=x-2ln x,f'(x)=1-2x(x>0),因而f(1)=1,f'(1)=-1,所以曲线y=f(x)在点a(1,f(1)处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.(2)由f'(x)=1-ax=x-ax,x>0知:当a0时,f'(x)>0,函数f(x)为(0,+)上的增函数,函数f(x)无极值;当a>0

18、时,由f'(x)=0,解得x=a.又当x(0,a)时,f'(x)<0;当x(a,+)时,f'(x)>0,从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln a,无极大值.综上,当a0时,函数f(x)无极值;当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值.18.(2013福建,理18)(本小题满分13分)如图,在正方形oabc中,o为坐标原点,点a的坐标为(10,0),点c的坐标为(0,10).分别将线段oa和ab十等分,分点分别记为a1,a2,a9和b1,b2,b9.连结obi,过ai作x轴的垂线与obi交于点p

19、i(in*,1i9).(1)求证:点pi(in*,1i9)都在同一条抛物线上,并求该抛物线e的方程;(2)过点c作直线l与抛物线e交于不同的两点m,n,若ocm与ocn的面积比为41,求直线l的方程.解法一:(1)依题意,过ai(in*,1i9)且与x轴垂直的直线方程为x=i,bi的坐标为(10,i),所以直线obi的方程为y=i10x.设pi的坐标为(x,y),由x=i,y=i10x,得y=110x2,即x2=10y.所以点pi(in*,1i9)都在同一条抛物线上,且抛物线e的方程为x2=10y.(2)依题意,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+10.由y=kx+10,x2=10y,

20、得x2-10kx-100=0,此时=100k2+400>0,直线l与抛物线e恒有两个不同的交点m,n.设m(x1,y1),n(x2,y2),则x1+x2=10k,x1·x2=-100,因为socm=4socn,所以|x1|=4|x2|.又x1·x2<0,所以x1=-4x2,分别代入和,得-3x2=10k,-4x22=-100,解得k=±32.所以直线l的方程为y=±32x+10,即3x-2y+20=0或3x+2y-20=0.解法二:(1)点pi(in*,1i9)都在抛物线e:x2=10y上.证明如下:过ai(in*,1i9)且与x轴垂直的直线

21、方程为x=i,bi的坐标为(10,i),所以直线obi的方程为y=i10x.由x=i,y=i10x,解得pi的坐标为i,i210,因为点pi的坐标都满足方程x2=10y,所以点pi(in*,1i9)都在同一条抛物线上,且抛物线e的方程为x2=10y.(2)同解法一.19.(2013福建,理19)(本小题满分13分)如图,在四棱柱abcda1b1c1d1中,侧棱aa1底面abcd,abdc,aa1=1,ab=3k,ad=4k,bc=5k,dc=6k(k>0).(1)求证:cd平面add1a1;(2)若直线aa1与平面ab1c所成角的正弦值为67,求k的值;(3)现将与四棱柱abcda1b1

22、c1d1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的四棱柱.规定:若拼接成的新四棱柱形状和大小完全相同,则视为同一种拼接方案.问:共有几种不同的拼接方案?在这些拼接成的新四棱柱中,记其中最小的表面积为f(k),写出f(k)的解析式.(直接写出答案,不必说明理由).解:(1)取cd的中点e,连结be.abde,ab=de=3k,四边形abed为平行四边形,bead且be=ad=4k.在bce中,be=4k,ce=3k,bc=5k,be2+ce2=bc2,bec=90°,即becd,又bead,cdad.aa1平面abcd,cd平面abcd,aa1cd.又aa1ad=a,cd平面add1

23、a1.(2)以d为原点,da,dc,dd1的方向为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则a(4k,0,0),c(0,6k,0),b1(4k,3k,1),a1(4k,0,1),所以ac=(-4k,6k,0),ab1=(0,3k,1),aa1=(0,0,1).设平面ab1c的法向量n=(x,y,z),则由ac·n=0,ab1·n=0,得-4kx+6ky=0,3ky+z=0.取y=2,得n=(3,2,-6k).设aa1与平面ab1c所成角为,则sin =|cos<aa1,n>|=aa1·n|aa1|·|n|=6k36k2+13=67,

24、解得k=1,故所求k的值为1.(3)共有4种不同的方案.f(k)=72k2+26k,0<k518,36k2+36k,k>518.20.(2013福建,理20)(本小题满分14分)已知函数f(x)=sin(x+)(>0,0<<)的周期为,图象的一个对称中心为4,0.将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得到的图象向右平移2个单位长度后得到函数g(x)的图象.(1)求函数f(x)与g(x)的解析式;(2)是否存在x06,4,使得f(x0),g(x0),f(x0)g(x0)按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定x0的个数;若不存在,说明

25、理由;(3)求实数a与正整数n,使得f(x)=f(x)+ag(x)在(0,n)内恰有2 013个零点.解法一:(1)由函数f(x)=sin(x+)的周期为,>0,得=2t=2.又曲线y=f(x)的一个对称中心为4,0,(0,),故f4=sin2×4+=0,得=2,所以f(x)=cos 2x.将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y=cos x的图象,再将y=cos x的图象向右平移2个单位长度后得到函数g(x)=cosx-2的图象,所以g(x)=sin x.(2)当x6,4时,12<sin x<22,0<cos 2x<12

26、,所以sin x>cos 2x>sin xcos 2x.问题转化为方程2cos 2x=sin x+sin xcos 2x在6,4内是否有解.设g(x)=sin x+sin xcos 2x-2cos 2x,x6,4,则g'(x)=cos x+cos xcos 2x+2sin 2x(2-sin x).因为x6,4,所以g'(x)>0,g(x)在6,4内单调递增.又g6=-14<0,g4=22>0,且函数g(x)的图象连续不断,故可知函数g(x)在6,4内存在唯一零点x0,即存在唯一的x06,4满足题意.(3)依题意,f(x)=asin x+cos 2x

27、,令f(x)=asin x+cos 2x=0.当sin x=0,即x=k(kz)时,cos 2x=1,从而x=k(kz)不是方程f(x)=0的解,所以方程f(x)=0等价于关于x的方程a=-cos2xsinx,xk(kz).现研究x(0,)(,2)时方程a=-cos2xsinx的解的情况.令h(x)=-cos2xsinx,x(0,)(,2),则问题转化为研究直线y=a与曲线y=h(x),x(0,)(,2)的交点情况.h'(x)=cosx(2sin2x+1)sin2x,令h'(x)=0,得x=2或x=32.当x变化时,h'(x),h(x)的变化情况如下表:x0,222,3

28、23232,2h'(x)+0-0+h(x)1-1当x>0且x趋近于0时,h(x)趋向于-,当x<且x趋近于时,h(x)趋向于-,当x>且x趋近于时,h(x)趋向于+,当x<2且x趋近于2时,h(x)趋向于+.故当a>1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,)内无交点,在(,2)内有2个交点;当a<-1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,)内有2个交点,在(,2)内无交点;当-1<a<1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,)内有2个交点,在(,2)内有2个交点.由函数h(x)的周期性,可知当a±1时,直线y=a与曲线y=

29、h(x)在(0,n)内总有偶数个交点,从而不存在正整数n,使得直线y=a与曲线y=h(x)在(0,n)内恰有2 013个交点;又当a=1或a=-1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,)(,2)内有3个交点,由周期性,2 013=3×671,所以依题意得n=671×2=1 342.综上,当a=1,n=1 342或a=-1,n=1 342时,函数f(x)=f(x)+ag(x)在(0,n)内恰有2 013个零点.解法二:(1)、(2)同解法一.(3)依题意,f(x)=asin x+cos 2x=-2sin2x+asin x+1.现研究函数f(x)在(0,2上的零点的情况.设t

30、=sin x,p(t)=-2t2+at+1(-1t1),则函数p(t)的图象是开口向下的抛物线,又p(0)=1>0,p(-1)=-a-1,p(1)=a-1.当a>1时,函数p(t)有一个零点t1(-1,0)(另一个零点t2>1,舍去),f(x)在(0,2上有两个零点x1,x2,且x1,x2(,2);当a<-1时,函数p(t)有一个零点t1(0,1)(另一个零点t2<-1,舍去),f(x)在(0,2上有两个零点x1,x2,且x1,x2(0,);当-1<a<1时,函数p(t)有一个零点t1(-1,0),另一个零点t2(0,1),f(x)在(0,)和(,2)

31、分别有两个零点.由正弦函数的周期性,可知当a±1时,函数f(x)在(0,n)内总有偶数个零点,从而不存在正整数n满足题意.当a=1时,函数p(t)有一个零点t1(-1,0),另一个零点t2=1;当a=-1时,函数p(t)有一个零点t1=-1,另一个零点t2(0,1),从而当a=1或a=-1时,函数f(x)在(0,2有3个零点.由正弦函数的周期性,2 013=3×671,所以依题意得n=671×2=1 342.综上,当a=1,n=1 342或a=-1,n=1 342时,函数f(x)=f(x)+ag(x)在(0,n)内恰有2 013个零点.21.(2013福建,理21)本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2b铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑,并将所选题号填入括号中.(1)(本