整除的性质和特征

1、带品文档整除的性质和特征整除问题是整数内容最基本的问题。理解掌握整除的概念、性质及某些特殊数的 整除特征，可以简单快捷地解决许多整除问题，增强孩子的数感。一、整除的概念：如果整数a除以非。整数b,除得的商正好是整数而且余数是零，我们就说a能被b整除 (或b能整除a)，记作b/a，读作壑除a“或a能被b整除" a叫做b的倍数，b叫做a的约 数(或因数)。整除属于除尽的一种特殊情况。二、整除的五条基本性质：(1)如果a与b都能被c整除，则a+b与a-b也能被c整除；(2)如果a能被b整除，c是任意整数，则积ac也能被b整除；(3)如果a能被b整除，b能被c整除，则积a也能被c整除；(4)

2、如果a能同时被b、c整除，且b与c互质，那么a 一定能被积be整除，反之也成立；(5)任意整数都能被1整除，即1是任意整数的约数；0能被任意非0整数整除，即0是任 意非0整数的倍数。三、一些特殊数的整除特征：根据整除的基本性质，可以推导出某些特殊数的整除特征，为解决整除问题带来方便。(1)如果一个数是整十数、整百数、整千数、的因数，可以通过被除数末尾几位数字确定这个数的整除特征。 若一个整数的个位数字是2的倍数(0、2、4、6或8)或5的倍数(O' 5),则这个数能被2 或5整除； 若一个整数的十位和个位数字组成的两位数是4或25的倍数，则这个数能被4或25整除； 若一个整数的百位、十

3、位和个位数字组成的三位数是8或125的倍数，则这个数能被8或 125整除。【推理过程】：2、5都是10的因数，根据整除的基本性质(2 ),可知所有整十数都能被10、2、5整除。任意一个整数都可以看作一个整十数和它的个位数的和，如果一个数的个位数字也能被2或5整除，根据整除的基本性质(1 )，则这个数能被2或5整除。又因为4、25都是100的因数，8、125都是1000的因数，根据整除的基本性质(2 )， 可知任意整百数都能被4、25整除，任意整千数都能被8、125整除。同时，任意一个多位数 都可以看作一个整百数和它末两位数的和或一个整千数和它的末三位数的和，根据整除的基本 性质(1 )，可以推

4、导出上面第条、第条整除特征。1欢也下载带品文档同理可证，若一个数的末四位数能被 除，依此类推。(2 )若一个整数各位上数字和能被【推理过程】：因为10 > 100 > 1000除以9都余 因此，对于任意整数ABCDE-( 数)：9n+( A+ B+ C+ D+ E+)16或625整除，则这个数能被16或625整3或9整除，则这个数能被3或9整除。1，所以几十、几百、几千 除以9就余几。)都可以写成下面的形式(n为任意整9n 一定能2法：若一个整数截去个位数字后，7的再从所得的数中，减去个位数字倍数，则原数能被7整除；1法：若除，根据整除个整数截去个位数字后，11的倍数，则再从所得的

5、数中，减去个位数字的基本性质原数能被11整除；4法：若一个整数截(1 )，只要这去个位数字后，13的倍数，则原数能被再从所得的数中，加上个位数字个数各位上的13整除；5法：若一个整数截去个位数数字和(A+字后，17的倍数，则原数能被17整除;再从所得的数中，减去个位数字B+ C+ D+2法：若一个整数截去个位数字后，19E+)能被的倍数，则原数能被再从所得的数中，加上个位数字5欢双下载19整除。个数就能被35条整除特征中，如果差太大，可以继续前或9整除。”的过程，直到能直接判断为止。(3)用截尾法”判断整除性。截尾减的2倍，差是截尾减的1倍，差是截尾加的4倍，差是 截尾减的5倍，差是截尾加的2

6、倍，差是根据整除的基本性质(3),以上面的截尾翻倍相加”或截尾翻倍相减【推理过程】：设任意一个整数的个位数字为V、这个数可以表示成10x + y的形式，其中x为任意整数。一个数截尾减2后，所得数为(x-2y)。因为截去这个数的个位数字后，所得数x减去个位数字y的2倍，实际上是在原数的十位数字上减去2个y,即减去了 2。个y,截尾一个y,总共减去了 21个y，剩下了( x- 2y)个10。如下式：10x - 20y+ y y二(x 2y) X10= ( 10x+y) 21y。根据整除的基本性质，如果(X 2y)能被7整除，则(x 2y ) X10就能被7整除， 即(10x+ y) - 21y能被

7、7整除，21y是7的倍数，可以推出原数(10x+ y) 一定能被7整 除。截尾加4”就是原数截去1个y、加上40个y,总共加了 39y (13的倍数)，得到(x+ 4y )个10,截尾加4”所得(x+ 4y )如果能被13整除，原数必能被13整除。同理，截尾减1 ”就是原数减去了 W个y C1的倍数)，原数剩下(x- y)个10,截尾减1”所得(X- y)能被11整除，原数必能被11整除；截尾减5”就是原数减去了 51个y (17的倍数)，原数剩下(x 5y)个10,截尾减5” 所得(x - 5y)能被17整除，原数必能被17整除；截尾加2”就是原数加了 19y (19的倍数)，得至I (x+

8、 2y)个10,截尾加2”所得(x+ 2y )如果能被19整除，原数必能被19整除。依此类推，可以用截尾加3”判断一个数能否被29整除，用截尾减4”判断一个数能否 被41整除等等。(4 )截尾法”的推广使用。 若一个数的末三位数与末三位之前的数字组成的数相减之差(大数减小数)能被7、11或13 整除，则这个数一定能被7、11或13整除； 若一个整数的末四位与之前数字组成数的5倍相减之差能被23或29整除，则这个数能被23或29整除。(比较适合对五位数进行判断)【推理过程】：设任意一个整数的末三位数为y，则这个数可以表示成1000X+ y的形式，其中x为任意整数。当X大于y时，这个数末三位之前的

9、数字组成的数减去末三位数得到(X y)。这里x减y实际上是在原数的千位上减去y，即减去了 1000y，加上截去末三位数y,总共减去 了 1001y，原数剩下(x y)个1000。如下式：1000x 1000y+ y y= 1000 (x y)=(10OOx + y) 1001y7X11X13= 1001 , 7、11 和 13 都是 1001 的因数。综上所述，如果这个数末三位之前的数字组成的数减去末三位数得到( x y )能 被7、11或13整除，即(1000X+ y) 1001y能被7、11或13整除，则原数必能被7、11 或13整除。当 y 大于 X时，可得 1000 (y- x) =

10、1001y- (1000x+ y)，如果(y x)能被 7、11或13整除，则原数必能被7、11或13整除。设任意一个整数的末四位数为y，则这个数可以表示成10000X + y的形式，其中 x为任意整数。末四位与之前数字组成数的5倍相减之差即(y- 5x)。10000 (y 5x)= 1005y 5 (10000x+ y)因为1005是23和29的公倍数，如果一个数末四位与之前数字组成数的5倍相减 带品文档之差即(y 5x)能被23或29整除，即10000 ( y 5x)能被23或29整除，则原数必 能被23或29整除。依此类推，如果一个数末两位数与之前数字相减之差能被101整除，则这个数必能被101整除等等。(5)若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。【推理过程】：一个整数偶数位上每个计数单位除以11都余1，女口 1、100、10000等，除以11都余1,因此每个偶数位上数字是几，它所表示的数值除以11就余几，所有偶数位上数字之和除以11余几，所有偶数位数字所表示的数值除以11就余几。一个整数奇数位上每个计数单位除以11都缺1 ”(余数为10)，如10、1000、100000等，除以11都缺1 ”，因此每个奇数位上数字