一元二次方程2

1、方程与不等式一一一元二次方程2选择题(共8小题)1用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米若设它的一条边长为X米，则根据题意可列出关于X的方程为()A. X (5+x) =6 B. X (5 x) =6C. X (10- x) =6 D. X (10- 2x) =62. 某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植 3株时，平均每株盈利4元；若每盆增 加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植 X 株，则可以列出的方程是()A. (3+x) (4 - 0.5x ) =15 B. (x+3) (4+0.5x ) =15C. (x+

2、4) (3 - 0.5x ) =15 D. (x+1) (4 -0.5x ) =153. 用一条长为40cm的绳子围成一个面积为ac2的长方形，a的值不可能为()A. 20 B. 40 C. 100 D. 1204. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛.设比赛组织者应邀请X个队参赛，则X满足的关系式为()A.冬(x+1) =28 B.冬(X- 1) =28 C. X (x+1) =28D. X (X- 1) =285. 已知关于X的一元二次方程(a- 1) x2+x+a2- 1=0的一个根是0，则a的值为()A. 1B.

3、- 1 C . 1 或-1 D .-26. 元二次方程X2 - 1=0的根为()A. x=1 B . X= - 1C. X1=1，X2=- 1D. X1=0，X2=17. 三角形的两边分别为3和5,第三边是方程X2- 5x+6=0的解，则第三边的长为()A. 2B. 3 C. 2或3 D.无法确定8 .方程X (x+1) =x+1的解是()A . 1 B . 0C. - 1 或 0 D. 1 或-1二 .填空题(共8小题)9.如图，某小区规划在一个长30m宽20m的长方形ABCDh修建三条同样宽的通道，使其中两条与 AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草.要使每一块花草的面积都为78吊，那

4、么通道的宽应设计成多少m?设通道的宽为xm,由题意列得方程.10 .现有一块长80cm宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为XCm的小正方形，做成一个底面积为1500Cm的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得 .11. 某小区2013年绿化面积为2000平方米，计划2015年绿化面积要达到2880平方米.如果每年绿 化面积的增长率相同，那么这个增长率是.12. 某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为13. 一块矩形菜地的面积是r120m,如果它的长减少2m那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是m14 .已知实数m n满足m- n2=

5、1 ,则代数式m+2n2+4mr 1的最小值等于.15. 已知关于X的一元二次方程a2+- b=0的一根为-1，则a- b的值是.16. 已知x=2是关于X的方程x2+4X- p=0的一个根，贝U P=,该方程的另一个根是 三.解答题(共8小题)17 .解方程：X (X - 2) =2x+1.18 .解方程：X2- 6=- 2 (X+1)19.如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方 米的矩形草坪ABCD求该矩形草坪BC边的长.i-j IA草坪DBC20. 已知a，b是方程X2- 5x+ =0的两根，(1) 求a+b和ab的值.(2) 求I)的值

6、.21. 某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是 500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销 售价第一个月将降低20%第二个月比第一个月提高6%为了使两个月后的销售利润达到原来水平， 该产品的成本价平均每月应降低百分之几？22. 据媒体报道，我国2010年公民出境旅游总人数约5 000万人次，2012年公民出境旅游总人数约7 200万人次.若2011年、2012年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：(1) 求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；(2) 如果2013年仍保持相同的年平均增长率，请你预测 2013年我国公民出境旅游总人数约多少万 人次？23. 贵阳市某楼盘准

7、备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售.（1）求平均每次下调的百分率（2）某人准备以开盘价均价购买一套 100 平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择： 打 9.8 折销售；不打折，一次性送装修费每平方米 80元，试问哪种方案更优惠？24为建设美丽泉城，喜迎十艺节，某企业逐年增加对环境保护的经费投入，2012年投入了 400万元，预计到 2014 年将投入 576 万元（1）求 2012年至 2014年该单位环保经费投入的年平均增长率；（2）

8、该单位预计 2015年投入环保经费不低于 680万元，若继续保持前两年的年平均增长率，该目标 能否实现？请通过计算说明理由15参考答案与试题解析一 选择题(共8小题)6平方米.若设它的一条边长为X米，则根据D. X (10-2x) =61. 用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为 题意可列出关于X的方程为()A. X (5+x) =6 B. X (5 - X) =6 C. X (10- X)=6考点：由实际问题抽象出一元二次方程.专题：几何图形问题.分析：一边长为X米，则另外一边长为：5 - X，根据匕的面积为6平方米，即可列出方程式.解答：解：一边长为X米，则另外一边长为：5- X，

9、由题意得：X (5 - X) =6，故选：B.点评：方程式.本题考查了由实际冋题抽相出一兀二次方程， 难度适中，解答本题的关键读懂题意列出2. 某种花卉每盆的盈利与每盆的 株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增 加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植 X 株，贝U可以列出的方程是(A.(3+x)(4- 0.5x ) =15B.(x+3)(4+0.5x) =15C.(x+4)(3- 0.5x ) =15D.(x+1)(4-0.5x ) =15考点：由实际问题抽象出一元二次方程.专题：销售问题.分析：根据已知假设每盆花苗增加X株

10、，则每盆花苗有(x+3 )株，得出平均单株盈利为(4-0.5x )元，由题意得(x+3 ) (4- 0.5x ) =15 即可.解答：解：设每盆应该多植X株，由题意得(3+x ) (4- 0.5x ) =15，故选：A.点评：此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键.3. 用一条长为40cm的绳子围成一个面积为ac的长方形，a的值不可能为()A. 20B. 40C. 100D.120考点：一元二次方程的应用.专题：判别式法.分析：设围成面积为acm的长方形的长为xcm,由长方形的周长公式得出宽为(40÷2- X) Cm根据长方形

11、的面积公式列出方程 X (40÷2- x) =a，整理得x2- 20x+a=0,由厶=400- 4a0，求出 a 100,即可求解.解答：解：设围成面积为acm的长方形的长为xcm,贝U宽为(40÷2- X) Cm依题意，得X (40÷2- X) =a，整理，得2X - 20x+a=0,/ =400- 4a 0， 解得a 100， 故选：D.点评：本题考查了一元二次方程的应用及根的判别式，找到等量关系并列出方程是解题的关键.4. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安 排7天，每天安排4场比赛设比赛组织者应邀请X个队参

12、赛，则X满足的关系式为（）A.Ix （x+1） =28 B. 2 （X- 1） =28C X （x+1） =28D. X （X - 1） =282 2考点：由实际问题抽象出一元二次方程.分析：关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷ 2=4× 7,把相关数值代入即可.解答：解：每支球队都需要与其他球队赛（X - 1）场，但2队之间只有1场比赛，所以可列方程为：2X （X- 1） =4× 7.2故选：B.点评：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程， 解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2.5. 已知关于

13、X的一元二次方程（a- 1） 2+x+a2- 1=0的一个根是0，则a的值为（）A.1B.- 1C. 1 或-1 D 丄考点：一兀二次方程的解.专题：计算题.分析：由一兀二次方程（a- 1） X +x+a - 1=0的一个根是0,将x=0代入方程得到关于a的方程，求出方程的解得到a的值，将a的值代入方程进行检验，即可得到满足题意 a的值.解答：解：I一元二次方程（a- 1） x2+x+a2- 1=0的一个根是0,将x=0代入方程得：a2-仁0,解得：a=1或a=- 1，将a=1代入方程得二次项系数为0,不合题意，舍去，则a的值为-1.故选：B.点评：此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程

14、的解法，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.6. 元二次方程X2 - 1=0的根为（）X1=0，X2=1A.x=1B. X= - 1C. X1=1，X2=- 1 D.考点：解一元二次方程-直接开平方法.专题：压轴题.分析：首先把-1移到方程的右边，再两边直接开平方即可.解答：解：X2-仁0，移项得：2=1,两边直接开平方得：X= ± 1，故选：C.点评：此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程， 解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成X2=a （a 0）的形式，利用数的开方直接求解.7. 三角形的两边分别为3和5,第三边是方程X2-

15、5x+6=0的解，则第三边的长为（）A.2B. 3C. 2或3D 无法确定考点：解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系.专题：计算题.分析：求出方程的解得到X的值，即可确定出第三边长.解答：解：方程X2 - 5x+6=0,变形得：(X - 2) (X - 3) =0,解得：x=2或x=3,当x=2时，三角形三边分别为2, 3, 5,不成立，舍去，则第三边为3 .故选B点评：此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握运算法则是解本题的关键.8 .方程X (x+1) =x+1的解是()A.1B. 0C.- 1 或 0 D 1 或-1考点：解一兀二次方程-因式分解法.专题：计算题.分析：方程

16、变形后，利用因式分解法求出解即可.解答：解：方程移项得：X (x+1)-( x+1) =0,分解因式得：(X - 1) (x+1) =0,解得：x=1或X= - 1,故选D.点评：此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.填空题(共8小题)9.如图，某小区规划在一个长 30m宽20m的长方形ABCDk修建三条同样宽的通道，使其中两条与 AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草.要使每一块花草的面积都为78m,那么通道的宽应设计成多少m?设通道的宽为Xm由题意列得方程(30-2x) (20- X) =6× 78考点：由实际问题抽象出一元二次方程.专题

17、：几何图形问题.分析：设道路的宽为xm,将6块草地平移为一个长方形，长为(30- 2x) m宽为(20-X) m根据长方形面积公式即可列方程(30- 2x) (20- X) =6× 78.解答：解：设道路的宽为Xm由题意得：(30- 2x) (20- X) =6× 78, 故答案为：(30- 2x) (20- X) =6× 78.点评：此题主要考查了一元二次方程的应用， 掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键.10.现有一块长80Cm宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为XCm的小正方形，做成一个底面积为1500Cm

18、的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得X2- 70x+825=0 .考点：由实际问题抽象出一元二次方程.专题：方程思想.分析：本题设小正方形边长为xcm,则长方体盒子底面的长宽均可用含 X的代数式表示，从而这个长方体盒子的底面的长是（80-2x） Cm宽是（60-2x） cm,根据矩形的面积的计算方法即可表 示出矩形的底面面积，方程可列出.解答：解：由题意得：（80- 2x） （60- 2x） =1500整理得：x2 - 70x+825=0, 故答案为：x2- 70x+825=0.点评：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式.另外，要学会通过图

19、形求出面积.11. 某小区2013年绿化面积为2000平方米，计划2015年绿化面积要达到2880平方米.如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是20% .考点：一元二次方程的应用.专题：增长率问题.分析：本题需先设出这个增长率是X ,再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出X的值，即可得出答案.解答：解：设这个增长率是X ,根据题意得：22000×（ 1+x） =2880解得: X1=20% X2=- 220% （舍去）故答案为：20%点评：本题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件找出等量关系，列出方程是本题的关键.12. 某商品经过连续两次降价，销售单价由原

20、来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为 20% .考点：一元二次方程的应用.专题：增长率问题.分析：解答此题利用的数量关系是：商品原来价格×（ 1-每次降价的百分率）2=现在价格，设出未知数，列方程解答即可.解答：解：设这种商品平均每次降价的百分率为 X ,根据题意列方程得，2125 （1-x） =80,解得X1=0.2=20%, X2=1. 8 （不合题意，舍去）；故答案为：20%点评：本题考查了一元二次方程的应用，此题列方程得依据是：商品原来价格×（1-每次降价的百分率）2= 现在价格.13. 一块矩形菜地的面积是120吊，如果它的长减少2m那么菜地就变成正方

21、形，则原菜地的长是 12 m考点：一元二次方程的应用.专题：几何图形问题.分析：根据“如果它的长减少2m那么菜地就变成正方形”可以得到长方形的长比宽多2米,利用矩形的面积公式列出方程即可.解答：解：长减少2m菜地就变成正方形，设原菜地的长为X米，贝U宽为（X - 2）米，根据题意得：X （X - 2） =120,解得：x=12或X=- 10 （舍去）， 故答案为：12.点评:本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清题意，并找到等量关系.14 .已知实数m n满足m- n2=1 ,则代数式2+2n2+4m- 1的最小值等于 4考点：配方法的应用；非负数的性质：偶次方.专题：压轴题；整体思想

22、.分析：已知等式变形后代入原式，利用完全平方公式变形，根据完全平方式恒大于等于0,即可确定出最小值.解答：解：T m- n2=1，即 n2=m- 1 0，m 1，原式=m+2m- 2+4m- 1=n+6m+9- 12= (m+3 2- 12，则代数式m+2n2+4m- 1的最小值等于(1+3) 2- 12=4.故答案为：4.点评：此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.考点：一兀二次方程的解.分析：将X=- 1代入已知一元二次方程，通过移项即可求得(a-b)的值.解答：解：关于X的一兀二次方程ax +x - b=0的一根为-1,15 .已知关于X的一元二次

23、方程a2+x - b=0的一根为-1，则a - b的值是 1 X=- 1满足该方程， a- 1 - b=0,解得，1.故答案是：1.点评：本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义. 一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.即用这个数代替未知数所得式子仍然成立.16.已知x=2是关于X的方程x2+4x- p=0的一个根，则P= 12 ,该方程的另一个根是 X= - 6.考点：一元二次方程的解；根与系数的关系.分析：根据一元二次方程的步骤把x=2代入原方程求得P值，然后利用因式分解法解方程即可求得方程的另一根.解答：解：T x=2是关于X的方程x2+4x

24、- p=0的一个根，2 2 +4× 2 p=0,解得p=12;T2+4- p=0,2 x +4x- 12=0，(x+6) (X - 2) =0, x+6=0 或 X 2=0,解得，X= 6或x=2,方程的另一个根是x=- 6;故答案是：12, X= 6.点评：本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是求出P的值，再利用因式分解法求另一根.三.解答题(共8小题)17.解方程：X (X 2) =2x+1.考点：解一元二次方程-配方法.分析：先去括号，再化为一般形式，移项，配方，用直接开平方法解即可.解答：解：X (X - 2) =2x+1,X2 - 2x=2x+1,2- 4x+4=5,(X

25、- 2) 2=5.X- 2=飞卞，即 x=2+ 二,X2=2-:点评：本题考查了用配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：(1) 把常数项移到等号的右边；(2) 把二次项的系数化为1 ；(3) 等式两边同时加上一次项系数一半的平方.选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1, 一次项的系数是2的倍数.18 .解方程：x2- 6=- 2 (x+1)考点：解一元二次方程-配方法.专题：计算题.分析：方程变形后，配方为完全平方式，开方即可求出解.解答：解：方程整理得：x2+2x=4，配方得：x2+2x+1=5,即(x+1) 2=5，开方得：x+1= ± ."，解得

26、：X1=- 1+. 口， X2= 1 -.点评：此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.19.如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方 米的矩形草坪ABCD求该矩形草坪BC边的长.1 e *A草坪DBC考点：一元二次方程的应用.专题：几何图形问题.分析：可设矩形草坪BC边的长为X米，则AB的长是丄一，根据长方形的面积公式列出一元二次方程求解.39 -T解答：解：设BC边的长为X米，则AB=CD=米，根据题意得： × x=120，解得：X1=12，X2=20,V 20> 16，X2=2O不合题意，舍去，

27、答：矩形草坪BC边的长为12米.点评：本题考查了一元二次方程的应用，注意得出结果后要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解.注意本题表示出矩形草坪的长和宽是解题的关键.20.已知a, b是方程2-5x+ :'=0的两根,(1) 求a+b和ab的值.(2) 求:-1 的值.b (-b) a (-b)考点：根与系数的关系；分式的化简求值.分析：(1)直接根据根与系数的关系得出答案即可;(2)把原式整理化简，再代入(1)中的数值得出答案即可. 解答：解：(1)°a b是方程2 - 5x+.；=0的两根, a+b=5, ab= ； J Intaj(2)原式=.1.:ab la b

28、?(a+>) (NIb) ab (a- b)=点评：本题考查的是一元二 次方程根与系数的关系和分式的化简求值，注意先化简，再求值.21. 某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是 500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销 售价第一个月将降低20%第二个月比第一个月提高6%为了使两个月后的销售利润达到原来水平， 该产品的成本价平均每月应降低百分之几？考点：一元二次方程的应用.专题：销售问题.分析：设该产品的成本价平均每月降低率为 X，那么两个月后的销售价格为 625 (1 - 20%(1+6%，两个月后的成本价为500 ( 1 - x) 2，然后根据已知条件即可列出方程，解方程即可

29、求出结果.解答：解：设该产品的成本价平均每月降低率为 X，2依题意得 625 (1 - 20% (1+6% - 500 (1-x) =625- 500, 整理得 500 (1 - X) =405，(1-x) =0.81， 1- x=± 0.9， x=1± 0.9，X1=1.9 (舍去)，X2=0.仁 10%答：该产品的成本价平均每月应降低10%点评：题目中该产品的成本价在不断变化，销售价也在不断变化，要求变化后的销售利润不变，即利润仍要达到125元，关键在于计算和表达变动后的销售价和成本价.22. 据媒体报道，我国2010年公民出境旅游总人数约5 000万人次，2012年公

30、民出境旅游总人数约7 200万人次.若2011年、2012年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：(1) 求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；(2) 如果2013年仍保持相同的年平均增长率，请你预测 2013年我国公民出境旅游总人数约多少万 人次？考点:元二次方程的应用.专题：增长率问题.分析：(1)设年平均增长率为X .根据题意2010年公民出境旅游总人数为5000 (1+x)万人次，2011年公民出境旅游总人数5000( 1+x)2万人次.根据题意得方程求解；(2) 2012年我国公民出境旅游总人数约 7200 (1+x)万人次.解答：解：(1)设这两年我国公民出境旅游总人

31、数的年平均增长率为X.根据题意得：5000 (1+x) 2 =7200,解得X1 =0.2=20% X2=-2.2 (不合题意，舍去).答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%(2)如果2013年仍保持相同的年平均增长率，则2012年我国公民出境旅游总人数为 7200 (1+x) =7200×( 1+20% =8640 (万人次).答：预测2013年我国公民出境旅游总人数约 8640万人次.点评：此题考查一元二次方程的应用，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大.23. 贵阳市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开