连续时间系统滑模变结构控制演示文稿

1、连续时间系统滑模变结构控制演示文稿（优选）连续时间系统滑模变结构控制3/1滑动模恣到址务件为了保证在有限时刻到达，避免渐近趋近的情况出 现。可对式(3.1.1)进行修正，取为审 <5(3.1.3)其中5为任意小正数。通常将式(3.1.1)表达成(3.1.4)v = |j2V <0满足上述到达条件的滑模变结构控制系统，其 状态的运动轨迹都将在有限时间内到达切换面，并 启动滑动癮志运动。32等效:徨制戲滑动複态运动方程等效控制设系统的状态方程为x = f(x,u,t) xe9V,“ 訥(3.2.1)其中U为控制输入，/为时间。如果达到理想的滑动模态，则5(X)= 0z 箸窖或 需/g“

2、，')= °(3.2.2)式(3.2.2)中称为系统在滑动模态区内的等效控 制,一般用Weq表亦。例如，对于线性系统X=Ax+bu(3.2.3)取切换函数为5(x) -CX(3.2.4)设系统进入滑动模态后的等效控制为吩1,则由式(3.2.3)有s=cx=c(Ax+ buj = 0(3.2.5)若矩阵(励)满秩，则可解出等效控制比赳=_(cb) 1 cAx(326)322滑动複态;运动方程将等效控制代入系统的状态方程式(3.2.1), 可得系统滑动模态运动方程Jx = /(x?weq?z)s(x) = 0兀訥J訓(327)将式(326)代入式(323)可得线性系统的 如下：x

3、I-b(cbcAx(3.2.8)5(X)= CX = 0其中I为单位矩阵。在滑模控制中，等效控制保证系统的状态在滑模面上,保证系统的状态不离开滑模面。切换控制U52U Usdu 二2C005 0 50.02不变性：实现滑动模态运动不依赖于外部扰动和参数 摄动的性质，也可叫鲁棒性、自适应性。是滑模变结 构控制受到重视的最主要原因。3-3滑;谟熒结构控制匹配务件及不芟性对于线性系统，不变性的成立需满足滑动模态的 匹配条件。对于扰动和摄动的作用的不同情况，分三 种情况予以讨论：(D当系统受到外干扰时x = Ax + Bu + Df(3.3.1)其中f表示系统所受的外干扰。滑动模态运动不受干扰影响的充

4、要条件为raiik(jB,Z>) = raiikB(3-3-2)3-3滑;谟熒结构挫制匹配条件及”芟性假如式(332)满足，则系统可化为x = Ax + bf)(3.3.3)其中有Bt) = D通过设计控制律比可实现对干扰的 完全补偿。条件式(3.3.2)称为。(2)当系统存在不确定性时x =Ax+Bu+/Ax(3.3.4)滑动模态与不确定性无关的充分必要条件为 raiik(B,AA) = raiikB(3.3.5)假如式(3.3.5)满足，则系统可化为33滑複苣结;肉:徨制匹迟务件及”芟性x = Ax + B(u + AAx)(3.3.6)其中有BAA = A4o通过设计控制律可实现对

5、不确定 性的完全补偿。条件式(335)称为(3)当系统同时存在外干扰和不确定性时x = Ax + AAx + Bu + Df(3.3.7)若同时满足匹配条件式(3.32)和(33.5),则(3.3.8)系统可化为x = Ax + B(u + AAx + Df)通过设计控制律实现同时对不确定性和外干扰的完 全补偿。彳勺滑模变结沟控制器设计基才方法也计切塗函敛'使得所碉定的滑动模忑运动新近 危疋旦具有艮好f i；丿动花品两丿J)二阶单输入务统(规范空间丿线性切:铤函数为s =cx + x(3.4.1)由于选择兀和无为状态，所以，只有c>0时,在切换面上的状态运动轨迹才会渐近趋向原点，

6、即保证了系统为渐近稳定。:嘅屣粧麟取健那国尿蜩3出滑模变结拘控制器钱计基李方祛而选择不同的C值时，切换面上的状态运动轨迹趋 向原点的速度是不同的，C越大，对于相同的x ,x 的变化率越大，从而趋近速度越快。图3.4.1,切换函数的参数分别选取c = 0.8和C = l7图341彳勺滑模莹结潮空制器设计基才:万法Z）高阶单输入系统（般疔态空间丿线性切逆函软为$（兀）=CX +C2X2 + + 兀 （3.4.2）参数c = （cg，,£1）的确定是至关重要的，所设计的参数必须使系统在切换面上的滑动模态运动是渐近稳定的。般地，考虑如下系统:(3.4.3)x = Ax + buxe9in在滑

7、模控制中，参数c = （q,C2，,c”l）应满足多项式：一2 + . + C2# + C为Hurwitz,其中p为拉普拉斯算子当 n=2,5（x） = c1x1 + x2,多项式：p+C为Huiwitz, p+C =0的特征值实数部分为负。n - 3 时，5（x） = qX + c2x2 + 兀3,多项式：p'+CgP+c为Hurwitz, p2+c2p+C1 =0的特征值实数部分为负。设:p2 + 2A/? + 22 = 0,即：（卩+几）2 = 0,取几0,满足p2+ 22p + 22 = 0特征值实数部分为负3出滑模变结拘控制器钱计基李方祛通过Ackermann公式来求解其参数

8、，具体方法如下:c=eJP(A)(3.4.4)其中"=(0.0 1)少的占町|P(A) = (A - A/)(A -人/)(A - 人 _/)入,禺,凡I为期望选取的特征值。2设计控制律，使到达条件得到满足，从而在切 换面上形成滑动模态区。滑篌变结潮空制器设计基2匚方法1）常值切换控制（bang-bang控制）u =如 sgn(5(x)(3.4.5)其中"。为待求常数。2）函数切换控制U = Weq + Uo Sgn(5(x)(3.4.6)这是以等效控制为基础的控制结构形式。3）比例切换控制Ku =¥iXi k <n（3.4.7）i=l其中，心和几为常数。3

9、Z基于比例切逆的滑複芟结初控制1.控制对象【例3.5.1】考虑如下被控对象模型:其中，6? =-10 = 120 o相应状态空间模型方程为:x-Ax+ Bu其中，二 即有oB =(120x = x2x2 = 10x2 + 120w(3.5.1)(3.5.2)(3.5.3)2控制器设计（以位置跟踪系统为例）设位置给定信号为厂，将系统的位置误差e和位置误差变化率幺作为状态变量,即:r -r - x2(3.5.5)(3.5.4)取切换函数为s = ce + e根据比例切换控制方法，取控制律为W = (ae + 0同)sgn(s) (3.5.6)其中。和0为大于零的常数。Matlab仿真案例：基于比例

10、切换函数的滑模控制其中 Q = -(25 + 5sin6F),b = 133 + 50sin2Fx = Ax rBu其中采用基于比例的切换函数控制方法，S=1为阶跃响应，S=2为正弦响应。在控制律中，取 830,500,10."设位置给定的信号为乙=1.0,将系统的位置误差e和位置误差变化率e作为状态变量, 即：V3 = rm-X2则取切换函数为：“s = ce + e根据比例切换控制方法，取控制律：( 、u= ae-/3 e sgn(s)“预备知识：关于Matlab的ODE45函数的用法。如何使用ODE45芒 MATLAB 丰 ode23； ode45; odell3; odel5

11、s; ode23s: ode23t ode23tb 等函数都是用来解 决常微分方程的初值问题。根据MATLAB的蓿助文档，应优先尝试使用ODE45求解器。 基本语法：T,Y) = solver(odefun,tspan,yD)T,Y) = solver(odefun,tspan,yO,options)其中的求解器为 cde45f oae23, odell3, odel5s, ode23s, ode23t, or oae23tb 之一。相关参数介绍如下：参数名称参数说明odefun用于存放待求解的方程的m文件名：方程必须用y5=f(ty)的形式存放tspan指定自变量范围的向量，逍常用totf指

12、走yo函数的边界条件，即v0=v(tO),对于方程vO也可以是庇量options设蚩求解的相关谨项，可以快用odeset函数创建选项求解方程：/-=1? XI) = 1在4的解i事实上这个微分方程可以采用一股的公式求解，其理论解为p=/(ln/十1),下面用ODE45来求解。首先要准备好一个M文件，我们命名为fimcn,内容如下：|function dy=func(t；y) dy=y/t+l;%土0DQ色(t,y)曲竝込 end然后在MATLAB命令窗口中输入；I rt.vl=ode45(3 funcj 1.41 1):|或者：I rt.vl =ode45Cfunc3.f 1.4, 1);|运

13、行后得到的t和y都是45*1的庇量，可以使用函数plot(t：y)得到函数图:clear all;close all;global S A F c a If a betaxk二0,0;ts=0.001;T=1；TimeSet=0:ts:T;t,y=ode45('chap2_1 eq',TimeSet,xk,); x1=y(：,1)；x2=y(:,2);if S=1rin=1.0;drin=0;elseif S=2rin=A*sin(F*2*pi*t);drin=A*F*2*pi*cos(F*2*pi*t);ende1=rin-x1;e2=drin-x2;s=c*e1+e2;fo

14、r k=1:1:T/ts+1u(k)=(alfa*abs(e1(k)+beta*abs(e2(k)*sign(s(k); endfigure ；plot(t,rin,F,t,y(:,1),b);xlabel('time(s)');ylabel(>Position tracking*); figure(2);plot(t,u)；xlabel(,time(s),);ylabel(,u,);figure(3);Plot(e1,e2,r,e1,-c*e1；b*);xlabel(*time(s)');ylabel('Phase trajectory');fu

15、nction dx=PlantModel(t,x,flag,para) global S A F c alfa beta dx=zeros(2,1);S=1; %S=1时为阶跃响应，S=2时为正弦响应if S=1rin=1.0;drin=0;elseif S=2A=0.5;F=3;rin=A*sin(F*2*pi*t); drin=A*F*2*pi*cos(F*2*pi*t);endc=30;alfa=500;beta=10;e1=rin-x(1);e2=drin-x(2);s=c*e1+e2; u=(alfa*abs(e1)+beta*abs(e2)*sign(s);d)(=x(2); dx

16、(2)= (25+5*sin(3*2*pi*t)*x(2)+(133+50*sin(1 *2*pi*t)*u;案例分析：见教材P25 （滑模变结构控制Matlab）一个简单的滑模控制案例。系统运动包括趋近运动和滑动模态运动两个过程。 根据滑模变结构控制原理，滑动模态到达条件仅保证 状态运动点由状态空间中任意初始位置在有限时间内 到达切换面，而对于趋近运动的具体轨迹未做任何限 制，若釆用趋近律的方法，则可以改善趋近运动的动 态品质。在2.3.4节中介绍了常见的几种趋近律。3.6.1(3.6.1)1 控制器的设计 系统的状态方程如下：x -Ax+Bu采用趋近律的控制方式，设切换函数为从而5-Cxs

17、=Cx = slaw(362)(363)(364)(3.6.5)其中slaw代表趋近律，例如，釆用指数趋近律，则有slaw = s = £ sgn s ks 其中£和k皆为正实数。将式(3.6)代入(363)中，即有Cx = C(Ax + Bu) = slaw从而可以得到控制作用如下：u = (CB)l(-CAx + slaw)几种常见的趋近律:滑模变结构控制的品质几种常见趋近律:(1) 等速趋近律s = sgn(v)6->o(2) 指数趋近律s = s sgn(5) ks e > 0, > 0(3) 幕次趋近律s =上卜 ° sgn(.v)0

18、< rtf < 1(4) 一般趋近律d = £ sgn(.y) f (s)$ > o注：选取原则是保证系统状态点远离切换面时具有较快 趋近速度，由于过大趋近速度会导致剧烈抖振，是以适 当选择f(S),使系统以适当速度趋近切换面。3.6.12.实例【例361】选择被控对象为即有(368)1、 B =(0、10丿9<120,x-Ax+ Bu其中&x = x2x2 = 10 x 2 + 120w(369)釆用指数趋近律为例。选择切换函数为取c = 20 ,即C = (20,l) o指数趋近律为slaw = s = -£sgns -ks ,其中取 g

19、 = 2, £=50。将A B, C, sbw的值代入(367)式，可得控制律式为u = £30兀2 2sgn(s)50s(3.6.10)采用Matlab的M语言建立仿真程序，可得到直观结果。滑模变结构控制M ATLAB仿真趋近律参数选择原则以如下指数趋近律为例:s = -ssgn(s)-ks, £>0. k>0 (3.6.11) 指数趋近律是趋近效果比较好的一种趋近律。在趋 近过程中，指数趋近律的趋近速度是变化的，具有 既可以加快趋近时间又也可以削弱抖振的优点。3.6.1s = £sgn($)_&当状态运动点远离切换面时，趋近速度主

20、要 取决于童项。而当到达切换面附近时，由于1 变得很小，趋近速度则主要取决于期疆项的大 小。常将 值取得较大，使状态点快速趋近切换 面；而将 值取得较小，从而使切换面附近的趋 近速度较小，这样就可以保证系统以较小的速度 到达切换面，削弱了抖振。基于趋近律的滑模控制Matlab分析案例:举例说明；亠设传递函数；G(s). 迪,其中a = 25, b=i33.则G(s)的状态方程；亠0133x = Ax + Bn其中0 1 A =0 25在仿真程序中，M=1为等速趋近律；M=2,指数趋近律；M=3为慝次趋近律；M=4 为一般趋近律；其中 C = |153 1|, = 5 = 10,75 =0.00

21、1oclear all;close all;global M A B C eq kts=0.001;T=2;TimeSet=O:ts:T;c=15;C=c,1;para=c;t,x=ode45(,chap2_4eq,TimeSet,0.50 0.50, ,para); x1=x(:,1);x2=x(:,2);s=c*x(:,1)+x(:,2);if M=2for kk=1:1:T/ts+1xk=x1(kk);x2(kk);sk(kk)=c*x1 (kk)+x2(kk); slaw(kk)=-eq*sign(sk(kk)-k*sk(kk);%Exponential trending law u(

22、kk)=inv(C*B)*(-C*A*xk+slaw(kk); end endfigure(1);plot(x(:,1 ),x(:,2),r,x(:,1 ),-c*x(:,1 ),'b'); xlabel('x1');ylabel('x2');figure(2); plot(t,x(:,1)；r,); xlabel(,time(s),);ylabel(,x1');figure(3); plot(t,x(:,2),'r,); xlabel('time(s)*);ylabel('x2');figure(4);

23、plot(t,s,r,); xlabel(*time(s),);ylabel(,s,);if M=2figure(5);plot(t,u,)； xlabel(*time(s)');ylabel(,u');子程序function dx=DynamicModel(t,x,flag,para)global M A B C eq k a=25;b=133;c=para(1);s=c*x(1)+x(2);A=0 1；0 -a;B=O;bJ;M=2;eq=5.0;if M=1 %M=1为等速趋近律，42为指数趋近律，心3为幕次趋 近律，为一般趋近律 slaw=-eq*sign(s);%Eq

24、ual velocity trending lawelseif M=2k=10;slaw=-eq*sign(s)-k*s;%Exponential velocity trending lawelseif M=3k=10;alfa=0.50;slaw=-k*abs(s)Aalfa*sign(s);%Power trending lawelseif M=4 k=1;slaw=-eq*sign(s)-k*sA3; %General trending law enddx=zeros(2,1);u=inv(C*B)*(-C*A*x+slaw);dx(1)=刈 2); dx(2)=-a*x(2)+b*u;

25、3.6.21 控制器设计 系统状态方程如下3.6.23.6.2x-Ax+ Bu(3.6.12)其中A =如A23.6.2B2 e 9T"% g 憎此时的系统称为滑模变结构控制系统的,对于任意能控系统，均可以选择适当的状态变换将系 统转换为简约型。此处，设定上式中的m = l,n = 2, 即系统为单输入二阶系统。无2 =人21兀1 +人22兀2 + BqU设给定信号为I则误差为误差变化率为"r "e = r = r -x2 设C = (c, 1),误差向量为E彳;s = CE = c(r xt)+ r-x2即有(3.6.13)(3.6.14),则切换函数为(3.6

26、.15)、-(3.6.16)s - CE - c(r -x2) + r -x采用趋近律slaw,将式(3.6.13)代入式(3616)中, 得控制律为u = (c(r - x2) + r - A2ix - A22x2 一 slaw) (3.6.17)2.实例【例362】选择被控对象为x-Ax+ Bu(3.6.18)其中&1 10”U20丿即有卩1 =兀2x2 = 10x2 +120“(3.6.19)按照控制器的设计步骤设计控制系统。误差为e =厂一兀(3620)误差变化率为e = r -xl = r x2(3.6.21)切换函数为s = ce + e = c(r + r x2(3622

27、)取c = 20,从而，由式(3615)得系统控制作用为u -(20(/- - x2) + r -10x2 - slaw) (3.6.23)slaw取为指数趋近律：362slaw = s = £其中比=50 , e = 2 oks(3.6.23)(2.16)(2.17)(2.18).3.1系统描述考虑被控对桑= f (0)+加仃)+d(f) 其中9f(09t)和6为已知且”>Od(C为外部干扰滑模除数设计为 s(t) = Cf(t) + 2(f)其中tC>0满足Hurwitz条件谋差及其导数为e(0 =仇 _ 0(门“ =历 _ 0(门其中血(。为理想角度信号则；&quo

28、t;)= ce(t) + 2(f)=c(dd + ©d $(f)>=cG 一 d(l>)+ © + /一 加一 d)采用指数趙近律有5 = esgns ks e°M>°由式(2.18)和式(2.19),得c(N - J)+(万d + /-加一刃=_ esgns _ ks 则滑模控制律为“=y(esgni + 怂 +c(da _扔 + 万d + / rf)(2. 20)显然由r扰d未知上述控制朮无法实现.为了解决这一问题采用干扰的界来 设计控制律.设计滑模控制律为'"=y(esgn.v + ks +c(0d _ 防 +

29、N + /_ d,)(2. 21)其中么为待设计的与干扰的界相关的正实数.选取的原则如下：“I当5<r)> 0时门(/) = _怂+么_右为了保证5(/)<0,取必=血。 当 $(/)<()时 J (/)= 触 +么d,为 了 保证,(|)>0,取 dc=u。 取d严气虫/2 =也矜，则可设计满足上述两个条件的么/ = d2 一 dSgny(2. 24)37基于准清动複忑的滑複芟结鞫：j空制所谓准滑动模态，是指系统的运动轨迹被限制在切换面的某一凰邻域内的模态。闕话被吸引至切换面。而准滑动模态控制则是使一定范内的状态点均被吸引至切换面的某一/邻域内。通常 称此邻域为

30、滑动模态切换面的边界层。在边界层内，准滑动模态不要求满足滑动模态的 存在条件。因此，准滑动模态不要求在切换面上进行 控制的切换。它可以是在边界层上进行结构变换的控27墓于准淆动谟忑的滑複芟结絢控制控制系统，也可以是根本不进行结构变换的连续状态 反馈控制系统。准滑动模态控制在实现上的这种差别，使它从根 本上,从而在实际中得到 了广泛的应用。在连续系统中，常用的准滑动模态控制有以下两 种方法。代替理想滑动模态控制作用sat(s 丞聽誉奎型sgn(j):/1墓干准淆动谟芯的滑蟆芟结絢控制1sat(s) = ks-1s> A 卜G s <-A丄J(3.7.1)其中/称为“边界层” O饱和函

31、数如图371所示。A1-、sat(s)1 07JS-103.7.127墓于准滑动谟莎的滑谟苣结鞫径制控制律中釆用饱和函数代替符号函数，其控制作用在 本质上已变为：在边界层外，采用切换控制；在边界 层内采用线性化反馈控制。0s(3.7.2)【例3.7.1】仍选择被控对象为尋于准淆动複芯的滑橈芟结鞫控制(3.7.3)其中&<00120x-Ax+ Bu即有r.上二无2(3-7.4)x2 = 10 x 2 + 120u按照36节控制器的设计步骤设计一个基于准 滑动模态的位置跟踪滑模变结构控制系统。由式(3.6.22)得系统控制作用为u =(c(r - x2) + r - 10x2 sla

32、w)(3.7.5)27墓于准淆动谟忑的滑複芟结絢控制slaw取为指数趋近律：slaw = s = £ s 纠 s ks(3.7.6)其中 k = 50 , £ = 2。现采用饱和函数取代控制作用中的符号函数, 即可实现准滑动模态下的滑模变结构控制。作用 准滑动模态下的滑模变结构控制具有削弱 抖振的效果global abcAFMepk deltats=0.001;T=5;TimeSet=O:ts:T;c=5.0;para=D;t,x=ode45(,figure2_8eq,TimeSet,-0.5 0,para); x1=x(:,1);x2=x(:,2);r=A*sin(2*p

33、i*F*t); dr=A*2*pi*F*cos(2*pi*F*t); ddr=-A*(2*pi*F)A2*sin(2*pi*F*t); s=c*(r-x(:,1)+dr-x(:,2);if M=1slaw=-ep*sign(s)-k*s;%Exponential velocity trending law u=1/b*(c*(dr-x(2)+ddr-slaw+a*x )； elseif M=2 kk=1/delta;for i=1:1:T/ts+1;if s(i)>deltasats(i)=1;elseif abs(s(i)<=deltasats(i)=kk*s(i);elseif s(i)<-deltasats(i)=-1;endslaw(i)=-ep*sats(i)-k*s(i); u(i)=1/b*(c*(dr(i)-x2(i)+ddr(i)-slaw(i)+a*x2(i); en