解直角三角形知识点

1、锐角三角函数的定义：在 RT ABC 中，/ C=90°, a、b、c分别是/ A、/ B、/ C的 对边，则：sin A =.A的对边斜边cos A =.A的邻边斜边NA的对边a./A的邻边b c o A = .A的邻边b. A的对边a常用变形:a心nA ； “衆等，由同学们自行归纳。三角函数sin acos«tan acot a30°122345°72112260°1223五、特殊角的三角函数值:二、锐角三角函数的有关性质：1、当 0° </ A<90° 时，0 ：sinA：1 ； 0 ：cosA ：1 ；

2、tan A 0 ； cot A 02、 在0 ° - 90°之间，正弦、正切（sin、tan ）的值，随角度的增大而增大；余弦、余切（cos、 cot ）的值，随角度的增大而减小。三、同角三角函数的关系：22丄 , si nA込 c o Asin A cos A = 1t a nA - c At=1 ta nAc o Acos Asin A常用变形：sinA = ：1-cos2AcosA -1 siAa（用定义证明，易得，同学自行完成）四、正弦与余弦，正切与余切的转换关系：a如图1，由定义可得：si nA cos B = cos（90 - A） 同理可得：cc o A =

3、tan(9Asin A =cos(90 -A) cosA =sin(90 -A) tan A =cot(90" - A)六、解直角三角形的基本类型及其解法总结:类型已知条件解法两边两直角边a、bc = Ja2 比2 , tan A=a，乙 B=90-4 b直角边a，斜边cb = Jc2-a2 , si nA =三，忆 B = 90°-±Ac一边 一锐角直角边a，锐角aNB-90°-NA , b-acotA , c=a- sin A斜边C,锐角ANB=90°-NA , a = c$i nA , b = cgcosA七、三角形的面积公式：已知:AB

4、C中，/ A、/ B、/ C的对应边分别是 a、b、C,如图2,过点A作AD丄BC于点0在AADRK ABD 中，sin B，即：AD = AB $in B ( AD = csin B )AB1 1 1=2 BC AD =a-c-sinBacsin B (其中：/ B为 a、c的夹角)11acsin Bbcsin A221 1 acsin Bbcsin A2S ABC同理可得：S ABC由面积公式可得:两边同时除于1c2得:同理可得，正弦公式:八、= 1absinC （三角形的面积公式）2a sin B 二 bsin A =sin Asin Ab csin B sin Csin B余弦定理 如

5、图 2: AD =b sin C ,BD = BC -CD = a -b _cosC，在直角三角形2 2 2 2AB 二 AD BD 二 c2 2=(b -sin C)(a - b _cosC)整理得:=b2 sin2C a2 -2abcosC b2 cos2C = b2(sin2 C cos C) a2c2 =b2 a2 -2abcosC2整理得到余弦定理：c同理可得：（余弦定理及其变形）二b2c22bccosAb2=a2c2-2accosBc2=a2 b2-2ab cosCABD中，由勾股定理得:-2abcosC2 2=a b -2abcosC (/c为 a、b 的夹角).2,2"

6、; b +c -a cos Abc2,2 ,2a +c -bcos B 二ac小 a2 +b2 _c2cosC2ab九、三角函数的高中定义：（图中的圆半径为单位 1）如图 3， sin= = y 同理可得：cos- x， tan、£ ryx,cot如图4，也可以得到相同的xy从而使三角函数摆脱仅限于锐角的尴尬境地。结论，但是此时要特别注意三角函数的符号所发生的变化,十、三角函数与相似:BC2 = B D AB二-BD二 B C -BD AB BC如图5,可以利用相似进行求解，也可以利用三角函数进行求解:A AD AB x x+3.2 一 DE B C cos As i nA =AE AC 610A E ACDE BCx 6如图6， tan AAE AB4 8备注：三角函数，在解决直角三角形的一些问题中，有时候会比相似书写更简洁一些 卜一、相似与直角三角形的射影定理:直角三角形射影定理：CD2=AD£DAC2 - A D A BCD , BD 2tan Atan BCDCD = AD £DADCDAC AD2B Ccos AAC 二 AD 4BcoB=-AB ACA B十二、三角函数与一次函数 设一