2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(四川卷)理

1、1 / 17 四川卷四川卷(理科数学理科数学) 1.(2012 四川,理 1)(1+x)7的展开式中 x2的系数是( ). a.42 b.35 c.28 d.21 d 含 x2的项是展开式中的第三项 t3=27cx2=21x2,所以 x2的系数是 21. 2.(2012 四川,理 2)复数2(1 i)2i=( ). a.1 b.-1 c.i d.-i b 2(1 i)2i=21 2ii2i+=2i2i=-1. 3.(2012 四川,理 3)函数 f(x)=29,x3,3ln(2),3xxxx在 x=3 处的极限( ). a.不存在 b.等于 6 c.等于 3 d.等于 0 a 当 x3时,3l

2、imxf(x)=3limxln(x-2)=0. 由于 f(x)在 x=3 处的左极限不等于右极限,所以函数 f(x)在 x=3 处的极限不存在. 4.(2012 四川,理 4)如图,正方形 abcd的边长为 1,延长 ba至 e,使 ae=1,连结 ec,ed,则 sinced=( ). a.3 1010 b.1010 2 / 17 c.510 d.515 b 因为四边形 abcd是正方形,且 ae=ad=1,所以aed=4. 在 rtebc 中,eb=2,bc=1,所以 sinbec=55,cosbec=2 55.sinced=sinbec4=22cosbec-22sinbec=22 552

3、55=1010. 5.(2012 四川,理 5)函数 y=ax-1a(a0,且 a1)的图象可能是( ). d 当 a1 时,函数 y=ax单调递增,-1-1a0,所以 y=ax-1a的图象与 y轴的交点的纵坐标在 0 至 1之间,所以选项 a,b都不正确;当 0a1时,函数 y=ax单调递减,而此时-1a|ah|,仅当 f1与 h重合时,|af1|=|ah|, 当 m=1时,afb 的周长最大,此时 sfab=12 2 |ab|=3. 16.(2012 四川,理 16)记x为不超过实数 x 的最大整数.例如,2=2,1.5=1,-0.3=-1.设 a为正整数,数列xn满足 x1=a,xn+1

4、=2nnaxx+(nn*).现有下列命题: 当 a=5 时,数列xn的前 3 项依次为 5,3,2; 对数列xn都存在正整数 k,当 nk 时总有 xn=xk; 当 n1 时,xna-1; 对某个正整数 k,若 xk+1xk,则 xk=a. 其中的真命题有 .(写出所有真命题的编号) 当 a=5时,x1=5,x2=5 12+=3,x3=5332 + =2,正确. 当 a=1时,x1=1,x2=1112 + =1,x3=1,xk恒等于1=1; 8 / 17 当 a=2时,x1=2,x2=2 12+=32 =1,x3=2112 + =32 =1, 所以当 k2 时,恒有 xk=2=1; 当 a=3

5、时,x1=3,x2=3 12+=2,x3=3222 + =32 =1=3,x4=3112 + =2,x5=3222 + =32 =1,x6=1 32+=2, 所以当 k为偶数时,xk=2,当 k 为大于 1 的奇数时,xk=1,不正确. 在 xn+nax中,当nax为正整数时,xn+nax=xn+nax2a, xn+1=222nnaxxa+=a;当nax不是正整数时,令nax=nax-t,t为nax的小数部分,0t2t2a=2ta=a,xn+1a,xna,即xna-1,正确. 由以上论证知,存在某个正整数 k,若 xk+1xk,则 xk=a,正确. 17.(2012 四川,理 17)某居民小区

6、有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)a和 b,系统 a和系统 b在任意时刻发生故障的概率分别为110和 p. (1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950,求 p 的值; (2)设系统 a 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 ,求 的概率分布列及数学期望 e. 解:(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件 c,那么 9 / 17 1-p(c)=1-110 p=4950. 解得 p=15. (2)由题意,p(=0)=3031c10=11? 000, p(=1)=2131c101110=271? 000, p(=2)=231c1021110=2431? 000

7、, p(=3)=3331c110=7291? 000. 所以,随机变量 的概率分布列为 0 1 2 3 p 11? 000 271? 000 2431? 000 7291? 000 故随机变量 的数学期望: e=011? 000+1271? 000+22431? 000+37291? 000=2710. 18.(2012 四川,理 18)函数 f(x)=6cos22x+3sin x-3(0)在一个周期内的图象如图所示,a 为图象的最高点,b,c为图象与 x 轴的交点,且abc为正三角形. (1)求 的值及函数 f(x)的值域; 10 / 17 (2)若 f(x0)=8 35,且 x010 2,

8、33,求 f(x0+1)的值. 解:(1)由已知可得, f(x)=3cos x+3sin x=23sin3x+. 又正三角形 abc 的高为 23,从而 bc=4. 所以函数 f(x)的周期 t=4 2=8,即2=8,=4. 函数 f(x)的值域为-23,23. (2)因为 f(x0)=8 35,由(1)有 f(x0)=23sin043x+=8 35, 即 sin043x+=45. 由 x010 2,33,知04x+ ,32 2 , 所以 cos043x+=2415=35. 故 f(x0+1)=23sin0443x+ =23sin0434x+ =203 sincos434x+cos04x+si

9、n34 =2423235252+=7 65. 11 / 17 19.(2012 四川,理 19)如图,在三棱锥 p-abc 中,apb=90,pab=60,ab=bc=ca,平面 pab平面abc. (1)求直线 pc与平面 abc所成的角的大小; (2)求二面角 b -ap -c 的大小. 解法一:(1)设 ab的中点为 d,ad的中点为 o,连结 po,co,cd. 由已知,pad为等边三角形. 所以 poad. 又平面 pab平面 abc,平面 pab平面 abc=ad, 所以 po平面 abc. 所以ocp 为直线 pc与平面 abc所成的角. 不妨设 ab=4,则 pd=2,cd=2

10、3,od=1,po=3. 在 rtocd中,co=22codd+=13. 所以,在 rtpoc 中,tanocp=poco=313=3913. 故直线 pc与平面 abc 所成的角的大小为 arctan3913. (2)过 d 作 deap 于 e,连结 ce. 由已知可得,cd平面 pab. 根据三垂线定理知,cepa. 所以ced 为二面角 b -ap -c 的平面角. 由(1)知,de=3. 12 / 17 在 rtcde 中,tanced=cdde=2 33=2. 故二面角 b -ap -c 的大小为 arctan 2. 解法二:(1)设 ab的中点为 d,作 poab 于点 o,连结

11、 cd. 因为平面 pab平面 abc,平面 pab平面 abc=ad, 所以 po平面 abc. 所以 pocd. 由 ab=bc=ca,知 cdab. 设 e 为 ac 中点, 则 eocd,从而 oepo,oeab. 如图,以 o 为坐标原点,ob,oe,op所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 o -xyz. 不妨设 pa=2,由已知可得,ab=4,oa=od=1,op=3,cd=23. 所以 o(0,0,0),a(-1,0,0),c(1,23,0),p(0,0,3). 所以cp=(-1,-23,3),而op=(0,0,3)为平面 abc 的一个法向量. 设 为直线 pc与

12、平面 abc所成的角, 则 sin =|cpopcp op=003163+=34. 故直线 pc与平面 abc 所成的角的大小为 arcsin34. (2)由(1)有,ap=(1,0,3),ac=(2,23,0). 设平面 apc 的一个法向量为 n=(x1,y1,z1), 13 / 17 则ap,acnn ap0, ac0nn= 111111( ,)?(1,0, 3)0,( ,)?(2,2 3,0)0.x y zx y z= 从而11113?0,22 3?0.xzxy+=+= 取 x1=-3,则 y1=1,z1=1, 所以 n=(-3,1,1). 设二面角 b -ap -c 的平面角为 ,易

13、知 为锐角. 而面 abp的一个法向量为 m=(0,1,0), 则 cos =| |nmn m=13 1 1+ +=55. 故二面角 b -ap -c 的大小为 arccos55. 20.(2012 四川,理 20)已知数列an的前 n项和为 sn,且 a2an=s2+sn对一切正整数 n都成立. (1)求 a1,a2的值; (2)设 a10,数列110lgnaa的前 n项和为 tn.当 n为何值时,tn最大?并求出 tn的最大值. 解:(1)取 n=1,得 a2a1=s2+s1=2a1+a2, 取 n=2,得22a=2a1+2a2, 由-,得 a2(a2-a1)=a2. 若 a2=0,由知

14、a1=0; 若 a20,由知 a2-a1=1. 由,解得,a1=2+1,a2=2+2;或 a1=1-2,a2=2-2. 综上可得,a1=0,a2=0;或 a1=2+1,a2=2+2;或 a1=1-2,a2=2-2. (2)当 a10时,由(1)知 a1=2+1,a2=2+2. 14 / 17 当 n2时,有(2+2)an=s2+sn,(2+2)an-1=s2+sn-1, 所以(1+2)an=(2+2)an-1,即 an=2an-1(n2), 所以 an=a1(2)n-1=(2+1) (2)n-1. 令 bn=lg110naa,则 bn=1-lg(2)n-1=1-12(n-1)lg 2=12lg

15、11002n. 所以数列bn是单调递减的等差数列1lg22公差为,从而 b1b2b7=lg108lg 1=0, 当 n8时,bnb8=12lg10012812lg 1=0, 故 n=7时,tn取得最大值,且 tn的最大值为 t7=177()2bb+=7(1 1 3lg2)2+ =7-212lg 2. 21.(2012 四川,理 21)如图,动点 m 与两定点 a(-1,0),b(2,0)构成mab,且mba=2mab.设动点 m的轨迹为 c. (1)求轨迹 c 的方程; (2)设直线 y=-2x+m与 y 轴相交于点 p,与轨迹 c相交于点 q,r,且|pq|0,且 y0. 当mba=90时,

16、点 m 的坐标为(2,3). 当mba90时,x2,由mba=2mab,有 tanmba=22tan1 tanmabmab,即-|2yx=2|21|11yxyx+. 化简可得,3x2-y2-3=0. 15 / 17 而点(2,3)在曲线 3x2-y2-3=0上, 综上可知,轨迹 c的方程为 3x2-y2-3=0(x1). (2)由222,330yxmxy= +=消去 y,可得 x2-4mx+m2+3=0.(*) 由题意,方程(*)有两根且均在(1,+)内. 设 f(x)=x2-4mx+m2+3, 所以222241,2(1)14m30,(-4 )4(3)0.mfmmm=+ =+ 解得,m1,且

17、m2. 设 q,r 的坐标分别为(xq,yq),(xr,yr),由|pq|1,且 m2,有 1-1+24123 1m7+43,且-1+24123 1m7. 所以|prpq的取值范围是(1,7)(7,7+43). 22.(2012 四川,理 22)已知 a为正实数,n 为自然数,抛物线 y=-x2+2na与 x轴正半轴相交于点 a.设 f(n)为该抛物线在点 a处的切线在 y轴上的截距. (1)用 a和 n 表示 f(n); (2)求对所有 n 都有33( )-1( ) 11f nnf nn+成立的 a 的最小值; 16 / 17 (3)当 0a4n=(1+3)n=1+1cn 3+2cn 32+3cn 33+ 1+1cn 3+2cn 32+3cn 33 =1+2n3+12n5(n-2)2+(2n-5) 2n3+1. 当 n=0,1,2 时,显然(17)n2n3+1. 故 a=17时,33( )-1( ) 11f nnf nn+对所有自然数 n 都成立. 所以满足条件的 a的最小值为17. (3)由(1)知 f(k)=ak,则 11( )- (2 )nkf k fk=211nkkkaa=,(1)- ( )(0)-