线性代数第五章 特征值与特征向量ppt课件

1、 本节研讨被一矩阵相乘后变为本身倍数的非零向本节研讨被一矩阵相乘后变为本身倍数的非零向量量,以及该倍数以及该倍数. 如取如取 .12224 ,12,0123AvvA则定义定义1 特征值与特征向量设特征值与特征向量设 是是 n 阶方阵，阶方阵，假设存在数假设存在数 和非零向量和非零向量 ，使得，使得 那么那么 称为称为 的的 特征值特征值 ， 称为称为 的属于的属于(或或对应于对应于) 的特征向量的特征向量. XAXAXAXA (1) (1) 可写成可写成 0)(XEA)3( 0.|212222111211nnnnnnaaaaaaaaaEA留意留意: 特征值与特征向量是针对方阵定义的特征值与特征

2、向量是针对方阵定义的. 另另外零向量总满足外零向量总满足(1)式，但不是特征向量式，但不是特征向量.设设 对于固定的对于固定的 , (2) 是关于是关于 的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是 nnijaA)(X (2) (2) 特征值能够是复数特征值能够是复数. (3) 是关于是关于 的一元的一元 n 次次 方程方程, 称为方阵称为方阵A的特征方程，而它左端的的特征方程，而它左端的n 次多项式次多项式|EA称为称为A的特征多项式的特征多项式. 阐明阐明A的特征值的特征值是特征方程是特征方程(3)的根的根. n 阶方阵阶方阵A 恰有恰有n 个特征值个特

3、征值.但需留意两点：但需留意两点：(1) n 个特征值中有能够有一样的，称为重特征个特征值中有能够有一样的，称为重特征值，即是特征方程的重根值，即是特征方程的重根. 如单位矩阵如单位矩阵. 如如. 10110|01102EAAA的特征值为的特征值为. i 根据多项式实际，实矩阵的复特征值是成对出现的根据多项式实际，实矩阵的复特征值是成对出现的.niniiiiaii11)(Ainii1)( . 性质性质 1 设设n,21 是是nnijaA)(的的n 个特征值，个特征值，那么那么 证明由条件知证明由条件知 )()(|21 nEA niinniinnn1111)() 1() 1( 令令 , 即得即得

4、 (i).0另一方面，由行列式定义，另一方面，由行列式定义，EA 中含有中含有1,nn的项只出如今：的项只出如今：11122111)() 1() 1()()(nniiinnnnnaaaad中，故中，故 (ii) 成立成立.推论方阵推论方阵A可逆当且仅当它的特征值全不为可逆当且仅当它的特征值全不为0. 性质性质 2 属于属于 的特征向量的非零线性组合仍为的特征向量的非零线性组合仍为属于属于 的特征向量的特征向量. 性质性质 3 设设 为为 的属于的属于 的特征向量的特征向量,XA性质性质4 4 设设m,21分别是分别是A 的属于互不的属于互不m,21的特征向量，那的特征向量，那么么m,21线性无

5、关线性无关. .一样的特征值一样的特征值证明证明 归纳法归纳法. .当当1m ，结论成立，结论成立. .时时,设设km 时结论成立，当时结论成立，当1 km设设(1) 0112211kkkkaaaa ),( )( ,)(1010特征向量特征向量. .仍为其仍为其的特征值为的特征值为那么那么 XfAaAaEaAfxaxaaxfssss 那么那么 0)(112211kkkkaaaaA，即，即 0111222111kkkkkkaaaa 2 2将将1 1式乘以式乘以1k，再减去，再减去2 2式得式得0)()()(122121111kkkkkkaaa由于由于k,210)(1ikia线性无关，故线性无关，

6、故 ,1ik0ia故)., 2 , 1(ki而而 代入代入1式，得式，得. 011kka 由于由于, 01k所以所以01ka，故，故121,k线性无关线性无关. 例求例求A211121112的特征值和特征向量的特征值和特征向量. .解解 EA=2111211122) 1)(4( 对于对于, 41解解0)4(XEA得根底解系得根底解系 ,1111属于属于41的特征向量全体为的特征向量全体为1.(0)kk由由 得特征值得特征值, 0| EA. 1, 4321 ， 。 对于对于, 132解解, 0)(XEA得根底解系得根底解系 ,101,01132向量全体为向量全体为.3322kk32,kk不全为不

7、全为0属于属于132的特征的特征例例2 2求求201034011A的特征值和特征向量的特征值和特征向量. .解解 EA=2010340112) 1)(2( 对于对于, 21解解0)2(XEA得根底解系得根底解系 ,1001属于属于21的特征向量全体为的特征向量全体为).0( ,111kk由由 得特征值得特征值, 0| EA. 1, 2321 ， 。 对于对于, 132解解, 0)(XEA得根底解系得根底解系 ,1212属于属于132的特征向量全体为的特征向量全体为,22k)0(2k 留意：对于重特征值，有能够有重数个线性无关留意：对于重特征值，有能够有重数个线性无关 的特征向量，也有能够没有重

8、数个线性无关的特征向量，也有能够没有重数个线性无关 的特征向量的特征向量.例例 3 知知A为三阶方阵，且为三阶方阵，且EA， EA 2和和EA3均不可逆均不可逆. 1证明：证明：AE2可逆可逆.2设设,42EAAB求求.detB证明证明1由条件知由条件知, 0EA, 02 EA03 EA故故1，2， 3 均为均为A的特征值，所以的特征值，所以21不是不是A的特征值的特征值. 因此因此 . 20212)21(223可逆AEEAEAAE, 4)(2xxxf那那么么.2401064) 3()2() 1 ()det(321fffB2). 设设B的三个特征值为的三个特征值为,321设设 定义类似矩阵对于

9、定义类似矩阵对于 n 阶方阵阶方阵 假设存在可逆假设存在可逆阵阵 ，使，使 ，那么称，那么称 类似于类似于 ，记记作作 . 称为类似变换矩阵称为类似变换矩阵, , BAPBAPP1ABABP类似为一等价关系类似为一等价关系. 有如下重要性质有如下重要性质: 证明证明 假设假设AB，那么，那么BAPP1由于由于 P 可逆，故可逆，故sPPPP21, 其中其中 sPP,1为初等矩阵为初等矩阵,于是有于是有.2111121BPPAPPPPss 阐明阐明A与与B 等价等价, 故故).()(BrankArank性质性质 1. 假设假设AB，那么，那么 ).()(BrankArank性质性质 2 假设假设

10、AB，那么，那么 . |BA 证明证明 假设假设AB，那，那么么BAPP1.故故|11PAPAPPB. |1AAPP性质性质 3 假设假设AB，那么，那么 . 可逆可逆BA1A1B.性质性质4 4 假设假设AB，那么，那么A与与B的特征多项式一样，从而的特征多项式一样，从而A与与B的特征值也一样的特征值也一样.故故. )(1111EAPEAPPEAPEPPAPPEB推论推论 假设假设n阶方阵阶方阵A= =,21ndiag那么那么n,21为为A的一切的一切 特征值特征值.证明由证明由AB, 那么存在那么存在 , 使使BAPP1P假设一矩阵与对角矩阵类似假设一矩阵与对角矩阵类似, 称此矩阵可对角化

11、称此矩阵可对角化.下面讨论下面讨论矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件. 定理定理 5 n阶方阵阶方阵A类似于对角阵的充要条件是类似于对角阵的充要条件是A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.=,21ndiag；其中；其中n,21为为A的的n个特征值个特征值. 上式可写成上式可写成 P，使，使 APP1证明必要性证明必要性.存在存在 PAP. 记记P= ,21n那么成立那么成立 iiiA，即，即 i是是i的特征向量。由于的特征向量。由于P可逆，故可逆，故n,21线性无关线性无关. .,21n满足满足 ,iiiA记记将必要性证明的推导过程倒推上去，即可得将必要性证明的推导过程倒推上去，

12、即可得nP,21,21ndiagA类似于对角阵。类似于对角阵。 n阶方阵阶方阵A的的n个特征值互异，那么个特征值互异，那么A类似于对角阵。类似于对角阵。 推论推论5假设假设A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量充分性假设充分性假设 留意留意 : 本推论的逆不成立。例如上节例本推论的逆不成立。例如上节例1中的中的A有有3个线性无关的特征向量，故个线性无关的特征向量，故A类似于对角阵。但类似于对角阵。但A的的3个特征值不互异。个特征值不互异。 例例6证明：假设证明：假设, BA那么那么kkBA n阶方阵阶方阵A充要条件是：对于充要条件是：对于A的每个的每个 * 定理定理6 ik重特征值重

13、特征值i都有都有ik个线性无关的特征向量。即个线性无关的特征向量。即 .)(iiknEArank类似于对角阵的类似于对角阵的).()(BA)(是是的多项式的多项式证明由证明由BA ，成立，成立BAPP1.故故,1PAPBkk 即即kkBA 设设,)(0111aaaammmm有有)(BEaBaBaBammmm0111PEaAaAaAaPmmmm)(01111.)(1PAP即即).()(BA假设假设A类似于对角阵类似于对角阵= =n21，那么，那么APP1，即，即1PPA. 于是于是kA=1 PPk. 类似可得类似可得.)()(1PPA并易得并易得,21knkkk ,)()()()(21n这样就可

14、以比较简便地计算出这样就可以比较简便地计算出kA和和)(A了了.第三节第三节. . 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化一一. . 向量的内积与正交矩阵向量的内积与正交矩阵nTnTnRbbbaaa),(,),(2121那么那么与与的内积定义为：的内积定义为：),( = = niiiba1 = = T 向量的内积满足如下性质向量的内积满足如下性质: :定义定义3向量内积设向量内积设对称性对称性);,(),(；; 00),(; 0),(且正定性正定性)0 ,(. 0), 0();,(),(),(22112211kkkk),(21Rkk 线性性线性性= =),(= =niia12定义定义 4向量长度

15、对于向量长度对于,nR 的长度或模的长度或模)定义为：定义为：记作记作；( (正定性正定性 向量的长度满足如下性质：向量的长度满足如下性质：0；且；且00)( ;|Rkkk 齐次性齐次性2133),(； Cauchy 不等式不等式 4 ;( (三角不等式三角不等式niiniiniiibaba12121即即 当当0, 0 时，时，. 1),(于是引入如下定义：于是引入如下定义：定义定义5向量的夹角对于向量的夹角对于,nR当当0, 0时，定义时，定义,的夹角为：的夹角为：),(arccos).0( ,假设假设0),(，那么称，那么称与与正交，记为正交，记为，这时，这时.2性质：性质：1 1;,0n

16、R2) 2) 对于对于nR,假设假设，那么，那么222. .勾股定理勾股定理长度为长度为 1 的向量称为单位向量。非零向量的向量称为单位向量。非零向量0的单位化：的单位化：1几何意义：同方向上的单位向量。几何意义：同方向上的单位向量。正交向量组：两两正交的一组非零向量；正交向量组：两两正交的一组非零向量；规范正交向量组：由单位向量组成的正交向量组规范正交向量组：由单位向量组成的正交向量组. .定理定理 7 7 假设假设m,21是正交向量组，那么是正交向量组，那么m,21线性无关线性无关. 02211mmkkk用用i与两边作内积得：与两边作内积得：0)0 ,(),(2211immikkk), 2

17、 , 1(mi证明设证明设 由于由于m,21 两两正交，即得：两两正交，即得：. 0),(iiik而而0),(ii，于是，于是. 0ik故无关故无关.正交基：由正交向量组构成的向量空间的基；正交基：由正交向量组构成的向量空间的基；规范正交基规范正交基( (或单位正交基或单位正交基) )：由规范正交向量组构成：由规范正交向量组构成 的向量空间的基的向量空间的基. .定理定理 8 在在nR中，假设中，假设m,21 线性无关线性无关)2(m，那么，那么m,21与某个正交向量组与某个正交向量组m,21等价等价. .且且tt,11与等价等价)2(mt 证明证明 令令 11； 1122k 1k为待定系数，

18、为待定系数， 要使要使,12. 0),(),(),(),(11121112121kk011线性无关，故线性无关，故, 0),(11从而取从而取.),(),(11211k又从上式可得又从上式可得,11.1122k2121,与等价等价. 那么要求成立那么要求成立阐明阐明普通已求得正交向量组普通已求得正交向量组11,t与与11,t等价等价. .)2(mt 令令,1111ttttkk 与上式两边作内积得：与上式两边作内积得： it),1, 1(ti 用用i由于由于).,(),(0iiitik于是可求得于是可求得,),(),(iitiik),1, 1(ti即即11111111),(),(),(),(tt

19、tttttt易见易见t,1是正交向量组，且由是正交向量组，且由11,t与与11,t等价及上式，可得等价及上式，可得t,1与与t,1等价等价. 定理定理10 的证明给出了将一个线性无关的向量组的证明给出了将一个线性无关的向量组m,21正交化的步骤：正交化的步骤：;11;),(),(111212211111111),(),(),(),(mmmmmmmm假设再将正交向量组假设再将正交向量组m,21单位化，即令单位化，即令,iii), 2 , 1(mi 那么那么m,1是与是与m,21等价的规范正交向量组等价的规范正交向量组. .m,21化为与化为与m,21等价的规范正交向量组等价的规范正交向量组m,1

20、的过程称为施密特的过程称为施密特 Schmidt正交化方法正交化方法.解解 易见易见例例 7 设设,1, 0, 1,0, 1, 1,1, 1, 1321TTT 将将321,化为化为3R的一个规范正交基。的一个规范正交基。) 3 , 2( , 0),(1ii，故，故)3 , 2( ,1ii以下将以下将32,正交化正交化.由上述过程把一个线性无关的向量组由上述过程把一个线性无关的向量组,222223233),(),(,12/12/1那么那么,23而且而且13令令思索为什么思索为什么?)?)再令再令,3/13/13/1111,02/12/1222,6/26/16/1333那那么么321,即为即为3R

21、的一个规范正交基的一个规范正交基. .例例8 设设,3, 1, 1, 2,1, 1, 1, 1,1, 1, 1, 1321TTT求求1与与2的夹角以及与的夹角以及与321,都正交的向量都正交的向量.解解 321arccos),(arccos2121设设与与321,都正交，由正交条件可得方程组：都正交，由正交条件可得方程组：0),(0),(0),(321解之得解之得 ,3, 1, 0, 4Tk定义定义6正交矩阵设正交矩阵设 A 是方阵是方阵.假设假设,EAAT那么称那么称A为为 正交矩阵正交矩阵. 其中其中k为恣意实数为恣意实数.A是正交阵当且仅当是正交阵当且仅当A的列向量组为的列向量组为nR的

22、单位正交基的单位正交基. . 等价定义：等价定义：现实上，设现实上，设1000100012121nTnTT j i当0 ji当1jTinA21，那么，那么 定理定理11 11 假设假设BA,都是都是n阶正交阵，那么阶正交阵，那么11;1 AAT22TA 也是正交阵；也是正交阵；; 1A44AB证明证明 1显然；又由显然；又由 EAAAAAATTTT1得得TA也是正交阵；也是正交阵； 3也是正交阵也是正交阵.取行列式得取行列式得1EAAAATT12 A; 1 A EBBBAABABABTTTT得得BA也是正交阵也是正交阵. .nnAA是正交阵是正交阵TA的列向量组是规范正交的的列向量组是规范正交

23、的A的行向量组规范正交的行向量组规范正交. .由由 2 可得可得由以上讨论容易验证下面三个实方阵都是正交阵：由以上讨论容易验证下面三个实方阵都是正交阵：,cossinsincos62031612131612131.211230021121620211216121211216121证明证明 由于由于A是正交阵，由是正交阵，由3，, 1A又又0A ，故，故. 1A例例 9 设设nnAA是正交阵，且是正交阵，且0A , ,证明：证明：. 0 EA即即1是是A的特征值的特征值于是于是EAEAAEAAEAAAAEATTT0EA四四. . 实对称阵的对角化实对称阵的对角化设设nTnCaaa),(21，那么其共轭向量为，那么其共轭向量为 .),(21Tnaaa 假设实矩阵假设实矩阵A A 满足满足AAT，那么称，那么称A为实对称阵为实对称阵.定理定理 4.1 实对称阵的特征值必为实数实对称阵的特征值必为实数.定理定理 4.2 实对称阵实对称阵A的属于不同特征值的的属于不同特征值的特征向量相互正交特征向量相互正交. 定理定理 4.3 对于恣意实对称阵对于恣意实对称阵 A，必存在正交矩阵，必存在正交矩阵Q，使得，使得,211nTAQQAQQ 假设记假设记,21nQ那么那么., 2 , 1niAiiin,21即即为