2017年考研数学一真题及答案(全)

1、数学（一）试题第 1 页（共 4 页）2017 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题： 18 小题，每小题4 分，共 32 分下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上（1）若函数1cos,0( ),0 xxf xaxb x在x连续，则(a) 12ab(b) 12ab(c) 0ab(d) 2ab【答案】 a 【详解】由01 cos1lim2xxbaxa,得12ab. （2）设函数fx可导，且( )( )0f x fx则(a) 11ff(b) 11ff (c) 11ff(d) 11ff. 【答案】 c 【详解】2( )( )( )

2、02fxf x fx,从而2( )fx单调递增 ,22(1)( 1)ff. （3）函数22( , , )f x y zx yz在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n的方向导数为(a) 12(b) 6(c) 4(d)2【答案】 d 【详解】方向余弦12cos,coscos33,偏导数22,2xyzfxy fxfz,代入coscoscosxyzfff即可 . （4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位： m)处 .图中，实线表示甲的速度曲线1( )vv t(单位： m/s)，虚线表示乙的速度曲线2( )vv t(单位： m/s)，三块阴影部分面积的 数 值 一 次 为10 ， 20

3、 ， 3 ， 计 时 开 始 后 乙 追 上 甲 的 时 刻 记 为 ( 单 位 ： s) ， 则数学（一）试题第 2 页（共 4 页）(a) 010t(b) 01520t (c) 025t(d) 025t【答案】 c 【详解】在025t时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处. （5）设为n维单位列向量，e为n阶单位矩阵，则(a) te不可逆(b) te不可逆(c) t2e不可逆(d) t2e不可逆【答案】 a 【详解】可设t,则t的特征值为1,0,0,从而te的特征值为0 11, ,因此te不可逆 . （6）设有矩阵200021001a，210020001b，122c(a)

4、a与c相似，b与c相似(b) a与c相似，b与c不相似(c) a与c不相似，b与c相似(d) a与c不相似，b与c不相似【答案】 b 【详解】,a b的特征值为2 2 1, ,但a有三个线性无关的特征向量,而b只有两个 ,所以a可对角化 , b则不行 . （7）设,a b为随机事件，若0()1p a，0( )1p b，则(|)(|)p a bp b a的充分必要条件(a) (|)(|)p b ap b a(b) (|)(|)p b ap b a(c) (|)(|)p b ap b a(d) (|)(|)p b ap b a【答案】 a 【详解】由(|)(|)p a bp a b得()()( )

5、()()()1()p abp abp ap abp bp bp b, 即()( )( )p abp a p b; 数学（一）试题第 3 页（共 4 页）由(|)(|)p b ap b a也可得()() ()p abp a p b. （8）设12,(2)nxxxn为来自总体( ,1)n的简单随机样本，记11niixxn，则下列结论不正确的是(a)21()niix服从2分布(b) 212()nxx服从2分布(c) 21()niixx服从2分布(d) 2()n x服从2分布【答案】 b 【详解】222211(0,1)() ( ),() (1)1nniiiiixnxnxxn; 221( ,), ()

6、(1);xnn xn2211()(0,2),(1)2nnxxxxn. 二、填空题： 914 小题，每小题4 分，共 24 分请将答案写在答题纸指定位置上（9）已知函数21( ),1f xx(3)(0)f【答案】 0 【详解】2421( )1( 11)1f xxxxx,没有三次项 . （10）微分方程032yyy的通解为【答案】12e(cos 2sin2 )xycxcx【详解】特征方程2230rr得12ri,因此12e (cos2sin2 )xycxcx. （11）若曲线积分lyxaydyxdx122在区域1),(22yxyxd内与路径无关，则a【答案】1【详解】有题意可得qpxx,解得1a.

7、（12）幂级数111) 1(nnnnx在(-1,1)内的和函数( )s x数学（一）试题第 4 页（共 4 页）【答案】21(1)x【详解】112111( 1)() (1)nnnnnnxxx. （13）110211101a，321，是 3 维线性无关的列向量，则321,aaa的秩为【答案】 2 【详解】123(,)( )2rraaaa（14）设随即变量x的分布函数4( )0.5( )0.5()2xf xx，其中)(x为标准正态分布函数，则ex【答案】 2 【详解】00.54( )d0,5( )()d222xexxfxxxxx.三、解答题： 1523 小题，共94 分解答应写出文字说明、证明过程

8、或演算步骤请将答案写在答题纸指定位置上（15） （本题满分10 分） 设函数( , )f u v具有 2 阶连续偏导数，(e ,cos ),xyfx求2200,xxdyd ydxdx. 【答案】(e ,cos )xyfx121211121212222211122sin ,0(1,1)sin(sin)sincos0(1,1)(1,1)(1,1)xxxxxdyf efxdxdyxfdxd yf efx ef ef efxxfxdxd yxfffdx（16） （本题满分10 分） 求2limln(1)nkknn. 【答案】数学（一）试题第 5 页（共 4 页）212221120012202limln

9、(1)1122limln(1)ln(1).ln(1)11122limln(1)ln(1).ln(1)1ln(1)ln(1)21111ln(1)02211111ln 2221nknnkknnnnnnnnnnnnnnnnnnnxx dxx dxxxxdxxx1011002111ln 2(1)22111111ln 2()ln(1)0022211 11ln 2(1ln 2)22 24dxxxdxdxxxxx（17） （本题满分10 分） 已知函数)(xy由方程333320 xyxy确定，求)(xy的极值 . 【答案】333320 xyxy，方程两边对x求导得：2233330 xy yy，令0y，得23

10、3,1xx. 当1x时1y，当1x时0y. 方程两边再对x求导：2266 ()330 xy yy yy，令0y，26(31)0 xyy，当1x，1y时32y，当1x，0y时6y. 所以当1x时函数有极大值，极大值为1，当1x时函数有极小值，极小值为0. （18） （本题满分10 分） 设函数( )f x在区间0,1上具有 2 阶导数，且(1)0f，0( )lim0 xf xx.证明：（i）方程( )0f x在区间(0,1)内至少存在一个实根; 数学（一）试题第 6 页（共 4 页）（ii）方程2( )( )( )0f x fxfx在区间(0,1)内至少存在两个不同实根. 【答案】(1)0( )

11、lim0 xfxx，由极限的局部保号性，(0, ),( )0cf c使得，又(1 )0,f由零点存在定理知，(c,1)，使得，( )0f. (2) 构造()()fxfxfx，(0)(0)(0)0fff，( )( )( )0fff，0( )lim0,(0)0,xf xfx由拉格朗日中值定理知(1)(0)(0,1),( )010fff，(0)( )0,ff所 以 由 零 点 定 理 知1( 0 ,)( 0 , 1 )， 使 得1 ()0f，111()()()0,fff所以原方程至少有两个不同实根。（19） （本题满分10 分） 设薄片型物体s是圆锥面22yxz被xz22割下的有限部分， 其上任意一

12、点处的密度为2229),(zyxzyx，记圆锥面与柱面的交线为c；（i）求 c 在xoy平面上的投影曲线的方程；（ii）求 s 的质量 m。【答案】 (1)c的方程为2222zxyzx，投影到xoy平面的方程为：22(1)10 xyz2222222(2)( , , )9+92+mu x y z dsxyz dsxyxy ds2cos22322022818+18cos3dxy dxdyd320296cos96(1)643d（20）(本题满分11 分 )设3矩阵123(,)a有 3 个不同的特征值，3122（ i）证明：(a)2r; （ ii）若123，求方程组ax的解 . 数学（一）试题第 7

13、页（共 4 页）【答案】.00121, 021321321213的特征值是，故，a又a有三个不同的特征值，故01为单根，且a一定能相似对角化. .2)()(,rara（2）由（ 1） ，0ax的通解为tk1,2 , 1，321，故有ta1 , 1 , 1111,321，即. ).()1 , 1 , 1(1,2, 1为任意常数的通解为kkaxtt（21） （本题满分11 分） 设二次型222123123121323(,)2282f x x xxxaxx xx xx x在正交变换qyx下的标准形为221122yy，求a的值及一个正交矩阵q。（21）【答案】二次型的矩阵aa14111412，因为二次

14、型在正交变换下的标准形为221122yy，故a有特征值 0，0a，故2a. 由0)6)(3(214111412ae得特征值为0,6, 3321. 解齐次线性方程组0 xaei，求特征向量. 数学（一）试题第 8 页（共 4 页）对31，0001101015141214153ae,得1111；对62，0000101014141714146ae,得1012；对03，0002101012141114120ae,得1213；因为123,属于不同特征值，已经正交，只需规范化：令ttt1 , 2, 161,1 ,0 , 121,1 , 1, 1313222111，所求正交矩阵为61213162031612

15、131q,对应标准形为222163yyf. （22） （本题满分11 分） 设随机变量x与y相互独立，且x的概率分布为1x0x22pp，y的概率密度为2 ,01( )0,yyfy其他 .（ i）求yeyp（ ii）求zxy的概率密度。22、【答案】（1）32d2d)(10yyyyyyfeyy，94d2d)(32032yyyyfeyypy. （2）z的分布函数为数学（一）试题第 9 页（共 4 页）)2()(212212202,0,)(zfzfzypzypzyxpzyxpxzyxpxzyxpzzpzfyyz，故z的概率密度函数为其它,032,210,3, 032,221, 010,0, 0)2(

16、)(21)()(zzzzzzzzzzzzfzfzfzfzz. （23） （本题满分11 分） 某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n 次测量， 该物体的质量是已知的 .设 n 次测量结果nxxx,21相互独立且均服从正态分布),(2n.该工程师记录的是n 次测量的绝对误差), 2, 1(nixzii.利用nzzz,21估计. （i）求iz的概率密度；（ii）利用一阶矩求的矩估计量；（iii ）求的最大似然估计量. 【答案】1z的分布函数为zxpzxpzzpzfz111)(1，.12)(,0;0)(,011zzfzzfzzz时时所以iz的概率密度均为2222e,0()()20,zzzzfzfz其他. （2）222