2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(山东卷)理

1、1 / 18 2013年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷山东卷) 数学数学(理科理科) 本试卷分第卷和第卷两部分,共 4 页,满分 150 分.考试用时 120分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上. 2.第卷每小题选出答案后,用 2b铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案不能答在试卷上. 3.第卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不

2、能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式: 如果事件 a,b 互斥,那么 p(a+b)=p(a)+p(b),如果事件 a,b独立,那么 p(ab)=p(a) p(b). 第卷(共 60分) 一、选择题:本大题共 12小题,每小题 5分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2013 山东,理 1)复数 z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位),则 z 的共轭复数为( ). a.2+i b.2-

3、i c.5+i d.5-i 答案:d 2 / 18 解析:由题意得 z-3=52-i=2+i,所以 z=5+i.故=5-i,应选 d. 2.(2013 山东,理 2)已知集合 a=0,1,2,则集合 b=x-y|xa,ya中元素的个数是( ). a.1 b.3 c.5 d.9 答案:c 解析:当 x,y取相同的数时,x-y=0;当 x=0,y=1 时,x-y=-1;当 x=0,y=2 时,x-y=-2;当 x=1,y=0时,x-y=1;当x=2,y=0时,x-y=2;其他则重复.故集合 b中有 0,-1,-2,1,2,共 5 个元素,应选 c. 3.(2013 山东,理 3)已知函数 f(x)

4、为奇函数,且当 x0时,f(x)=x2+1,则 f(-1)=( ). a.-2 b.0 c.1 d.2 答案:a 解析:因为 f(x)是奇函数,故 f(-1)=-f(1)=-(12+11)=-2,应选 a. 4.(2013 山东,理 4)已知三棱柱 abc-a1b1c1的侧棱与底面垂直,体积为94,底面是边长为3的正三角形.若 p 为底面 a1b1c1的中心,则 pa与平面 abc 所成角的大小为( ). a.512 b.3 c.4 d.6 答案:b 解析:如图所示,由棱柱体积为94,底面正三角形的边长为3,可求得棱柱的高为3.设 p 在平面 abc上射影为 o,则可求得 ao长为 1,故 a

5、p长为12+ (3)2=2.故pao=3,即 pa与平面 abc所成的角为3. 5.(2013 山东,理 5)将函数 y=sin(2x+)的图象沿 x轴向左平移8个单位后,得到一个偶函数的图象,则 的一个可能取值为( ). 3 / 18 a.34 b.4 c.0 d.-4 答案:b 解析:函数 y=sin(2x+)的图象向左平移8个单位后变为函数 y=sin2( +8) + =sin(2 +4+ )的图象,又 y=sin(2 +4+ )为偶函数,故4+=2+k,kz,=4+k,kz. 若 k=0,则 =4.故选 b. 6.(2013 山东,理 6)在平面直角坐标系 xoy 中,m为不等式组2x

6、-y-2 0,x + 2y-1 0,3x + y-8 0所表示的区域上一动点,则直线 om 斜率的最小值为( ). a.2 b.1 c.-13 d.-12 答案:c 解析:不等式组表示的区域如图阴影部分所示,结合斜率变化规律,当 m 位于 c点时 om 斜率最小,且为-13,故选 c. 7.(2013 山东,理 7)给定两个命题 p,q,若p 是 q 的必要而不充分条件,则 p是q的( ). a.充分而不必要条件 b.必要而不充分条件 c.充要条件 d.既不充分也不必要条件 答案:a 4 / 18 解析:由题意:qp,p q,根据命题四种形式之间的关系,互为逆否的两个命题同真同假,所以qp,p

7、q等价于pq,qp,所以 p是q 的充分而不必要条件.故选 a. 8.(2013 山东,理 8)函数 y=xcos x+sin x的图象大致为( ). 答案:d 解析:因 f(-x)=-xcos(-x)+sin(-x)=-(xcos x+sin x)=-f(x),故该函数为奇函数,排除 b,又 x(0,2),y0,排除 c,而 x=时,y=-,排除 a,故选 d. 9.(2013 山东,理 9)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1 的两条切线,切点分别为 a,b,则直线 ab 的方程为( ). a.2x+y-3=0 b.2x-y-3=0 c.4x-y-3=0 d.4x+y-3=0 答案:a

8、 解析:该切线方程为 y=k(x-3)+1,即 kx-y-3k+1=0,由圆心到直线距离为|k1-0-3k+1|k2+(-1)2=1,得 k=0或43,切线方程分别与圆方程联立,求得切点坐标分别为(1,1),(95,-35),故所求直线的方程为 2x+y-3=0.故选 a. 10.(2013 山东,理 10)用 0,1,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( ). a.243 b.252 c.261 d.279 答案:b 解析:构成所有的三位数的个数为91101101=900,而无重复数字的三位数的个数为919181=648,故所求个数为 900-648=252,应选 b. 5 /

9、18 11.(2013 山东,理 11)抛物线 c1:y=12px2(p0)的焦点与双曲线 c2:x23-y2=1 的右焦点的连线交 c1于第一象限的点 m.若 c1在点 m处的切线平行于 c2的一条渐近线,则 p=( ). a.316 b.38 c.233 d.433 答案:d 解析:设 m(x0,12px02),y=(12px2)=xp,故在 m 点处的切线的斜率为x0p=33,故 m(33p,16p).由题意又可知抛物线的焦点为(0,p2),双曲线右焦点为(2,0),且(33p,16p),(0,p2),(2,0)三点共线,可求得 p=433,故选 d. 12.(2013 山东,理 12)

10、设正实数 x,y,z 满足 x2-3xy+4y2-z=0,则当xyz取得最大值时,2x+1y2z的最大值为( ). a.0 b.1 c.94 d.3 答案:b 解析:由 x2-3xy+4y2-z=0得x2-3xy+4y2z=12x24y2-3xyz, 即xyz1,当且仅当 x2=4y2时成立,又 x,y 为正实数,故 x=2y.此时将 x=2y代入 x2-3xy+4y2-z=0得z=2y2,所以2x+1y2z=-1y2+2y=-(1y-1)2+1, 当1y=1,即 y=1 时,2x+1y2z取得最大值为 1,故选 b. 第卷(共 90分) 二、填空题:本大题共 4小题,每小题 4分,共 16

11、分. 6 / 18 13.(2013 山东,理 13)执行右面的程序框图,若输入的 的值为 0.25,则输出的 n的值为 . 答案:3 解析:第 1 次运行将 f0+f1赋值给 f1,即将 3 赋值给 f1,然后将 f1-f0赋值给 f0,即将 3-1=2赋值给 f0,n增加 1 变成 2,此时1f1=13比 大,故循环,新 f1为 2+3=5,新 f0为 5-2=3,n 增加 1 变成 3,此时1f1=15,故退出循环,输出 n=3. 14.(2013 山东,理 14)在区间-3,3上随机取一个数 x,使得|x+1|-|x-2|1 成立的概率为 . 答案:13 解析:设 y=|x+1|-|x

12、-2|=3,2x-1,-3,x 2,-1 x 2,x -1,利用函数图象(图略)可知|x+1|-|x-2|1 的解集为1,+).而在-3,3上满足不等式的 x的取值范围为1,3,故所求概率为3-13-(-3)=13. 15.(2013 山东,理 15)已知向量ab 与ac 的夹角为 120 ,且|ab |=3,|ac |=2,若ap =ab + ac ,且ap bc ,则实数 的值为 . 答案:712 解析:ap =ab + ac ,ap bc ,又bc = ac ab ,(ac ab )(ac +ab )=0.ac 2+ab ac ab ac -ab 2=0,即 4+(-1) 3 2 (-1

13、2)-9=0,即 7-12=0,=712. 16.(2013 山东,理 16)定义“正对数”:ln+x=0,0 x 0,b0,则 ln+(ab)=bln+a; 若 a0,b0,则 ln+(ab)=ln+a+ln+b; 若 a0,b0,则 ln+(ab)ln+a-ln+b; 若 a0,b0,则 ln+(a+b)ln+a+ln+b+ln 2. 其中的真命题有 .(写出所有真命题的编号) 答案: 三、解答题:本大题共 6小题,共 74 分. 17.(2013 山东,理 17)(本小题满分 12 分)设abc的内角 a,b,c 所对的边分别为 a,b,c,且a+c=6,b=2,cos b=79. (1

14、)求 a,c的值; (2)求 sin(a-b)的值. 解:(1)由余弦定理 b2=a2+c2-2accos b, 得 b2=(a+c)2-2ac(1+cos b), 又 b=2,a+c=6,cos b=79, 所以 ac=9,解得 a=3,c=3. (2)在abc中,sin b=1-2b =429. 由正弦定理得 sin a=abb=223. 因为 a=c,所以 a为锐角. 所以 cos a=1-2a =13. 因此 sin(a-b)=sin acos b-cos asin b=10227. 8 / 18 18.(2013 山东,理 18)(本小题满分 12 分)如图所示,在三棱锥 p-abq

15、中,pb平面abq,ba=bp=bq,d,c,e,f分别是 aq,bq,ap,bp 的中点,aq=2bd,pd与 eq交于点 g,pc与 fq交于点 h,连接 gh. (1)求证:abgh; (2)求二面角 d-gh-e的余弦值. (1)证明:因为 d,c,e,f 分别是 aq,bq,ap,bp 的中点, 所以 efab,dcab.所以 efdc. 又 ef平面 pcd,dc平面 pcd, 所以 ef平面 pcd. 又 ef平面 efq,平面 efq平面 pcd=gh, 所以 efgh. 又 efab,所以 abgh. (2)解法一:在abq 中,aq=2bd,ad=dq, 所以abq=90

16、,即 abbq. 因为 pb平面 abq, 所以 abpb. 又 bpbq=b, 所以 ab平面 pbq. 9 / 18 由(1)知 abgh,所以 gh平面 pbq. 又 fh平面 pbq,所以 ghfh. 同理可得 ghhc, 所以fhc 为二面角 d-gh-e 的平面角. 设 ba=bq=bp=2,连接 fc, 在 rtfbc中,由勾股定理得 fc=2, 在 rtpbc中,由勾股定理得 pc=5. 又 h 为pbq的重心, 所以 hc=13pc=53. 同理 fh=53. 在fhc中,由余弦定理得 cosfhc=59+59-2259=-45. 故二面角 d-gh-e的余弦值为-45. 解

17、法二:在abq 中,aq=2bd,ad=dq, 所以abq=90 . 又 pb平面 abq, 所以 ba,bq,bp 两两垂直. 以 b 为坐标原点,分别以 ba,bq,bp 所在直线为 x轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 设 ba=bq=bp=2, 10 / 18 则 e(1,0,1),f(0,0,1),q(0,2,0),d(1,1,0),c(0,1,0),p(0,0,2). 所以eq =(-1,2,-1),fq =(0,2,-1), dp =(-1,-1,2),cp =(0,-1,2). 设平面 efq 的一个法向量为 m=(x1,y1,z1), 由 meq =0,mfq

18、 =0, 得-x1+ 2y1-z1= 0,2y1-z1= 0, 取 y1=1,得 m=(0,1,2). 设平面 pdc的一个法向量为 n=(x2,y2,z2), 由 ndp =0,ncp =0, 得-x2-y2+ 2z2= 0,-y2+ 2z2= 0, 取 z2=1,得 n=(0,2,1). 所以 cos=mn|m|n|=45. 因为二面角 d-gh-e 为钝角, 所以二面角 d-gh-e 的余弦值为-45. 19.(2013 山东,理 19)(本小题满分 12分)甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜 3 局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是12外,其余每局比赛甲队获胜的概

19、率都是23.假设各局比赛结果相互独立. (1)分别求甲队以 30,31,32 胜利的概率; (2)若比赛结果为 30或 31,则胜利方得 3分、对方得 0 分;若比赛结果为 32,则胜利方得 2分、对方得 1分,求乙队得分 x 的分布列及数学期望. 解:(1)记“甲队以 30 胜利”为事件 a1,“甲队以 31胜利”为事件 a2,“甲队以 32胜利”为事件 a3, 由题意,各局比赛结果相互独立, 11 / 18 故 p(a1)=(23)3=827, p(a2)=32(23)2(1-23) 23=827, p(a3)=42(23)2(1-23)212=427. 所以,甲队以 30胜利、以 31胜

20、利的概率都为827,以 32胜利的概率为427. (2)设“乙队以 32 胜利”为事件 a4, 由题意,各局比赛结果相互独立, 所以 p(a4)=42(1-23)2(23)2 (1-12) =427. 由题意,随机变量 x 的所有可能的取值为 0,1,2,3, 根据事件的互斥性得 p(x=0)=p(a1+a2)=p(a1)+p(a2)=1627, 又 p(x=1)=p(a3)=427, p(x=2)=p(a4)=427, p(x=3)=1-p(x=0)-p(x=1)-p(x=2)=327. 故 x 的分布列为 x 0 1 2 3 p 1627 427 427 327 所以 ex=01627+1

21、427+2427+3327=79. 12 / 18 20.(2013 山东,理 20)(本小题满分 12 分)设等差数列an的前 n 项和为 sn,且 s4=4s2,a2n=2an+1. (1)求数列an的通项公式; (2)设数列bn的前 n项和为 tn,且 tn+an+12n=(为常数).令 cn=b2n(nn*).求数列cn的前 n 项和 rn. 解:(1)设等差数列an的首项为 a1,公差为 d, 由 s4=4s2,a2n=2an+1得 4a1+ 6d = 8a1+ 4d,a1+ (2n-1)d = 2a1+ 2(n-1)d + 1. 解得 a1=1,d=2. 因此 an=2n-1,nn

22、*. (2)由题意知,tn=-n2n-1, 所以 n2 时,bn=tn-tn-1=-n2n-1+n-12n-2=n-22n-1. 故 cn=b2n=2n-222n-1=(n-1)(14)n-1,nn*. 所以 rn=0 (14)0+1 (14)1+2 (14)2+3 (14)3+(n-1) (14)n-1, 则14rn=0 (14)1+1 (14)2+2 (14)3+(n-2) (14)n-1+(n-1) (14)n, 两式相减得 34rn=(14)1+ (14)2+ (14)3+(14)n-1-(n-1) (14)n =14-(14)n1-14-(n-1) (14)n =131+3n3(14

23、)n, 整理得 rn=19(4-3n+14n-1), 13 / 18 所以数列cn的前 n 项和 rn=19(4-3n+14n-1). 21.(2013 山东,理 21)(本小题满分 13 分)设函数 f(x)=x2x+c(e=2.718 28是自然对数的底数,cr). (1)求 f(x)的单调区间、最大值; (2)讨论关于 x 的方程|ln x|=f(x)根的个数. 解:(1)f(x)=(1-2x)e-2x, 由 f(x)=0,解得 x=12. 当 x0,f(x)单调递增; 当 x12时,f(x)0,则 g(x)=ln x-xe-2x-c, 所以 g(x)=e-2x(2xx+ 2x-1).

24、因为 2x-10,2xx0, 所以 g(x)0. 因此 g(x)在(1,+)上单调递增. 当 x(0,1)时,ln x1x0, 14 / 18 所以-2xx-1.又 2x-11, 所以-2xx+2x-10,即 g(x)0,即 c-e-2时,g(x)没有零点, 故关于 x的方程|ln x|=f(x)根的个数为 0; 当 g(1)=-e-2-c=0,即 c=-e-2时,g(x)只有一个零点, 故关于 x的方程|ln x|=f(x)根的个数为 1; 当 g(1)=-e-2-c-e-2时, 当 x(1,+)时,由(1)知 g(x)=ln x-xe-2x-cln x-(12-1+ c)ln x-1-c,

25、 要使 g(x)0,只需使 ln x-1-c0,即 x(e1+c,+); 当 x(0,1)时,由(1)知 g(x)=-ln x-xe-2x-c-ln x-(12-1+ c)-ln x-1-c, 要使 g(x)0,只需-ln x-1-c0, 即 x(0,e-1-c); 所以 c-e-2时,g(x)有两个零点, 故关于 x的方程|ln x|=f(x)根的个数为 2. 综上所述, 当 c-e-2时,关于 x 的方程|ln x|=f(x)根的个数为 2. 15 / 18 22.(2013 山东,理 22)(本小题满分 13 分)椭圆 c:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别是 f1,f2,

26、离心率为32,过 f1且垂直于 x轴的直线被椭圆 c 截得的线段长为 1. (1)求椭圆 c 的方程; (2)点 p是椭圆 c上除长轴端点外的任一点,连接 pf1,pf2.设f1pf2的角平分线 pm交 c 的长轴于点m(m,0),求 m的取值范围; (3)在(2)的条件下,过点 p作斜率为 k的直线 l,使得 l与椭圆 c有且只有一个公共点.设直线 pf1,pf2的斜率分别为 k1,k2.若 k0,试证明1kk1+1kk2为定值,并求出这个定值. (1)解:由于 c2=a2-b2,将 x=-c代入椭圆方程x2a2+y2b2=1, 得 y=b2a, 由题意知2b2a=1,即 a=2b2. 又 e=ca=32,所以 a=2,b=1. 所以椭圆 c的方程为x24+y2=1. (2)解法一:设 p(x0,y0)(y00). 又 f1(-3,0),f2(3,0), 所以直线 pf1,pf2的方程分别为 lpf1:y0 x-(x0+3)y+3y0=0, lpf2:y0 x-(x0-3)y-3y0=0. 由题意知|my0+3y0|y02+(x0+3)2=|my0-3y0|y02+(x0-3)2. 由于点 p在椭圆上, 所以x024+ y02=1, 16 / 18 所以|m+3|(32x0+2)2=|m-3|(32x0-2)2. 因为-3m3,-2x02, 可得m+332x0+2=3-m2