圆的概念-公式及推导(完整版)

1、几何说： 平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。 定点称为 圆心，定长称为半径。轨迹说： 平面上一动点以一定点为中心， 一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。圆的相关量圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，值是3.149323846，通常用冗表示，计算中常取3.1416为它的近似值。圆弧和弦： 圆上任意两点间的部分叫做圆弧， 简称弧。 大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。 连接圆上任意两点的线段叫做弦。 经过圆心的弦叫做直 径。圆心角和圆周角： 顶点在圆心上的角叫做圆心角。 顶点在圆周上， 且它的两边 分别与圆有

2、另一个交点的角叫做圆周角。内心和外心： 过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆， 其圆心叫做三角形的外心。 和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆， 其圆心称为内心。扇形： 在圆上， 由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。 圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。圆和圆的相关量字母表示方法圆一O半径一r弧一c 直径一d扇形弧长圆锥母线 l 周长 C 面积 S圆和其他图形的位置关系圆和点的位置关系：以点 P 与圆 O 的为例（设P 是一点，则 PO 是点到圆心的距离），P 在。外，PO>r； P 在。上，PO = r； P 在。内，PO<r。直线与圆有3 种位

3、置关系： 无公共点为相离； 有两个公共点为相交； 圆与直线有唯一公共点为相切， 这条直线叫做圆的切线， 这个唯一的公共点叫做切点。 以直线AB与圆O为例（设OP XAB于P,则PO是AB到圆心的距离）：AB与 。相离，PO>r； AB 与。相切，PO = r； AB 与。相交，PO<r。两圆之间有5 种位置关系： 无公共点的， 一圆在另一圆之外叫外离， 在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为R和r,且R>r, 圆心距为P:外离P>R+r；外切P=R+r；相交 R-r<

4、P<R+r；内切P=R-r;内 含 P<R-r。【圆的平面几何性质和定理】有关圆的基本性质与定理圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆。圆的对称性质： 圆是轴对称图形， 其对称轴是任意一条过圆心的直线。 圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。有关圆周角和圆心角的性质和定理在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。直径所对的圆周角是直角。 90 度的圆

5、周角所对的弦是直径。有关外接圆和内切圆的性质和定理一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。 外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点， 到三角形三个顶点距离相等； 内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。有关切线的性质和定理圆的切线垂直于过切点的直径； 经过直径的一端， 并且垂直于这条直径的直线，是这个圆的切线。切线判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线的性质：（ 1 ）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（ 2 ）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。切线的长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等。K有关圆的计算

6、公式11.圆的周长C=2兀r=冗d 2.圆的面积S=tt r23.扇形弧长l=n兀r/1804.扇形面积S=n：t360=rl/25.圆锥侧面积S=tt rl弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。如右图所示， 直线PT切圆。于点C,BC、AC为圆O的弦，则有/ PCA=/PBC（/ PCA为弦切角）。图示弦切角定理弦切角定理证明：证明一：设圆心为O,连接 0（ / TCB=90- / 0CB. / BOC=180-2 / 0CB 一 1C, 0B,连接BA并延长交直线 T于点P。 i弦切角定理： 弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.（弦切角就是切线与弦所

7、夹的角）TCB此图证明的是弦切角/ , / BOC=2 / TCA （定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半） / BOC=2 / CAB （圆心角等于圆周角的两倍）丁./ TCA= Z CAB （定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知： AC是O O的弦，AB是。O的切线，A为切点，弧是弦切角/BAC所夹的弧.求证：（弦切角定理）证明：分三种情况：（1） 圆心O在/ BAC的一边AC上 AC为直径，AB切。于A , 弧 CmA=弧 CA 为半圆，丁./ CAB=90=弦CA所对的圆周角B点应在A点左侧（2） 圆心O在/ BAC的内部.过A作直径AD交。于D,若在优弧

8、m所对的劣弧上有一点E那么，连接 EC、ED、EA贝U有：/ CED= / CAD、/ DEA= / DAB/ CEA= / CAB（弦切角定理）（3） 圆心O在/ BAC的外部,过A作直径AD交。于D那么 / CDA+ / CAD= / CAB+ / CAD=90/ CDA= / CAB，（弦切角定理）弦切角推论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等举例：例1 :如图，在中，/ C=90 ,以AB为弦的。O与AC相切于点 A , / CBA=60 AB=a 求 BC 长.BAC=30BC=1/2a（ RT中30°角所对边等于斜边的一半）例1:如图，在中，/C=90,以AB为

9、弦的。O与AC相切于点 A, Z CBA=60 , AB=a 求BC长.解：连结OA , OB. 在中，/ C=90 ./ BAC=30BC=1/2a（ RT中30°角所对边等于斜边的一半）B D例2:如图， AD是A ABC中/ BAC的平分线，经过点 A的。与BC切于点 D,与AB , AC分别相交于巳F.求证：EF / BC.证明：连 DF.AD 是/ BAC 的平分线 / BAD= / DAC/ EFD= / BAD/ EFD= / DAC。切 BC 于 D / FDC= / DAC/ EFD= / FDCEF / BC例3:如图， A ABC内接于。O, AB是。O直径，C

10、D ±AB于D, MN切。于C, 求证：AC平分/ MCD , BC平分/ NCD.证明：AB是。O直径 ./ ACB=90CD ±AB/ ACD= / B , MN 切。O 于 C/ MCA= / B , ./ MCA= Z ACD ,即AC平分/ MCD , 同理：BC平分/ NCD.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的 切线长 相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。如图中，切线长 AC=AB 。 / ABO= / ACO=90BO=CO=半径AO=AO公共边 . Rt AABO0 Rt AACO ( H.L )AB=AC/AOB= /AOC/ OAB=

11、/ OAC切线长定理推论：圆的外接四边形的两组对边的和相等切线长的概念.如图，P是。O外一点，PA, PB是。O的两条切线，我们把线段PA, PB叫做点 P到。O的切线长.引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外 一点和切点，可以度量.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点 的连线平分两条切线的夹角.推广：连接 BC , BCXAO相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）相交弦说明几何语言：若弦AB、CD交于点P则PA

12、 PB=PC PD （相交弦定理）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P,则PCA2=PA PB （相交弦定理推论）编辑本段如何证明证明：连结 AC , BD ,由圆周角定理 的推论，得/ A = /D,/C = /B°（圆周角 推论2:同（等）弧所对圆周角相等 .） ， PACA PDB，.二PA ： PD=PC ： PB, PA- PB =PC PD注：其 逆定理 可作为证明圆的 内接三角形 的方法.P点若选在圆内任意一点更具 一般性。»斯一，- E C* 二/JIX 所叫Mt Pb-K ：

13、W;I3r, -fa - PR .卞 ri'I I / 一 u 一制【交弦定理切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的 比例中项。是圆哥定理 的一种。几何语言： PT切。于点T, PBA是。O的割线PT的平方=PA PB （切割线定理）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言： PBA , PDC是。O的割线PD- PC=PA PB （切割线定理推论）（割线定理）由上可知：PT的平方=PA PB=PC PD证明切割线定理证明：PB设ABP是O O的一条割线，PT是。O的一条切线，切点为T,则PT&am

14、p;sup2;=PA证明：连接 AT, BTPTB= / PAT（弦切角定理）/P=/P（公共角）. PBT pta（两角对应相等，两三角形相似 ）贝U PB: PT=PT : AP即：PT&sup2;=PB- PA相交弦定理（经过圆内一点引两条圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 线，各弦被这点所分成的两段的积相等）相交弦说明几何语言：若弦AB、CD交于点P则PA PB=PC PD （相交弦定理）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P,则PCA2=PA PB （相交弦定理推论）如何证明证明：连

15、结 AC , BD ,由圆周角定理 的推论，得/ A = /D,/C = /B°（圆周角 推论2:同（等）弧所对圆周角相等 .） ， PACA PDB，.二PA ： PD=PC ： PB, PA- PB =PC PD注：其 逆定理 可作为证明圆的内接三角形 的方法.P点若选在圆内任意一点更具一般性。翘万工耳=7a /|iHflGJU：P'j»rAPD«>A PfU K ： M相交弦定理从圆外一点 P引两条割线与圆分别交于 A.B.C.D 则有PA PB=PC PD。证明：如图直线 ABP和CDP是自点 P引的。O的两条割线，则 PA PB=PC PD

16、 证明：连接AD、BCB二 一 文.一/A和/C都对弧BD 由圆周角定理，得 ZA= ZC又. / APD= / CPB . ADP s' cbp . AP:CP=DP:BP, 也就是 AP- BP=CP DP101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直 平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距

17、离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧111推论1平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧112推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形114定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等115推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们

18、所对应的其余各组量都相等116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半117推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等118推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90。的圆周角所对的弦是直径119推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形120定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角121直线L和。相交dvr直线L和。O相切d=r直线L和。相离d>r122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径124推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点125推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角127圆的外切四边形的两组对边的和相等128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角129推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等130相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等131推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两