衡水中学高三数学第十次模拟考试试题理（精编版）

1、 20172018 学年度第一学期高三十模考试数学试卷（理科）一、选择题（每小题5 分，共60 分 . 下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. 设集合2|log (2)ax yx，2|320bx xx，则ac b（）a(,1) b(,1 c(2,) d2,)2. 在复平面内，复数2332izi对应的点的坐标为(2, 2)，则z在复平面内对应的点位于（）a第一象限 b第二象限 c第三象限 d第四象限3. 已知abc中，sin2sincos0abc，3bc，则tana的值是（）a33 b2 33 c3 d4 334. 设(,) |0,01ax yxmy，s为(1

2、)ne的展开式的第一项（e为自然对数的底数） ，nms，若任取( , )a ba，则满足1ab的概率是（）a2e b2e c2ee d1ee5. 函数4lgxxyx的图象大致是（） a b c d6. 已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为2448，则该几何体的表面积为（）a2448 b2490641 c4848d24666417. 已知11717a，16log17b，17log16c，则a，b，c的大小关系为（）aabc bacb cbac dcba8. 执行如下程序框图，则输出结果为（）a20200 b5268.5 c5050 d51519. 如图，设椭圆e：22221(0

3、)xyabab的右顶点为a，右焦点为f，b为椭圆在第二象限上的点，直线bo交椭圆e于点c，若直线bf平分线段ac于m，则椭圆e的离心率是（）a12 b23 c13 d1410. 设函数( )f x为定义域为r的奇函数，且( )(2)f xfx， 当0,1x时，( )sinf xx，则函数( )cos()( )g xxf x在区间5 9,2 2上的所有零点的和为（）a6 b7 c13 d1411. 已知函数2( )sin20191xf xx，其中( )fx为函数( )f x的导数，求(2018)( 2018)ff(2019)( 2019)ff（）a2 b2019 c2018 d012. 已知直线

4、l：1()yaxa ar，若存在实数a使得一条曲线与直线l有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于a，则称此曲线为直线l的 “绝对曲线” .下面给出的四条曲线方程：21yx；22(1)(1)1xy；2234xy；24yx. 其中直线l的“绝对曲线”的条数为（）a1 b2 c3 d4二、填空题： （本大题共4 小题，每题5分，共 20 分）13. 已知实数x，y满足2202401xyxyyx，且341xymx，则实数m的取值范围14. 双曲线22221xyab的左右焦点分别为1f、2f，p是双曲线右支上一点，i为12pf f的内心，pi交x轴于q点，若12fqpf，且:2:1pi

5、iq，则双曲线的离心率e的值为15. 若平面向量1e，2e满足11232eee，则1e在2e方向上投影的最大值是16. 观察下列各式：311；3235；337911；3413151719；若3*()mmn按上述规律展开后，发现等式右边含有“2017”这个数，则m的值为三、解答题： （本大题共6 小题，共70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17 21 为必考题，每个试题考生都必须作答. 第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答）17. 已知等差数列na中，公差0d，735s，且2a，5a，11a成等比数列 . （1）求数列na的通项公式；（2）若nt为数列11nna a

6、的前n项和，且存在*nn，使得10nnta成立，求实数的取值范围 . 18. 为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：（1）已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数 . （2）若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人，设选到的男生人数为x，求随机变量x的分布列 . （3）试比较男生学习时间的方差21s与女生学习时间方差22s的大小 . （只需写出结论）19. 如图所示，四棱锥pabcd的底面为矩形， 已知1papbpcbc，2ab，过底面对角线ac作与pb平行的平面交pd于e. （1）试判定点e的

7、位置，并加以证明；（2）求二面角eacd的余弦值 . 20. 在平面直角坐标平面中，abc的两个顶点为(0, 1)b，(0,1)c，平面内两点p、q同时满足：0papbpc；qaqbqc；/ /pqbc. （1）求顶点a的轨迹e的方程；（2）过点(2,0)f作两条互相垂直的直线1l，2l，直线1l，2l与a的轨迹e相交弦分别为11a b，22a b，设弦11a b，22a b的中点分别为m，n. 求四边形1212a a b b的面积s的最小值；试问：直线mn是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由. 21. 已知函数ln(1)( )1xf xax. （1）当1a，求函数

8、( )yf x的图象在0 x处的切线方程；（2）若函数( )f x在(0,1)上单调递增，求实数a的取值范围；（3）已知x，y，z均为正实数，且1xyz，求证(31)ln(1)(31)ln(1)11xxyyxy(31)ln(1)01zzz. 请考生在22、 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 在极坐标系中，曲线1c的极坐标方程是244cos3sin，以极点为原点o，极轴为x轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系xoy中，曲线2c的参数方程为：cossinxy（为参数） . （1）求曲线1c的直角坐标方程与曲线2c的普通方

9、程；（2）将曲线2c经过伸缩变换2 22xxyy后得到曲线3c，若m，n分别是曲线1c和曲线3c上的动点，求mn的最小值 . 23. 选修 4-5 ：不等式选讲 已知( )21()f xxaxar. （1）当1a时，解不等式( )2fx. （2）若不等式21( )12f xxxa对xr恒成立，求实数a的取值范围 . 十模数学答案（理）一、选择题1-5: bdacd 6-10: dacca 11、12：ac 二、填空题13. 2,7 14. 32 15. 423 16. 45三、解答题17. 解： （1）由题意可得12111767352(4 )()(10 )adadadad，即121352add

10、a d. 又因为0d，所以121ad. 所以1nan. （2）因为111(1)(2)nna ann1112nn，所以11112334nt1112nn11222(2)nnn. 因为存在*nn， 使得10nnta成立，所以存在*nn， 使得(2)02(2)nnn成立，即存在*nn，使得22(2)nn成立 . 又2142(2)2(4)nnnn，114162(4)nn（当且仅当2n时取等号），所以116. 即实数的取值范围是1(,16. 18. 解： （1）由折线图可得共抽取了20人，其中男生中学习时间不足4小时的有8人，女生中学习时间不足4小时的有4人. 可估计全校中每天学习不足4小时的人数为：12

11、40024020人. （2）学习时间不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故x的所有可能取值为0，1，2，3，4. 由题意可得4448(0)cp xc170；134448(1)c cp xc1687035；224448(2)c cp xc36187035；314448(3)c cp xc1687035；4448(4)cp xc170. 所以随机变量x的分布列为x01234p1708351835835170均值116017070ex361623707014270. （3）由折线图可得2212ss. 19. 解： （1）e为pd的中点，证明如下：连接oe，因为/ /pb平面aec，平面pb

12、d平面aecoe，pb平面aec，所以/ / oepb，又o为bd的中点，所以e为pd的中点 . （2） 连接po， 因为四边形abcd为矩形，所以oaoc. 因为papc， 所以poac.同理， 得pobd，所以po平面abcd，以o为原点，op为z轴，过o平行于ad的直线为x轴，过o平行于cd的直线为y轴建立空间直角坐标系（如图所示）. 易知12(,0)22a，12(,0)22b，12(,0)22c，12(,0)22d，1(0,0,)2p，12 1(,)444e，则121(,)444ea，12(,0)22oa. 显然，op是平面acd的一个法向量 . 设1( , , )nx y z是平面a

13、ce的一个法向量，则1100neanoa，即121044412022xyzxy，取1y，则1( 2,1,22)n，所以1cos,n op11n opn op2 2211，所以二面角eacd的余弦值为2 2211. 20. （1）221(0)3xyx； （2）s的最小值的32，直线mn恒过定点3 2,04. 试题解析：（ 1）2papbpo，由知2pcpo，p为abc的重心 . 设( , )a x y，则,3 3x yp，由知q是abc的外心，q在x轴上由知,03xq，由qcqa，得222133xxxy，化简整理得：221(0)3xyx. （2）解：( 2,0)f恰为2213xy的右焦点，当直线

14、1l，2l的斜率存且不为0时，设直线1l的方程为2myx，由222330myxxy22(3)2 210mymy，设111(,)a xy，122(,)bxy，则1222 23myym，12213y ym，根据焦半径公式得111222 3()3a bxx，又121222xxmymy12()2 2m yy222 22 23mm2623m，所以1124 32 33a bm222 3(1)3mm，同理222212 3113ma bm222 3(1)31mm，则2222(1)6(3)(31)msmm2222(1)64(1)2mm32，当22331mm，即1m时取等号 . 根据中点坐标公式得223 22,3

15、3mmmm，同理可求得2223 22,31 31mmnmm，则直线mn的斜率为22222223333 23 2313mnmmmmkmmm243(1)mm，直线mn的方程为223mym2243 23(1)3mxmm，整理化简得4333 24ymx m263 3 2490ymx my，令0y，解得3 24x. 直线mn恒过定点3 2,04. 当直线1l，2l有一条直线斜率不存在时，另一条斜率一定为0，直线mn即为x轴，过点3 2,04. 综上，s的最小值的32，直线mn恒过定点3 2,04. 21. （1）当1a时，ln(1)( )1xf xx则(0)0f，21ln(1)( )(1)xfxx则(0

16、)1f，函数( )yf x的图象在0 x时的切线方程为yx. （2）函数( )f x在(0,1)上单调递增，10ax在(0,1)上无解，当0a时，10ax在(0,1)上无解满足，当0a时，只需1010aa，1a21ln(1)1( )(1)axaxxfxax，函数( )f x在(0,1)上单调递增，( )0fx在(0,1)上恒成立，即(1)ln(1)1axxx在(0,1)上恒成立 . 设( )(1)ln(1)xxx( )ln(1)(1)xxxx11ln(1)1xx，(0,1)x，( )0 x，则( )x在(0,1)上单调递增，( )x在(0,1)上的值域为(0,2ln 21). 1(1)ln(1

17、)axxx在(0,1)上恒成立，则12ln 21a综合得实数a的取值范围为11,2ln 21. （3）由（ 2）知，当1a时，ln(1)( )1xf xx在(0,1)上单调递增，于是当103x时，ln(1)( )1xf xx134( )ln323f，当113x时，ln(1)( )1xf xx134( )ln323f，(31) ( )xf x34(31)ln23x，即(31)ln(1)1xxx33(31)ln24x，同理有(31)ln(1)1yyy33(31)ln24y，(31)ln(z1)1zz33(31)ln24z，三式相加得(31)ln(1)1xxx(31)ln(1)1yyy(31)ln(z1)01zz. 22. 解： （1）1c的极坐标方程是244cos3sin，4cos3sin24，整理得43240 xy，1c的直角坐标方程为43240 xy. 曲线2c：cossinxy，221xy，故2c的普通方程为221xy. （2） 将曲线2c经过伸缩变换2 22xxyy后得到曲线3c的方程为22184xy， 则曲线3c的参数方程为2 2cosy2sinx（为参数） . 设22cos,2sinn，则点n到曲线1c的距离为42 2cos32sin245d2 41sin()245242 41sin()