综合法和分析法课件3

1、综合法和分析法综合法和分析法通过前面的学习我们直到，合情推理多得出的结论我们需要加以证明，这正是数学区别于其他科学的显著特点.数学结论的正确性必须通过演绎推理(逻辑推理)的方式加以证明，本节我们来看一种基础的证明方法1.直接证明：直接证明包括两种最基本证明方法直接证明：直接证明包括两种最基本证明方法综合法综合法(synthetical methed)(synthetical methed)：所谓综合法，是指：所谓综合法，是指“由因导果由因导果”的思想方法，即从已知条件出发，不断的思想方法，即从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论的方法地展开思考，去探索结论的方法 .综合法的可概括为下面形式

2、： pq1q2q3q1q2qnq例例1已知已知a,b0,求证：求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc.证明：证明：b2+c22bc,a0a(b2+c2)2abc同理同理,c2+a22ac,b0b(a2+c2)2abc a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc练习1: 已知ad是bac的平分线,deca,且交ab于e(如图).求证：de=ae 分析：分析：综合法是由因导果,立足于寻找已知条件合适的必要条件,适宜于表述 321eacbdfad平分bacdeca已知1=22=3已知11=3已知2de=ae结论例2 在abc中,三个内角a、b、c对应的边分别为a,b,c,且a,b,c成等差

3、数列,a,b,c成等比数列.求证：abc为等边三角形.abc练习 如图所示,abc在平面外,abp,bcq,ac=r,求证：p、q、r三点共线. 分析：p、q、r，p、q、r平面abc 则p、q、r是两平面的交线abrpcq在解决实际问题时，经常要先作语言的变换文字语言文字语言图形语言图形语言符号语言符号语言然后在仔细分析题目的隐含条件，将隐含条件表示出来分析法分析法(analytical methed)(analytical methed)：是指“由因导果”的思想方法，即从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论的方法 qp1p2p3p1p2得到一个明显成立的条件分析：从待证不等式不易发现证

4、明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件.例3 求证：372 5证明：因为 都是正数，所以要证372 5和22372 5( 37)(2 5) ,102 2120,215,2125.2125372 5.，只需证展开得只需证只需证因为，所以成立分析：分析：ad平分bacdeca只需证1=22=3只需证1=3只需证de=ae要证练习1: 已知ad是bac的平分线,deca,且交ab于e(如图).求证：de=ae .321eacbdf练习 2 设a,b,c为一个三角形的三边，s=(a+b+c)/2,且s2=2ab. 求证：s2as2as=(a+b+c)/2b+c3as2=2abb

5、ss=(a+b+c)/22b2s=a+b+cba+b1.由于分析法是执果索因，立足于寻找欲证结论的合适的充分条件，利于思考；而综合法是由因导果，立足于寻找已知条件合适的必要条件，适宜于表述因此，对于一个新的问题，多半采取先用分析法寻求解法，后用综合法有条理地表述 2.实际证题过程，分析与综合是统一运用的，把分析和综合孤立起来运用是脱离实际的没有分析就没有综合；没有综合也没有分析问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却刚好相反，是综合法居主导地位，而分析法伴随着它 说明)tan1 (2tan1tan1tan1sincossin ,sin2cossin ),

6、(2, . 422222求证：且已知例zkk分析：证明式中没有,因此我们要将消掉,如何消掉？而且在条件中只有弦,而在证明结果里面只有切,因此我们要弦化切1.综合法：综合法：(sin+cos)2-2sincos1(2sin)2-2sin214sin2-2sin212(cos2sin2)cos2-sin2即：即：2(cos2sin2)cos2+sin2cos2-sin2cos2+sin2)tan1 (2tan1tan1tan122222.分析法：分析法：)tan1 (2tan1tan1tan122222(cos2sin2)cos2+sin2cos2-sin2cos2+sin2要证：要证：只要证：只要证：2(cos2sin2)cos2-sin2只要证：只要证：只要证：只要证：4sin2-2sin21(sin+cos)2-2sincos1只要证：只要证：这是三角函数的基本性质这是三角函数的基本性质)tan1 (2tan1tan1tan12