第三章远期与期货定价

1、1第三章 远期与期货定价第一节 远期价格与期货价格2n交割价格（delivery price）:合约中规定的未来买卖标的物的价格称为交割价格，用K表示。显然，如果远期（期货）合约一旦签订，交割价格是恒定不变的，到期时合约按照交割价格进行交割。一、远期价值、远期价格与期货价格(b) 远期空头的到期盈亏(a) 远期多头的到期盈亏标的资产价格标的资产价格KK盈亏盈亏图3.1 远期与期货多头（空头）的盈亏状况3n远期价值（forward value）：远期合约本身的价值远期合约本身的价值（多头或空头购买或出售合约本身给他们带来的价值）。 例1： 一个交割价格（K）为10元、交易数量为100单位、距离到

2、期日还有一年（T-t）的远期合约，如果标的资产当前的市场价格（S）为15元，市场无风险连续复利率（r）为10%，则对于多头来说，该远期合约的价值就为（15-10*e-10%*1）*100=595元。对于空头来说，该远期合约价值就为-595元。4n远期价格（forward price）：指使一个远期合约价值为零的交割价格交割价格。 例1： 一个交割价格（K）为10元、交易数量为100单位、距离到期日还有一年（T-t）的远期合约，如果标的资产当前的市场价格（S）为15元，市场无风险连续复利率（r）为10%，则对于多头来说，该远期合约的价值就为（15-10*e-10%*1）*100=595元。对于空

3、头来说，该远期合约价值就为-595元。 定义远期价格为F，上述例子中的远期价格就是使得（15-F*e-10%*1）*100=0的F，计算可得F=16.58元。5总结： 总之，与传统理解的价值与价格的相互关系不同，远期价值是远期合约本身的价值，而远期价格则是理论上使远期价值等于零的那个未来的交割价格。6期货的价值与期货的价格n期货价值（futures value）：由于期货是保证金制度与每日盯市结算制度，所以，期货合约的价值在每日收盘后都等于零。因此，对于期货合约而言，一般较少谈及“期货合约的价值”。n期货价格（futures prices）：与远期价格类似，在期货合约中，期货价格为使得期货合约

4、价值为零的理论交割价格。 7nCox, Ingersoll and Ross(1981)曾证明： （1）当无风险利率恒定且对所有到期日都相同时，交割日相同的远期价格和期货价格应相等。 （2）当利率变化无法预测时，远期价格和期货价格就不相等。 The relationship between forward prices and future prices. Journal of Financial Economics, 1981(12): 321-346.n总之，远期价格与期货价格的定价思想在本质上是相同的，其差别主要体现在交易机制与交易费用的差异上。因此，在大多数情况下，可以合理的假定远期价

5、格与期货价格相等，并都用F来表示。二、远期价格与期货价格的关系8n1.3.1基本的假设（1）没有交易费用与税收；（2）市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金；（3）远期合约没有违约风险；（4）允许现货卖空；（5）市场上不存在套利机会；（6）期货合约的保证金账户支付同样的无风险利率。三、基本的假设与符号9n1.3.2 基本符号T：远期和期货合约的到期时间，单位为年；t：现在的时间，单位为年；S：远期（期货）标的资产在时间t时的价格；ST：远期（期货）标的资产在时间T时的价格；K：远期合约中的交割价格；f：远期合约多头在t时刻的价值，即t时刻的远期价值；F：t时刻的远期合约和期货合约中的理论

6、远期价格和理论期货价格；r：T时刻到期的以连续复利计算的t时刻的无风险利率。10 无收益资产远期合约：是指远期合约的标的资产在从当前时刻t到远期合约到期时刻T之间不产生现金流收入，如贴现债券。一、无套利定价法与无收益资产的远期价值 本章所用的方法为无套利定价法无套利定价法，基本思路为：构建两种投资组合，令其终值相等，则其现值一定相等，否则就可以进行套利，即卖出现值较高的投资组合，买入现值较低的投资组合，并持有到期末，套利者就可赚取无风险收益。第二节 无收益资产远期合约的定价11n为了给无收益资产的远期合约定价，构建如下两个投资组合：（1）组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为 Ke -r（Tt

7、）的现金；（2）组合B：一单位标的资产。远期合约现金组合A标的资产组合B12 在组合A中，Ke-r（Tt）的现金以无风险利率投资，投资期为（Tt）。到T时刻，其金额将达到K。这是因为：Ke-r（Tt）er（Tt） =K。 在远期合约到期时，这笔现金刚好可用来交割换来一单位标的资产。这样，在T时刻，两种组合都等于一单位标的资产。根据无套利原则：终值相等，则其现值一定相等，这两种组合在t时刻的价值必须相等。 即： f+ Ke-r（Tt）=S f=SKe-r（Tt） （3.1） 该公式表明，无收益资产远期合约多头的价值等于标的资产现货价格与交割价格现值的差额。13n由于远期价格F就是使远期合约价值f

8、为零的交割价格K，即当f=0时，K=F。据此可令式（3.1）中的f=0，则： F= Se-r（Tt） （3.2） 这就是无收益资产的现货-远期平价定理（spot-forward parity theorem），或称现货-期货（spot-futures parity theorem）平价定理。式（3.2）表明，对于无收益资产而言，远期价格等于其标的资产现货价格以无风险利率计算的终值。二、无收益资产的现货-远期平价定理14案例3.1 无收益资产远期合约的价值 2007年8月31日，美元6个月期的无风险年利率为4.17%，市场上正在交易一份标的证券为一年期贴现债券、剩余期限为6个月的远期合约多头，其

9、交割价格为970美元，该债券的现价为960美元。请问对于该远期合约的多头和空头来说，远期价值分别是多少？ 根据题意，有： S=960，K=970，r=4.17%，T-t=0.5 根据式（3.1），该远期合约多头的价值f为： f=SKe-r（Tt） =960-970* e-4.17%*0.510.02美元，该远期合约空头的价值为-f=-10.02美元。15案例3.2 无收益资产远期合约的远期价格 2007年8月31日，美元3个月期的无风险年利率为3.99%，市场上正在交割一个期限为3个月的股票远期合约，标的股票不支付红利且当时市价为40美元。那么根据式（3.2），这份远期合约的合理交割价格为：

10、F=40*e3.99%*0.25=40.40美元。16n远期价格的期限结构描述的是同一标的资产不同期限远期价格之间的关系。设F为在T时刻交割的远期价格，F*为在T*时刻交割的远期价格，r为T时刻到期的无风险利率，r*为T*时刻到期的无风险利率。对无收益资产而言，从式（3.2）可知： F=Ser(T-t) F*=Ser*(T*-t) 两式相除消掉S后： F*=Fe r*(T*-t)-r(T-t) (3.3)三、远期价格的期限结构17案例3.3 无收益资产远期合约的远期价格期限结构 2007年8月31日，美元3个月期与6个月期的无风险年利率分别为3.99%与4.17%。某支不付红利的股票3个月远期

11、合约的价格为20美元，该股票6月份的远期价格应为多少？ 根据题意，有： F=20，r=3.99%,r*=4.17%,T-t=0.25,T*-t=0.5 则根据式（3.3），该股票6月期远期价格应为： F*=Fer*(T*-t)-r(T-t)=20*e0.0417*0.5-0.0399*0.25=20.22美元。18 支付已知现金收益的标的资产：指在远期合约到期前会产生完全可预测的现金流的资产，如附息债券和支付已知现金红利的股票等。 仍然采用无套利定价法给支付已知现金收益资产的远期合约定价。现构建如下两个组合：（1）组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为 Ke -r（Tt）的现金；（2）组合B：

12、一单位标的证券加上利率为无风险利率、期限为从当前时刻到现金收益派发日、本金为I的负债。以无风险利率借I数额的资金（约翰赫尔） 一、支付已知现金收益资产的远期价值第三节 支付已知现金收益资产远期合约的定价19 组合A在T时刻的价值等于一单位标的证券； 在组合B中，由于标的证券的现金收益刚好可以用来偿还负债的本息，因此在T时刻，该组合的价值也等于一单位标的证券。 因此，在t时刻，这两个组合的价值应相等，即 f+Ke-r(T-t)=S-I f=S-I-Ke-r(T-t) （3.4） 式（3.4）表明，支付已知现金收益资产的远期合约多头价值等于标的证券现货价格扣除现金收益现值后的余额与交割价格现值之差

13、。 20案例3.4 支付已知现金收益资产远期合约的价值 2007年8月31日，美元6个月期与1年期的无风险年利率分别为4.17%与4.11%。市场上一种10年期国债现货价格为990美元，该证券一年期远期合约的交割价格为1001美元，该债券在6个月和12个月后都将收到60美元的利息，且第二次付息日在远期合约交割日之前，求该合约的价值。 根据已知条件，可以先算出该债券已知现金收益的现值： I=60*e-4.71%*0.5 +60*e-4.11%*1 =116.35美元 根据式（3.4），可算出该远期合约多头的价值为： f=S-I-Ke-r(T-t)=990-116.35-1001*e-4.11%*

14、1=-87.04美元。 相应地，该合约空头的远期价值为87.04美元。21 根据远期价格的定义，可从式（3.4）中求得： F=（S-I）er(T-t) （3.5） 这就是支付已知现金收益资产的现货-远期平价公式。式（3.5）表明，支付已知现金收益资产的远期价格等于标的证券现货价格与已知现金收益现值差额的终值。 二、支付已知现金收益资产的远期价格22案例3.5 支付已知现金收益资产的期货价格 假设黄金现价为每盎司733美元，其存储成本为每年每盎司2美元，一年后支付，美元一年期无风险利率为4%。则一年期黄金期货的理论价格为： F=（S-I）er(T-t) =（733-I）*e4%*1 其中，I=-

15、2*e-4%*1 =-1.92，故： F=（733+1.92）*e4%*1 =764.91美元/盎司23 支付已知收益率的标的资产：是指在远期合约到期前将产生与该资产现货价格成一定比率收益的资产。 为了给支付已知收益率资产的远期定价，可以构建如下两个组合：（1）组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为Ke-r(T-t)的现金；（2）组合B：e-q(T-t)单位证券并且所有收入都再投资于该证券，其中q为该资产按连续复利计算的已知收益率。一、支付已知收益率资产的远期价值第四节 支付已知收益率资产远期合约的定价24 组合A在T时刻的价值等于一单位标的证券。 组合B由于获得的红利收入全部都再投资于该证券

16、，拥有的证券数量随着红利的不断发放而增加，所以在时刻T，正好拥有一单位标的证券。 因此，在t时刻两者的价值也应该相等，即： f+Ke-r(T-t) =Se-q(T-t) f=Se-q(T-t) Ke-r(T-t) (3.6) 式（3.6）表明，支付已知红利率资产的远期合约多头价值等于Se-q(T-t) 与交割价格现值之差。25 根据远期价格的定义，可根据式（3.6）算出支付已知收益率资产的远期价格： F=Se(r-q)(T-t) (3.7) 这就是支付已知红利率资产的现货-远期平价公式。式（3.7）表明，支付已知收益率资产的远期价格等于按无风险利率与已知收益率之差计算的现货价格在T时刻的终值。二、支付已知收益率资产的远期价格26案例3.6 S&P500股指期货定价