配餐作业16利用导数证明不等式提升课

1、高考复习顶层设计数学理配餐作业（十六）利用导数证明不等式（提升课）A级基础达标1. 已知函数 f(x)= g, g(x) = a/+bx+ c(az0)。(1) 若f(x)的图象与g(x)的图象所在两条曲线的一个公共点在y轴上，且在该点处两条曲线的切线互相垂直，求b和c的值。(2) 若 a = c= 1, b= 0,当 x>0 时，证明：f(x)>g(x)。解 (1)由已知 f(0)= 1, f (x) = ex, f (0) = 1,g(0) = c, g (x) = 2ax + b, g (0) = b,f 0 = g 0 ,c= 1,得所以If(0)g (0)= 1,lb=

2、1。(2)证明：当 a= c= 1, b= 0 时，g(x) = x2+ 1。令 h(x) = f(x) g(x)= ex x2 -1,贝卩 h (x)= e 2x。设 k(x) = h (x)= ex 2x,则 k (x)= ex 2,当 x<ln2 时，k (x)<0, k(x)在(一=,In2)上单调递减；当 x>ln2 时，k (x)>0, k(x)在(ln2,+=)上单调递增。所以当x= In2时，k(x)取得极小值，且极小值为 k(ln2) = en2 2In2 = 2 In4>0,即 k(x) = h (x)= ex 2x>0 恒成立，故h（x

3、）在R上单调递增,2高考复习顶层设计数学理13又 h(0) = 0,因此当 x>0 时，h(x)>h(0)= 0,即 f(x)>g(x)In x2. (2018惠州调研考试)已知函数f(x)= (a bx3)ex ，且函数xf(x)的图象在点(1, e)处的切线与直线x (2e + 1)y 3= 0垂直(1) 求a, b的值。(2) 求证：当 x (0,1)时，f(x)>2。解(1)因为 f(1) = e,所以(a b)e= e,故 a b= 1;依题意，知f (1)= 2e 11 Inx又 f (x) = aex b(eXx3 + 3x2$),故 f (1)= ae

4、1 4be= 2e 1,故 a 4b= 2,联立解得a=2, b= 1证明：由(1)得 f(x)= 2ex呼一exx3,Inxzv要证 f(x)>2，即证 2ex exx3>2 +令 g(x) = 2ex exx3,则 g (x) = ex( x3 3x2 + 2) = ex(x3 + 3x2 2)= ex(x + 1) (x2 +2x 2),故当 x (0,1)时，一ex<0, x+ 1>0。令p(x) = x2 + 2x 2，因为p(x)图象的对称轴为x= 1,且 p(0) P(1)<0, 故存在 Xo (0,1)，使得 p(xo) = 0,故当 x (0,

5、Xo)时，p(x)=x2 + 2x-2<0, g (x)=- ex(x + 1)(x2 + 2x-2)>0, 即g(x)在(0, X。)上单调递增，当 x (x0,1)时，p(x) = x2 + 2x-2>0,故 gf (x)=- ex(x + 1)(x2 + 2x 2)<0, 即g(x)在(x0,1)上单调递减。因为 g(0) = 2, g(1) = e,故当 x (0,1)时，g(x)>g(0) = 2,InxInx又当 x (0,1)时，-<0，所以 2 + -<2,ZVZV所以 2ex- exx3>2 + 乎，即 f(x)>2。2I

6、n x+ alnx+ a亠3. (2018重庆调研)已知曲线f(x) =3在点(e, f(e)处的切线与直线2x+ e2y= 0平行，a R。(1)求a的值。求证：号看In 2x + (2 a)lnxx2解(1)f (x)=厂1+2 a 2由 f (e)=占 =g,解得 a= 3InX* 31 nx+ 3证明：f(x) =In x(l nx+ 1)if(x)=x2。由 f(x)>o，得e<x<i,1上单调递增故f(x)在0 1和(1，+乂)上单调递减，在¥，当 x (0,1)时，f(x)>'3x'3(1 x) 3x因为3 =e，所以-ex在(0

7、,1)上单调递增，3x 33x 口ttf x 3所以x<e<e，所以f(x)>ex，即三>言。当 x 1 ,+x)时，In2x + 3Inx+ 3>0+0 + 3= 3令 g(x) = 3x，则 g (x)=3 2x x2x 。e所以g(x)在1,2)上单调递增，在(2，+乂)上单调递减，所以12g(x) <g(2)=孑<3,3x2ffx 3所以 In2x + 3Inx+ 3>"er，即>卞。综上，对任意x>0,均有号書。1 一 x4. (2018兰州市诊断)已知函数f(x)=+lnx在(1 ,+乂)上是ax增函数，且a&g

8、t;0。(1)求a的取值范围。若b>0,试证明aqLb<ln¥M【命题立意】本题考查利用导数解决函数的性质问题， 考查了逻辑推理能力和1 a+ b等价转化能力。本题第问通过f(x)的单调性证明a+计，突出了函数单调性在证明不等式中的应用，通过构造法构造g(x)= ln(1 +a + b ax) x证明In<¥，突出了构造法在证明不等式中的作用。通过此 题体现了证明不等式的常见方法 一一构造法。1 i ax一1解(1f (x) = ax2 + 产 k，1因为 f (x)>0,且 a>0，所以 ax 1>0,即 x>a，因为 x (1,

9、1+ x)，所以a< 1，即 a> 1。aa+ b1 x因为 b>0, a> 1,所以->1,又 f(x)+lnx在(1, +=) baxa + b上是增函数'所以fTJ>f(1),a+ ba+ ba ba + b+ In厂>0，化简得1a+ ba+ b<ln_rIna+ b a萨丘等价于Ina+ bb:a' aInJ+ b 卜 b<0，令 g(x) = ln(1 + x) x(x (0,+),则 gf (x)= 1=一<0,1+x 1+x所以函数g(x)在(0,+乂)上为减函数，自 ':a' a a

10、+ b a所以 g6F叭1 + b b= ln b<g(0) = 0,1a+ b a综上， <ln厂<匚，得证。a + b b bB级能力提升13(2018 湖北联考)已知函数 f(x) = lnx + qxx。(1) 讨论f(x)的极值点的个数。(2) 若对 x>0，总有 f(x)< g(x)。(i )求实数a的取值范围。(ii)求证：对 x>0,不等式 ex + x2 (e+ 1)x +>2 成立。1 x + ax+ 1解(1)由已知得f (x) = x+x+ a= x(x>0)，对于方程x2zvzv+ ax+ 1 = 0, = a2 4。当

11、= a24< 0,即一2< a< 2 时，x2 + ax+ 1 > 0 对 x>0 恒成立，x + ax+ 1即f (x) => 0对x>0恒成立，此时f(x)没有极值点； + ax(a R), g(x) = ex+当= a24>0,即 a< 2 或 a>2 时，若a< 2,设方程x2 + ax+1 = 0的两个不同实数根为Xi,沁，不妨设 Xi<X2，贝卩 Xi + X2= a>0, XiX2= 1>0,故 X2>Xi>0,所以 0<x<xi或 x>x2 时，f (x)>0

12、, X产x<x2 时,f (x)<0,故Xi, X2是函数f(x)的两个极值点；若a>2，设方程xax* 1 = 0的两个不同实根为X3, X4,则X3 +X4= a<0, X3X4= 1>0,故 X3<0, X4VO，所以 x>0 时，f (x)>0,故函 数f(x)没有极值点。综上，当a< 2时，函数f(x)有两个极值点；当a> 2时，函数f(x)没有极值点(2)( i )f(x) < g(x) ex lnx+ x2 >axa<ex+ x2 Inxx>0恒成ex+ x2 Inxx(x>0),则 6 (x) =立，设(t(x)=e2因为 x>0,所以 x (0,1)时，6 (X)<0, 6x)单调递减；x(1,+乂)时，6 (x)>0, 6x)单调递增，所以 6x)61) = e+1,所以 aw e+1 x 1 +lnx+ x+ 1 x 1(ii )由(i )知，当 a=e+ 1 时，有 f(x)< g(x)，即31ex+ 2x2>lnx+ 2X2 + (e+ 1)x ex + x2 (e+ 1)x>Inx ，当且仅当x=