近世代数期末考试题库

1、世代数模拟试题一一. 单项选择题 体人题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选.多选或未选均无分。1、设A = B = R （实数集），如果A到B的映射：x-x+ 2, xG R，则是从A到B的（c ）A满射而非单射B、单射而非满射C . 一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素，集合 B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A XB中含有（d）个元素。A、2B、5C、7D、103、在群G中方程ax=b , ya=b, a,b e G都有解，这个解是（b ）乘法来说A、不是唯一B、唯一的 C、不一定唯-的

2、D、相同的俩方程解样）4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（c ）A、不相等 B. 0 C 相等 D、不一定相等。5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（d ）A、倍数 B.次数 C、约数 D、指数二. 填空题（本人题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、设集合；，则有。2、若有元素ee R使每aG A,都有ae=ea=a,则e称为环R的单位元。3、环的乘法一般不交换。如果环 R的乘法交换，则称 R是一个交换环。4、偶数环是整数环的子环。5、一个集合A的若干个一变换的乘法作成的群叫做A的-个变换全。6、每-个有限群都有

3、与-个置换群同构。7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成-个群，则这个群的单位元是1,元a的逆元是a-1 o8、设和是环的理想且，如果是的最大理想，那么 o9、一个除环的中心是-个-域o三. 解答题（本人题共 3小题，每小题10分，共30分）1、设置换和分别为： 判断和的奇偶性，并把和写成对换的乘积。2.证明：任何方阵都可唯-地衣示成-个对称矩阵与-个反对称矩阵之和。奇1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：可知为奇置换，为偶置换。和可以写成如下对换的乘积:2解：设A是任总方阵，令，则B是对称矩阵，而 C是反对称矩阵，且。若令有，这里和分别为对称矩阵和反对称 矩阵，贝I,而等式左边是对称矩阵，

4、右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0.即：，所以，农示法唯一。3、设集合，定义中运算 为訪二Q+b）6odm）,则（,）是不是群，为什么？四. 证明题（本人题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25 分）1、设是群。证明：如果对任意的，有，则是交换群。2、假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。1、对于G中任盘元X, y,由于，所以（对每个x,从可得）。2、证明在F里有总义，作F的了集 显然是R的个商域证毕。近世代数模拟试题二一、单项选择题二、1、设G有6个元素的循环群,a是生成元，则G的了集（c ）是了群。）不是群B、G为偶数集合，*为加法D .

5、G为有理数集合，*为乘法A、 B、 C、 D、2、下面的代数系统（G, * ）中，（d A、G为整数集合，*为加法C. G为有理数集合，*为加法3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ b ）A、銅=8七 B a3ft)=m axfe,b C、a3ft)=a+2b D. a*b= a-b |4、设、是三个置换，其中=(12) ( 23) ( 13) , = ( 24) ( 14) , = ( 1324)，则二(b )A、B、5、任总一个具有A、不可能是群C > 定是群D、2个或以上元的半群，它（B. 不一定是群D、是交换群二.填空题体人题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的

6、空格中填上正确答案。错填.不填均无分。1、2、3、4、5、6、7、8、9、凯莱定理说：任-个了群都同一个一个有单位元的无零因子已知群中的元素的阶等于a的阶若是个有限整数A= 1.2.3 B=2.5.6若映射既是单射又是满射，变换全同构。-交换环称为整环。50,则的阶等于-25o 那么G与一模n乘余类加群同构。 那么 A QB二2 o_双射O一不都等于林一使得。则称为 单位元On.则称为叫做域的一个代数元，如果存在的是代数系统的元素，对任何均成立，有限群的另定义：个有乘法的有限非空集合作成个群，如果满足对于乘法封闭；结合律成立、T肖去律成立10、一个环R对于加法来作成个循环群，则P是三、解答题（

7、本人题共3小题，每小题10分，共30分）1、设集合A=1,2,3G 是A上的置换群，H是G的子群，H = l（12）,写出H的所有陪集。2、设E是所有偶数做成的集合，“ ”是数的乘法，则“”是E中的运算，（E,）是-个代数系统，问（E,）是不是群，为 什么？1、解：H 的 3 个右陪集为：1（1 2）, （1 2 3 ） ,（1 3） , （1 3 2 ） , ® 3 ）H 的 3 个左陪集为：ad 2）, （12 3）, ®3）, （132）,（13）2、答：（E,）不是群，因为（E,）中无单位元。3、解 方法一、辙转相除法。列以下算式：a=b+102b=3 X102+8

8、5102=1 X85+17由此得到 <a,b）=17, fe,b=a b/17=11339X.然后回代：17=102-85=102-<b-3 X 102）=4 X 102-b=4 X la-b）-b=4a-5b.所以 P=4, q=-5.四. 证明题（本人题共 2小题，第1题10分第2小题15分，共25分）1、证明 设e是群<G , *>的幺元。令x= a lft）,则a权=a*<a 1检）=Q相一1）杓=e和=b。所以，x=a 1检是a*x =b的解。若 xWG 也是 a*x =b 的解，贝ij x= e紙=（a l*a）*x = a 1*6核）=a l*b =

9、xc 所以，x= a 1）是 a*x = b 的惟一解。2、容易证明这样的关系是Z上的-个等价关系，把这样定义的等价类集合记为Zm ,每个整数&所在的等价类记为BA xeZ： m I x - a或者也可记为，称之为模m剰余类。若m I a - b也记为a=bfo ）当m=2时，Z2仅含2个元：与口。四.证明题（本人题共 2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、若G, *>是群，则对于任意的a、be G ,必有惟-的xe G使得= b。2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：a?b当且仅当m近世代数模拟试题三一. 单项选择题1、6阶有限群的任何了群定不是（

10、2、设G是群，G有（c个元素，则不能肯定G是交换群。A> 4个 B、5个C、6个3、有限布尔代数的元素的个数-定等于（4、下列哪个偏序集构成有界格（ dA、偶数A、（ N,）B .奇数 C、4的倍数C. （2,3,4,6,12,| （整除关系）B、D .D. 7个d ) oD . 2的正整数次慕（Z,）5、设S3=d）, （12）,（13）,（23） ,（123） ,（132）,那么，在S3中可以与CL23）交换的所有元素有（ a ）A、（1）, CL23）,（132）B、12）, （13）.（23）C. CL）,（123）D、S3中的所有元素二、填空题体人题共10小题，每空3分，共30

11、分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、群的单位元是 的，每个元素的逆元素是的。2、如果是与间的-一映射，是的一个元，则一ao3、区间4 2止的运算的单位元是-2 o4、可换群 G 中（a=6,|x=8,贝ij |ax=24。5、环Z8的零因子有 >6、一个子群H的右、左陪集的个数 TH等 o7、从同构的观点，每个群只能同构于他尼自己的商权一c8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的一持征o9、设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为-mil o三、解答题（本人题共3小题，每小题10分，共30分）1、用2种颜色的珠了做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同

12、的项链？2、SI, S2是A的子环，则S1QS2也是子环。S1+S2也是子环吗？3、设有置换，。1. 求和：2. 确定置换和的奇偶性。群论前我们没有-般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上湎-下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种， 等等，可得总共8种。2、证 由上题了环的充分必要条件，要证对任意a,besin S2有ababWSlCS2：因为SI, S2是A的子环，故 a-b, abe S1和aF,abwS2因a-b,abe S1AS2 ,所以 S1CS2 是子环。S1+S2不定是/环。在矩阵环中很容易找到反例：3、解：1. 9 :2. 两个都是偶置换。四

13、、证明题（本人题共 2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。2、M为含幺半群，证明b=a-l的充分必要条件是 aba=a和ab2a=e。1、证明：假定是R的-个理想而不是零理想，那么 a.由理想的定义，因而 R的任总元 这就是说二R，证毕。2、证 必要性：将b代入即可得。充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab （ab2a）= <aba）b2a=ab2a=e»ba= Iab2a）ba=ab2 <aba）=ab2a=e,近世代数模拟试题四一、单项选择题（本人题共5小题，每小题 3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中

14、只有-个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选.多选或未选 均无分。1. 设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么， A与B的积集合A XB中含有（d ）个元素。A.2B.5C. 7D.102设A = B = R （实数集），如果A到B的映射:xx+ 2, x£ R ,则是从A到8的（c ）A满射而非单射B单射而非满射C . 一一映射D 既非单射也非满射3设S3= （1） , （12） , CL3） ,（23） ,（123） , （132）,那么，在S3中可以与（123）交换的所有元素有Q）AQ）, CL23） ,（132）B.（12） ,（13）, （23）

15、CQ） , CL23）D.S3中的所有元素4. 设Z15是以15为模的剩余类加群，那么， Z15的子群共有（d）个。A. 2B.4C.6D.85. 下列集合关于所给的运算不作成环的是（b ）A整系数多项式全体Z x关于多项式的加法与乘法B. 有理数域Q上的n级矩阵全体MnQ）关于矩阵的加法与乘法C. 整数集Z关于数的加法和新给定的乘法n e Z, mn=OD整数集Z关于数的加法和新给定的乘法n e Z, mn= 1二、填空题（本人题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填.不填均无分。6设“”是集合A的一个关系，如果“”满足,则称“”是A的-个等价关系。7设6,）是

16、-个群，那么，对于 “ be G,则abe G也是G中的可逆元，而且Qb） 1 =8设。=©3）35）, t = （1243）035） E S5,那么。t =（衣示成若干个没有公共数字的循环置换之积）。9如果G是-个含有15个元素的群，那么，根据 Lagrange定理知，对于 aG G，则元素 a的阶只可能是5,15,1,3,o10在3次对称群S3中，设H=CL） , （123）,（132）是S3的-个不变子群， 则商群G用中的元素（12）H =11 设Z6= 0 , 12, 34, 5 是以6为模的剩余类环，则Z6中的所有零因子是 _2,3,412设R是一个无零因子的环，其特征 n

17、是个有限数，那么，n是。13 设Z x 是整系数多项式环，仗）是由多项式x生成的主理想，则x） =14设高斯整数环Z i = Q + bi|a , be Z,其中2 =- 1,则Z i中的所有单位是15有理数域Q上的代数元+在Q上的极小多项式是o三、解答题（本人题共 3小题，每小题10分，共30分）16设Z为整数加群，Zm为以m为模的剰余类加群，是 Z到Zm的一个映射，其中:k- k , ke Z,验证：是Z到Zm的-个同态满射，并求的同态核 Ken17 求以6为模的剰余类环Z6= 0 ,1,2,3 ,4 ,5 的所有子环，并说明这些子环都是 Z6的理想。18试说明唯-分解环、主理想环、欧氏环

18、三者之间的关系，并举例说明唯-分解环未必是主理想环。四、证明题（本人题共 3小题，第19、20小题各10分，第21小题5分，共25分）19设G= & , b, c, G的代数运算“由右申的运算表给出，证明：）作成-个群。）3bG20.设已知R关于矩阵的加法和乘法作成个环。证明：是R的一个了环，但不是理想。21 设（R, +, ）是一个环，如果R, +）是一个循环群，证明：R是-个交换环。 近世代数模拟试题-参考答案一、单项选择题。1、C； 2 > D : 3、B: 4、C ； 5 % D:二、填空题体人题共10小题，每空3分，共30分）。1、； 2、单位元：3、交换环；4、整数环

19、；5、变换群；6、同构;7、零、8、S = I或S二R : 9.域;三、解答题（本人题共3小题，每小题10分，共30分）1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：可知为奇置换，为偶置换。和可以写成如下对换的乘积:2、解：设A是任意方阵，令，则B是对称矩阵，而 C是反对称矩阵，且。若令有，这里和分别为对称矩阵和反对称矩阵，贝IJ,而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0,即：，所以，表示法唯匕3、答：（，）不是群，因为中有两个不同的单位元素 0和四、证明题（本人题共 2小题，第1题10分，第2小题15分，共25 分）1、对于G中任总元X, y,由于，所以（对每个 x,从可得）。2、证

20、明在F里有意义，作F的子集显然是R的-个商域证毕。近世代数模拟试题二参考答案一、单项选择题体大题共5小题，每小题 3分，共15分）。1、C；2、D；3、B； 4 x B ： 5 % A ；二、填空题体人题共10小题，每空 3分，共30分）。1、变换群；2、交换环：3、25； 4、模n乘余类加群；5、2 : 6.映射；7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立：10.交换环：三、解答题（本人题共 3小题，每小题10分，共30分）1、解：H 的3 个右陪集为：a（l 2）, （123）,（13）, （132）, 03）H 的 3 个左陪集为：6（12）, （123）, （S3）, （132）

21、,（13）2、答：（E,）不是群，因为（E,）中无单位元。3、解 方法一、辙转相除法。列以下算式：a=b+102b=3 X102+85102=1 X85+17由此得到 ）=17, fe,b=a b47=U339X o然后回代：17=102-85=102-<b-3 X 102）=4 X 102-b=4 X la-b）-b=4a-5b.所以 p=4, q=-5.四、证明题（本人题共 2小题，第1题10分，第2小题15分，共25 分）1、证明 设e是群<G , *>的幺元。令x= a lft）,则a权=a*<a 1检）=Q相一1）杓=e和=b。所以，x=a 1检是a*x =b

22、的解。若 xWG 也是 a*x =b 的解，贝ij x= e紙=（a l*a）*x = a 1*6核）=a l*b =xc 所以，x= a 1）是 a*x = b 的惟一解。2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合记为Zm ,每个整数a所在的等价类记为鸟上（xG Z： m I x - a或者也可记为，称之为模m剰余类。若m I a - b也记为a=bfo ）当m=2时，Z2仅含2个元：与口。近世代数模拟试题三参考答案一、单项选择题 1、C； 2、C： 3、D： 4、D： 5. A ；二、填空题体人题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、

23、不填均无分。1、唯一、唯一：2、： 3、2： 4、24： 5. : 6、相等：7、商群：8、特征：9、；三、解答题（本人题共3小题，每小题10分，共30分）1、解在学群论前我们没有-般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上湎-下，用黑白两种珠了，分类进行计算：例如， 全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，等等，可得总共8种。2、证 由上题了环的充分必要条件，要证对任意a,besin S2有ababWSlCS2：因为SI, S2是A的子环，故 a-b, abe S1和aF,abwS2因a-b,abe S1AS2 ,所以 S1PIS2 是子环。S1+S2不定是了环。在矩阵环中很容易找到反例：3、解：1

24、. :2 两个都是偶置换。四.证明题（本人题共 2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、证明：假定是R的个理想而不是零理想，那么4,由理想的定义，因而R的任总元这就是 说=只，证毕。2、证 必要性：将b代入即可得。充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab （ab2a）= <aba）b2a=ab2a=e»ba= Iab2a）ba=ab2 <aba）=ab2a=e,所以b=a-l c近世代数试卷一. 判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打7 ,错的打 贷J每小题1分，共101、设与都是非空集合，那么。（f ）2、设、都是非空集合，则到的每个映射都叫作二元运算。

25、（f ）3、只要是到的一一映射，那么必有唯-的逆映射。（t ）4、如果循环群中生成元的阶是无限的，则与整数加群同构。（t）5、如果群的子群是循环群，那么也是循环群。（f ）6、群的子群是不变子群的充要条件为。（t ）7、如果环的阶，那么的单位元。（t ）8、若环满足左消去律，那么必定没有右零因子。（t ）9、中满足条件的名项式叫做元在域上的极小多项式。（f ）10、若域的特征是无限人，那么含有个与同构的/域，这里是整数环，是由素数生成的主理想。（f ）二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。 作选择者，该题无分。每小题I分，共10分）1、设和都是

26、非空集合，而是到的一个映射，那么（2）集合中两两都不相同；的次序不能调换； 中不同的元对应的象必不相同： 一个元的象可以不唯一。2、指出下列那些运算是二元运算（3） 4在整数集上，:在有理数集上，:在正实数集上，:在集合上，o3、设是整数集上的二元运算，其中（即取与中的最人者），那么在中（4）3不适合交换律：不适合结合律：存在单位元：每个元都有逆元。4、设为群，其中是实数集，而乘法，这里为中固定的常数。那么群中的单位元和元的逆元分别是（0和；1和0：和；和。5、设和都是群中的元素且，那么（2） 1： ： ： 。6、设是群的子群，且有左陪集分类。如果 6,那么的阶（3）26；24：10：12。7

27、、设是-个群同态映射，那么下列错误的命题是（2）4的同态核是的不变了群：的不变了群的逆象是的不变了群；的了群的象是的了群：是的不变了群。8、设是环同态满射，那么下列错误的结论为（4）3若是零元，则是零元；若是单位元，则是单位元：若不是零因了，则不是零因了：若是不交换的，则不交换。9、下列正确的命题是（4） 1欧氏环-定是唯-分解环；主理想环必是欧氏环；唯-分解环必是主理想环；唯一分解环必是欧氏环。10、若是域的有限扩域，是的有限扩域，那么（1）4； 。三、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。每空答案选错或未的不变了群的象1分，共10分）1、设集合；，则有2、

28、如果是与间的-一映射，是的-个元，则ao3、设集合有一个分类，其中与是的两个类，如果，那么0 o4、设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为o5、凯莱定理说：任一个子群都同一个同构。6、给出-个5嚙环置换，那么o7、若是有单位元的环的由生成的主理想，那么中的元素可以表达为xo8、若是个有单位元的交换环，是的-个理想，那么是-个域当且仅当是一个最人理想。9、整环的-个元叫做-个素元，如果.P既不是零元，也不是单位，且q只有平凡因子o10、若域的-个扩域叫做的个代数扩域，如果o四、改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线上面。指出错误1分，更正错误2分。每小题3

29、分，共15分）1、如果个集合的代数运算同时适合消去律和分配律，那么在里，元的次序可以掉换。结合律与交换律2、有限群的另-定义：个有乘法的有限非空集合作成-个群，如果满足对于乘法封闭；结合律成立、交换綁成立。消去律成立3、设和是环的理想且，如果是的最人理想，那么。S=I或S二R4、唯分解环的两个元和不定会有最人公因了，若和都是和的最人公因了，那么必有。一定有最大公因子；d和d只能差-个单位因子5、叫做域的一个代数元，如果存在的都不等于零的元使得。不都等于零的元五、计算题（共15分，每小题分标在小题后）1、给出下列四个四元置换组成的群，试写出的乘法衣，并且求出的单位元及和的所有了群。2、设是模6的

30、剩余类环，且。如果、，计算、和以及它们的次数。六、证明题（每小题 10分，共40分）1、设和是-个群的两个元且，又设的阶，的阶，并且，证明：的阶。2、设为实数集，令，将的所有这样的变换构成-个集合，试证明：对于变换普通的乘法，作成-个群。3、设和为环的两个理想，试证和都是的理想。4、设是有限可交换的环且含有单位元1,证明：中的非零元不是可逆元就是零因子。近世代数试卷参考解答一.判断题12345678910XXVVXVVVXX二、单项选择题12345678910三、填空题1、。2、。3、。45、变换群。 6、。7、。8、一个最大理想。9、p既不是零元，也不是单位，且 q只有平凡因子。10、E的每

31、-个元都是F上的-个代数元。四、改错题1、如果个集合的代数运算同时适合消去律和分配律，那么在里，元的次序可以掉换。结合律与交换律2、有限群的另-定义：个有乘法的有限非空集合作成-个群，如果满足对于乘法封闭；结合律成立、交换綁成 立。消去律成立3、设和是环的理想且，如果是的最人理想，那么。S=I或S二R4、唯分解环的两个元和不定会有最人公因子，若和都是和的最人公因子，那么必有d=d* .一定有最大公因子：d和d只能差个单位因子5、叫做域的一个代数元，如果存在的都不等于零的元使得。不都等于零的元测验题一、 填空题（42分）1、设集合与分别有代数运算与，且，则当满足结合律时，也满足结合律：当满足交换彳卞律。2、对群中任意元素=:3、设群G中元素&的阶是n, nm则二e:4、设是任意一个循环群，若，则与整数加群同构；若,则与 n次单位根群；同构；5、设（；=为6阶循环群，则 G的生成元有：:子群有6、n次对称群的阶是n!;: