函数的连续性(1)实用教案

1、1渐渐 变变221gts tO0ts。mtO突突 变变)(tmm 0t。自由落体路程变化自由落体路程变化(binhu)模型模型火箭发射质量火箭发射质量(zhling)变化模变化模型型物理特征：一级火箭烧完脱壳时质量发物理特征：一级火箭烧完脱壳时质量发生生(fshng)突变突变物理特征：路程随时间渐进性地增物理特征：路程随时间渐进性地增加加几何特征：曲线几何特征：曲线在处间断在处间断( )mm t0t引例：引例：212sgt几何特征：曲线连接不断几何特征：曲线连接不断第1页/共37页第一页，共38页。21、函数的增量、函数的增量2、函数在一点处的连续、函数在一点处的连续(linx)定义定义3、区

2、间上的连续、区间上的连续(linx)函数函数一、函数一、函数(hnsh)的连续性的连续性第2页/共37页第二页，共38页。3定义定义(dngy) 设变量设变量u从它的一个值从它的一个值u1变到另一个值变到另一个值u2 ，其，其差差 称做变量称做变量u的增量或改变量，记作的增量或改变量，记作 ，即，即增量增量 可以是正的，也可以是负的可以是正的，也可以是负的.当当 为正时，为正时，变量变量u从从u1变到变到 是增大的；当是增大的；当 为负时，变为负时，变量量u从从 u1变到变到 是减少的是减少的.uuuuuu12uuu121 1、函数、函数(hnsh)(hnsh)的增量的增量第3页/共37页第三

3、页，共38页。4第4页/共37页第四页，共38页。52、函数在一点、函数在一点(y din)处的处的连续定义连续定义定义定义1 设函数设函数y=f(x)在点在点x0的某邻域内有定义，如果的某邻域内有定义，如果当自变量的增量当自变量的增量 趋向于零时，相应的函数趋向于零时，相应的函数增量增量 也趋于零，即也趋于零，即)x(f)xx(fy00 0 xxx 则称函数则称函数(hnsh)y=f(x)在点在点x0处连续处连续.第5页/共37页第五页，共38页。6xO0 x断断 开开)(xfy y图图1: 1: 在处无定义在处无定义( )f x0 x图图2:2: 00lim( )lim( )xxxxf x

4、f xxOy断断 开开)(xfy 0 xAB第6页/共37页第六页，共38页。7图图4:4: 00lim( )()xxf xf x图图3:3: 00lim( )()xxf xf xxOy连连 续续)(xfy 0 xAxOy断断 开开)(xfy 0 x0()f xAB第7页/共37页第七页，共38页。8可见可见(kjin) , 函数函数在点在点定义定义(dngy)2:在在的某邻域的某邻域(ln y)内有内有定义定义 , 则称函数则称函数(1) )(xf在点在点0 x即即(2) 极限极限(3)设函数设函数连续必须具备下列条件连续必须具备下列条件:存在存在 ;且且有定义有定义 ,存在存在 ;第8页/

5、共37页第八页，共38页。9，00 ylimx证明(zhngmng)：第9页/共37页第九页，共38页。10.)()(.)()()()(lim.)()( 00000000要条件处连续的必在点时有极限，是在函数所以，可能无定义，也可能在点因为处连续的点，并不意味着限的区别时有极当处连续和函数在点函数xxfxxxfAxfxxfxxfAxfxxxfxxfxx注意：注意：第10页/共37页第十页，共38页。11 ),()(lim00 xfxfxx如果如果则称函数则称函数 f(x)在点在点x0右连续右连续.如果如果定义定义3:)(xfy 在在0 x的某邻域内有定义的某邻域内有定义 , 它在它在 既左连续

6、，又右连续，则称既左连续，又右连续，则称.)(0连续在xxf 设函数设函数0 x左连续左连续(linx) (linx) 右连续右连续(linx)(linx),()(lim00 xfxfxx则称函数则称函数 f(x)在点在点x0左连续左连续.如果第11页/共37页第十一页，共38页。12如果函数如果函数f(x)在开区间在开区间(a，b)内的每一点内的每一点(y din)都连续，则称函数都连续，则称函数f(x)在开区间在开区间(a,b)内连续；内连续；若函数若函数f(x)在在(a,b)内连续，并且在左端点内连续，并且在左端点a处右连续，处右连续，右端点右端点b处左连续，则称函数处左连续，则称函数f

7、(x)在闭区间在闭区间a,b上连上连续续.函数在区间函数在区间(q jin)I上连续，称它是上连续，称它是I上的上的连续函数连续函数.3、区间、区间(q jin)上的连续函数上的连续函数第12页/共37页第十二页，共38页。13可以证明可以证明(zhngmng)：基本初等函数在其定义：基本初等函数在其定义域内为连续函数域内为连续函数.函数函数f(x)在点在点x0处连续的几何意义是：处连续的几何意义是：f(x)的图的图形形(txng)在点在点(x0,f( x0) 处是联结在一起的，没有处是联结在一起的，没有断隙断隙.函数函数f(x)在区间在区间I上连续，其图形上连续，其图形(txng)是一是一条

8、连接不断的曲线条连接不断的曲线.第13页/共37页第十三页，共38页。14定义定义(dngy)二、函数二、函数(hnsh)(hnsh)的间断点及其的间断点及其分类分类第14页/共37页第十四页，共38页。15第15页/共37页第十五页，共38页。16例例1 正切函数正切函数y=tan x在点在点 处无定处无定义义(dngy)，所以点，所以点 是函数是函数tan x的的间断点间断点.有定义，在函数0 0 , 0, 0 ,1sin)( xxxxxf但是极限但是极限 不存在，所以不存在，所以x=0是函数是函数f(x)的间断点的间断点.xx1sinlim0例例2例例3 函数函数 在在x=1处无定义，因

9、此处无定义，因此x=1是该是该函数的间断点函数的间断点. 122xxxy第16页/共37页第十六页，共38页。17根据函数根据函数(hnsh)f(x)在间断点处单侧极限的情况，在间断点处单侧极限的情况，常将间断点分为两类：常将间断点分为两类：(1)若若x0是是f(x)的间断点，并且的间断点，并且f(x)在点在点x0处的左极限处的左极限(jxin)、右极限右极限(jxin)都存在，则称都存在，则称x0是是f(x)的第一类间断点；的第一类间断点；(2)若若x0是是f(x)的间断的间断(jindun)点，但不是第一类间断点，但不是第一类间断(jindun)点，则称点，则称x0是是f(x)的第二类间断

10、的第二类间断(jindun)点点.间断点的分类间断点的分类:第17页/共37页第十七页，共38页。18(1) 当当与与均存在均存在(cnzi),但不但不相等时相等时,称称为为的跳跃的跳跃(tioyu)间断点间断点;(2) 当当存在存在(cnzi),但不等于但不等于 xf在在0 x处的处的函数值时函数值时,称称0 x为为 xf的可去间断点的可去间断点.第18页/共37页第十八页，共38页。19在在x=0是否为函数是否为函数(hnsh)f(x)的间的间断点断点.例例4解解, 0lim)(lim200 xxfxx即即x=0是函数是函数(hnsh)f(x)的间断点的间断点,且为可去间且为可去间断点断点

11、第19页/共37页第十九页，共38页。20在第一类间断点中，如果左极限与右极限相等，即在第一类间断点中，如果左极限与右极限相等，即 存在存在.则称此间断点为可去间断点则称此间断点为可去间断点.如例如例3中中x=1为为y的可去间的可去间断点断点.例例4中中x=0为为f(x)的可去间断的可去间断 点点.这是因为如果这是因为如果x0为为f(x)的的可去间断点，我们可以补充定义可去间断点，我们可以补充定义f(x0) 或者或者(huzh)修改修改f(x0) 的值，由的值，由f(x)构造出一个在构造出一个在x0处连续的函数处连续的函数.如如第20页/共37页第二十页，共38页。21第21页/共37页第二十

12、一页，共38页。22在点x=0处的连续性.故x=0是函数f(x)的间断(jindun)点,即为跳跃间断(jindun)点.例5, 1) 1(lim)(lim00 xxfxx解第22页/共37页第二十二页，共38页。23,)(xf在第二类间断点中，如果当 时， 可称x0为f(x)的无穷间断点.如例1中 为tan x的无穷间断点.如果当 时，f(x)的极限不存在，呈无限振荡情形，则称x0为f(x)的振荡间断点.如例4中x=0为f(x)的振荡间断点.0 xx ), 1, 0(2 kkx0 xx 第23页/共37页第二十三页，共38页。24例例6),0(0lim)(lim00fxxfxx解所以(suy

13、) f(x)在x=0 点连续.第24页/共37页第二十四页，共38页。25三、初等三、初等(chdng)函数的连续性函数的连续性定理(dngl) 若函数 f (x) 和 g (x) 均在 x0 处连续，则则 f (x) + g (x) ， f (x) - g (x)， f (x) g (x) 在该点亦均连在该点亦均连续续(linx)，又若又若 g(x0) 0，)()(xgxf则则在在 x0 处也连续处也连续.（一）连续函数的和、差、积、商的连（一）连续函数的和、差、积、商的连续性续性 第25页/共37页第二十五页，共38页。26（二）复合（二）复合(fh)函数的连续性函数的连续性 定理定理 设

14、函数设函数(hnsh)y=f(u)在点在点u=u0处连处连续，续，函数函数(hnsh)u=(x)在点在点x=x0处连续处连续,且且(x0) = u0，则复合函数则复合函数(hnsh)y=f(x)在点在点x=x0处处连续。连续。第26页/共37页第二十六页，共38页。27 复合复合(fh)(fh)函数求极限的方函数求极限的方法法第27页/共37页第二十七页，共38页。28第28页/共37页第二十八页，共38页。29解:第29页/共37页第二十九页，共38页。30（三）反函数的连续性（三）反函数的连续性定理定理 如果如果(rgu)函数函数y=f(x)在在区间区间Ix上单调增加（或单调减少）上单调增

15、加（或单调减少）且连续，那么它的反函数且连续，那么它的反函数x=(y)也在对应的区间也在对应的区间Iy=y=f(x),x Ix上单调增加（或单调减少）且上单调增加（或单调减少）且连续连续.第30页/共37页第三十页，共38页。311 1 初等初等(chdng)(chdng)函函数的连续性数的连续性定理定理 一切初等一切初等(chdng)(chdng)函数在其定义函数在其定义区间内都是连区间内都是连 续的续的 求初等函数的连续区间就是求其定义区间关求初等函数的连续区间就是求其定义区间关于分段于分段(fn dun)(fn dun)函数的连续性，除按上述结论考虑每一段函数的连续性，除按上述结论考虑每

16、一段函数的连续性外，还必须讨论分界点处的连续性函数的连续性外，还必须讨论分界点处的连续性 （四）初等函数的连续性（四）初等函数的连续性 第31页/共37页第三十一页，共38页。322 2 利用函数利用函数(hnsh)(hnsh)的连续的连续性求极限性求极限第32页/共37页第三十二页，共38页。33第33页/共37页第三十三页，共38页。34定理定理 闭区间闭区间(q jin)(q jin)上连续函数一定存上连续函数一定存在最大在最大 值和最小值值和最小值 四、四、 闭区间闭区间(q jin)上连续函上连续函数的性质数的性质第34页/共37页第三十四页，共38页。35第35页/共37页第三十五页，共38页。36第36页/共37页第三十六页，共38页。37感谢您的观看(gunkn)！第37页/共37页第三十七页，共38页。