第二章 解析函数

1、 第二章第二章 解析函数解析函数 解析函数是复变函数研究的主要对象解析函数是复变函数研究的主要对象1 1 介绍复变函数导数概念和求导法则介绍复变函数导数概念和求导法则2 2 讲解解析函数的概念及其判别法，阐讲解解析函数的概念及其判别法，阐明解析与可导的关系明解析与可导的关系3 3 介绍一些常用的初等函数，说明它们介绍一些常用的初等函数，说明它们的解析性。的解析性。2.1 2.1 解析函数的概念解析函数的概念 一、复变函数的导数一、复变函数的导数 1导数的定义导数的定义 设函数设函数( )f z在开区域在开区域d内有定义内有定义0zzz 是是d内任一点，令内任一点，令 00()()f zzf z

2、 如果如果 0000limlimzzfzzfzzz ( )f z在在0z处可导，处可导，a 为为( )f z在在0z处的导数处的导数0fz或0z zddz0,zd定义定义1 1存在，记作存在，记作a称称记作：记作：即即(2.1)或写成微分形式或写成微分形式0(0)fzzozz 0000()()limzf zzf zfzz (2.2)00df zfzz 0f zz为在 处的微分故也称 0f zz在 处可微。则称则称如果如果 f z在区域在区域d内处处可导（可微），内处处可导（可微）， f z在在d内可导（可微）内可导（可微）。例例1nzzf)(求函数求函数n（ 为正整数）的导数。为正整数）的导数

3、。解解因为因为 0limzf zzf zz 0limnnzzzzz 1201lim2!nnzn nnzzz 1nnz所以所以 1nfznz例例2( )ref zz证明证明在全平面处处不可导。在全平面处处不可导。证明证明0z因为对任意一点因为对任意一点 000000rereref zf zzzzzzzzzzz分别考虑直线分别考虑直线0rerezz及直线及直线0imimzz在前一直线上，上式恒等于在前一直线上，上式恒等于0； 在后一直线在后一直线上，上式恒等于上，上式恒等于1。0zz故当故当时，时，上式没上式没有极限，有极限，即即( )f z0z在在处没有导数。处没有导数。由于由于0z的任意性，的

4、任意性，( )f z在全平面处处没有导数。在全平面处处没有导数。2 可导与连续可导与连续 定理定理1证明证明( )f z在在0z处可导处可导,则则( )f z在在0z处连续。处连续。若若( )f z在在0z处可导，处可导，对于任意的对于任意的0,存在存在0,0z 使得当使得当时，有时，有 000()f zzf zfzz 000f zzf zzfzz 令令0lim0zz 则则000f zzf zfzzzz 由由000limzf zzf z 有有即即( )f z在在0z处连续。处连续。3 求导法则求导法则 1 0c(c为复常数)2 cf zcfz(c为复常数)3 f zg zfzgz4 f zg

5、zfz g zf z gz5 2f zfz g zf z gzg zgz( ( )0)g z 6 fg zfgzfg zgz( )g z7 f zzh当与是两个互为反函数的是两个互为反函数的单值函数，单值函数， 0h且时， 1fzh例例3 (1)(1)利用法则利用法则6 6，得：，得： 12011( )(1)nnnfza nza nza例例4 32(1) 46,f zzz已知 0f 求； zf 求； (2) ,nf zz已知解解 2234624fzzzz利用法则利用法则1,2,31,2,3，得：，得： 20 03 64432zffz 从而(2) ( )znf z ,nzh的反函数为的反函数为

6、由法则由法则7 7，得：，得： 111111nnnnnfzzhnn z1011( )nnnnf za za zaza求的导函数。解解4 函数可导的条件函数可导的条件 定理定理2(cauchyriemann) ,f zu x yiv x y设设zxiyd且且在在在区域在区域d内有定义，内有定义，可导，则可导，则, ( , )( , ),uuvvu x yv x yx yxyxy在在点点存存在在偏偏导导数数且满足方程且满足方程uvxyuvyx 此时，此时，的导数可写成的导数可写成( )f zz在在点点 uvvufziixxyyc-r(cauchyriemann)条件条件)(2.3)(2.4)证明：

7、证明：( )f zz由由于于在在点点 可可导导，则依任何方式则依任何方式 0z 都都有有 0limzfzz 其中其中,zxi y f zzf zui v ,uu xx yyu x y ,vv xx yyv x y z沿实轴趋于零，则沿实轴趋于零，则不妨先让不妨先让 0limzfzz 0000limlimxxyyuvixx uvixx0limzui vxi y uviyy z沿虚轴趋于零，则又有沿虚轴趋于零，则又有再让再让 0limzfzz 0limzui vxi y 0000limlimxxyyui vi yi y 比较上两式，则得比较上两式，则得 ,uvxyuvyx z且且在在点点 处处有有

8、 uvvufziixxyy注意注意 ：本定理表明，若函数本定理表明，若函数( )f zz在在点点 可可导导，（2.42.4）可求得点的导数）可求得点的导数则依据公式则依据公式这比由导数定义求这比由导数定义求( )fz。导方便得多。导方便得多。 cr cr条件只是导数存在的一个必要条件条件只是导数存在的一个必要条件。 例例5 证明：函数证明：函数处处不可导。处处不可导。 证明证明 ,f zxiy,1uux vyx 即即从从而而，,uvxy因此，在复因此，在复1;vy 即即c-rc-r条件不成立，条件不成立，平面的任何点处，平面的任何点处， f zz不可导。不可导。 f zz0z 在在点点处的可导

9、性。处的可导性。 f zxy讨论讨论解解,u x yxy，,0v x y ，0z 在在点点处处有有0,000,00,0lim0 xuxuuxx ，0,00uy，0,00,00vvxy例例6 6即函数即函数 f zxy0c-rz 在在点点满满足足条条件件。但若让但若让 00limzfzfz 0zxi yyk x 沿沿射射线线趋趋于于 ，则则有有1kik 0limxy kxxyxi y 所以函数所以函数 0z 在在点点处的不可导。处的不可导。 f zxy定理定理3 (函数可导的充分必要条件函数可导的充分必要条件) ,f zu x yiv x y函函数数dzxiy在在区区域域 内内点点处处可导的充分

10、必要条件是可导的充分必要条件是uvxyuvyx , ( , )( , )u x yv x yx y在在点点处处(c-r条件条件)可微且满足可微且满足c-r条件条件证明：证明：“必要性必要性” 可导，可导，( )f zdzxiy设设在在区区域域 内内的的点点处处 则对充分小的则对充分小的22|()() ,zxy 有有 f zzf z 000f zzf zzfzz其中其中0lim0zz fzaib设设ui v 12a xb yi b xa yi fzzzz 且且则则12ua xb yvb xa y 比较上式的实部和虚部，即得比较上式的实部和虚部，即得 是关于是关于| z的高阶无穷小。的高阶无穷小。

11、1re,zz2imzz其中其中根据二元实函数的微分定义，根据二元实函数的微分定义，( , )( , )u x yv x y和和在在点点z可微，且有可微，且有=,uvaxy=uvbyx 即即crcr条件成立。条件成立。 “充分性充分性” , ( , )( , )u x yv x yx y由由在在点点处处可可微微，有有1uuuxyxy 2vvvxyxy 其中，其中，2212()()zxy 、是是比比无穷小量。无穷小量。高阶的高阶的由由crcr条件，可令条件，可令uvaxy，uvbyx 则有则有12aibxi yi f zzf zui v 12a xb yi b xa y f zzf zaibz 即

12、即12iz(0)z 1212izz其中其中且且 0limzf zzf zaibz 所以所以 fzaib即即uvixxuuixyvuiyyvviyx0推论推论,u x yv x y若若函函数数的的偏偏导导数数,uvxy,vuxy在点在点(x,y) 处处连续连续，且满足，且满足c-r条件，则复条件，则复变函数变函数( )( , )( , )f zu x yiv x yzxiy在处可导。处可导。二、二、解析函数的概念解析函数的概念 1 解析函数的定义解析函数的定义定义定义2如果函数如果函数( )f zzz在在 及及 的的邻邻域域内处处可导，内处处可导，则称则称( )f zz在在点点 处处解析；解析；

13、如果函数如果函数( )f zd在在区区域域 内内每一点解析，则称每一点解析，则称( )f zd是是区区域域内内的一个解析函数的一个解析函数例例1 1：函数函数2( )f zz在复平面中每一点都有导数，在复平面中每一点都有导数，所以它们在整个复平面内处处解析。所以它们在整个复平面内处处解析。例例2 2：我们可以验证：我们可以验证2( )f zz在复平面内处处在复平面内处处不解析。不解析。孤立奇点若函数若函数( )f zz在在点点处不解析，处不解析，( )zf z则则称称点点 为为的的奇点奇点；特别地，特别地，若函数若函数( )f zz在在点点处不解析，处不解析，z而而在在 的的某某一去心邻域内处

14、处解析，一去心邻域内处处解析，( )zf z则则称称点点 为为的的孤立奇点孤立奇点。例如例如 21,f zz函数函数0z 当当时时，有有 22011limzzzzfzz 2202limzzzzzz 32z ( )f z没有定义，导数当然也不存在，没有定义，导数当然也不存在，所以，在复平面中除去所以，在复平面中除去0z 外外( )f z的导数处处存在，的导数处处存在，因而因而0z 的区域内解析；的区域内解析；在除去在除去( )f z但在但在0z 处，处，从而从而( )f z在在0z 处不解析，处不解析，0z 是是( )f z的奇点，的奇点， 也是的孤立奇点。也是的孤立奇点。注意注意函数的奇点并非

15、都是孤立奇点，以后我们讨论函数的奇点并非都是孤立奇点，以后我们讨论的奇点主要是孤立奇点。的奇点主要是孤立奇点。函数在一点处解析与可导是两个不等价的概念。函数在一点处解析与可导是两个不等价的概念。函数在区域内的解析与可导是等价的。函数在区域内的解析与可导是等价的。2函数解析的条件函数解析的条件 定理定理4 ,f zu x yiv x y函函数数d在在其其定定义义区区域域 内内解析的充分必要条件是解析的充分必要条件是, ( , )du x yv x y 在在 内内任任一一点点izxy处可微且满足处可微且满足c-r条件条件uvxyuvyx (c-r条件条件)运算法则运算法则 1在区域在区域d内解析的

16、两个函数内解析的两个函数( )( )f zg z与与的和、差、的和、差、积、商（除去分母为零的点外）在积、商（除去分母为零的点外）在d内解析；内解析；2设函数设函数 hg zz在在平面上的区域平面上的区域d内解析，内解析， 函数函数 f hh在在平面上的区域平面上的区域g内解析，内解析，如果对如果对d内内, z的每一个点的每一个点函数函数 g z的对应值的对应值h都属于都属于g， 那么那么 fg z复合函数复合函数在在d内解析。内解析。注：注：所有关于所有关于z的多项式函数在复平面内是处处解的多项式函数在复平面内是处处解析的；析的； 任何一个关于任何一个关于z的有理分式函数的有理分式函数 p

17、zq z在不在不含使分母为零的点的区域内是解析函数，含使分母为零的点的区域内是解析函数， 使分母使分母为零的点是它的孤立奇点。为零的点是它的孤立奇点。( )e (cosisin )xf zyy33( )2i3f zxyc-r四四个个偏偏导导数数在在复复平平面面内内处处处处连连续续且且满满足足条条件件例例7判断下列函数是否解析：判断下列函数是否解析：(1)(2)解解(1)e cos ,xuye cos ,xuyxe sin ,xvyx,uvuvxyyx ( )e (cosisin )xf zyy在复平面内处处解析。在复平面内处处解析。 所以所以e sin ,xvye sinxuyy ，e cos

18、xvyy，( )iuvfzxy(cosisin )exyy( )f z(2)332,3ux vy26,uxx0,uy0,vx29;vyy四个偏导数存在且连续。但四个偏导数存在且连续。但c-r条件只在条件只在2269xy即直线即直线230 xy和和230 xy上满足。上满足。 所以，所以，33( )2i3f zxy只在以上两条只在以上两条直线上可导，直线上可导， 从而处处不解析。从而处处不解析。例例8常数常数, ,m n l取何值时，取何值时， 函数函数3232( )i()f zmynx yxlxy在复平面内处处解析？在复平面内处处解析？解解3232,umynx y vxlxy2,unxyx22

19、3umynxy223,vxlyx2vlxyy四个偏导数都连续，因此只有当四个偏导数都连续，因此只有当222222,33nxylxyxlymynx1,3mnl 即当即当时，时， 函数函数在复平面内在复平面内( )f z处处解析。处处解析。例例9证明：证明：若函数若函数( )f z在在e内解析，内解析，并满足下列并满足下列条件之一，条件之一，则则( )f z是常数。是常数。( )f z恒取实数；恒取实数；( )f z在在e内解析；内解析；( )f z在在e内为非零常数；内为非零常数；( )0fz 证证： ( )( , )f zu x y恒取实数；恒取实数；0,v ( )f z函数函数在在e内解析，内解析，0,uvxy所所以以0uvyx ，故故( , )ux y与与无关，无关，( )( , )cf zu x y所以所以为常数。为常数。( )( , )( , )f zu x yiv x y由由与与( )( , )i ( , )f zu x yv x