2022年2022年不等式及不等式选讲【概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结】

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载概念.方法.题型.易误点及应试技巧总结不等式及不等式选讲（4-5 ）一不等式的性质 ：1同向不等式可以相加； 异向不等式变向相加 ：如 ab、cd , 就 acbd（如 ab、 cd ,就 acbd ）,但异向不等式不行以直接相加；同向不等式不行以相减；2 左右同正不等式：同向的不等式可以相乘,但不能相除； 异向不等式取倒相乘,但不能精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载相除：如 ab0、 cd0 ,就 acbd （如 ab0、0cd ,就 a1b1 ）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载cd精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3

2、 左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：如 ab0 ,就 a nbn 或 n an b ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4 如ab0 , ab ,就 11 ；如 abab0 , ab ,就 11 ；如ab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（1）对于实数 a、 b、 c 中,给出以下命题：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 如ab、 就ac 2bc 2 ； 如ac2bc2 、就ab ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 如ab0、 就a 2abb 2 ； 如ab0、就 11 ；ab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 如ab0、 就

3、 baa ； 如abb0、就 ab ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 如caab0、 就cab； 如ab、 11 cbab,就 a0、 b0 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载其中正确的命题为 （答：） ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2）已知1xy1 ,1xy3 ,就 3xy 的取值范畴为 （答： 13xy7 ）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载二不等式大小比较的常用方法：1作差：作差后通过分解因式.配方等手段判定差的符号得出结果；2作商（常用于分数指数幂的代数式） ；3分析法；4平方法；5分子（或分母）有理化；6利用函数的单调性

4、；7查找中间量或放缩法；8图象法； 其中比较法（作差.作商）为最基本的方法；如精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（1）设 a0且a1、 t0 ,比较1 loga2t和 log at1 的大小2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（答：当 a1时, 1 logtlogt1t1时取等号）；当 0a1时, 1 logtlogt1t1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载时取等号）；aa（22aa（22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2）设 a2, pa1, qa22 a24a 2 ,试比较p、 q 的大小精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（答

5、： pq ）；（3）比较 1+ log x 3 与 2 log x2 x0且x1 的大小精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（答：当 0x1或 x4时,1+ log3x 3 2log x 2 ；当1x4时,1+ log x343 2log x 2 ；当 x3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载时, 1+ log x 3 2log x 2 ）三利用基本不等式求函数最值时,你为否留意到： “一正二定三相等,和定积最大,积定和最小”这 17 字方针； 如（ 1）以下命题中正确选项精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a . yx12xb. yx的最小值为 23的最小值为

6、2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载c. yd. yx223x23x24 x x4 x x0 的最大值为 2430 的最小值为 243（答： c）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）如 x2y1 ,就 2x4y 的最小值为 （答： 22 ）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3）正数x、 y 满意 x2 y1,就 1x1 的最小值为 y（答： 322 ）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载四. 常用不等式 有：（1）a 2b22abab 22 依据目标不等式左右的运算结构选用；11精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2）a

7、.b.cr, a 2b 2c2ababbcca （当且仅当 abc 时,取等号 本质就为排序不等式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载你看出来了吗？ ）；（3）如 ab0、 m0 ,就 bbmaam（糖水的浓度问题） ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如 假如正数 a . b 满意 abab3 ,就 ab 的取值范畴为 （答： 9、）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载五证明不等式的方法 ：比较法.分析法.综合法和放缩法比较法的步骤为：作差（商）后通过分解因式.配方.通分等手段变形判定符号或与1 的大小,然后作出结论；.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢

8、迎下载常用的放缩技巧有：1111111（ 裂项法 ）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nn1nn1n2n n1n1n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载k1k111kk1 （ 有理化）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载k1k2kk1k精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如（ 1）已知 abc ,求证：a 2 bb 2 cc2 aab 2bc 2ca 2；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2已知a、b、 cr ,求证：a 2b 2b 2 c 2c 2 a 2abc abc ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（3） 已知 a、

9、b、 x、yr ,且 11 、 xy ,求证：xy；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载abxayb精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4 如 a.b.c 为不全相等的正数,求证：lg ab2lg bc 2lg ca 2lg alg blg c ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（5） 已知 a、 b、 cr ,求证：a 2b 2b 2c2c2 a2abc abc ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6 如 nn *,求证： n121n1n21n ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载7 已知

10、| a | | b | ,求证： | a | b | a | b | ；| ab | ab |精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（8）求证： 111l12 ；2232n2六简洁的一元高次不等式的解法：根轴法：其步骤为： （ 1）分解成如干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根的右精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2上方依次通过每一点画曲线；并留意奇穿偶不穿 ；（3）依据曲线显现写出不等式的解集； 如f x的符号变化规律,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（1）解不等式 x1x20 ；（答： x |

11、x1 或 x2 ）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2）不等式 x2x22x30 的解集为 （答： x | x3 或 x1 ）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（3） 设函数f x .g x的定义域都为r,且f x0 的解集为 x |1x2 , g x0 的解精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载集为,就不等式f xgg x0 的解集为 （答： 、1 u 2、 ）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（4）要使满意关于 x 的不等式2 x 29xa0 （解集非空）的每一个x 的值至少满意不等式精品学习

12、资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x 24 x30和x 26 x80 中的一个,就实数a 的取值范畴为 .（答：7、81 ） 8精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载七分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路为先移项 使右边为 0,再通分 并将分子分母分解因式, 并使每一个 因式中 最高次项 的系数为正 ,最终用根轴法求解；解分式不等式时,一般不能去分母,但 分母恒为正或恒为负时可去分母 （或者说在已知条件给出的范畴内分母符号可判定,也可去分母） ；如精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（1）解不等式5x12x2x3（答： 1、1u 2、3 ）；精品学习资料精选学习资料

13、 - - - 欢迎下载（ 2 ） 关于 x 的不等式axb0 的解集为1、 ,就关于x 的不等式axbx20 的解集为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载八肯定值不等式的解法：（答： 、12、 ）.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1零点分段法（ 最终结果应取各段的并集）：如解不等式 | 22利用肯定值的定义；3 x |42| x1 |2（答： xr）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3数形结合； 如解不等式 | x | x4两边平方： 如1|3（答： 、1 u 2、 ）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎

14、下载如不等式 | 3x2 | | 2 xa |对 xr恒成立,就实数 a 的取值范畴为 ；（答： 4 ）3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载九含参不等式的解法 ：求解的通法为“ 定义域为前提,函数增减性为基础,分类争论为关键”留意解完之后要写上： “综上,原不等式的解集为” ；留意：按参数争论,最终应按参数取值分 别说明其解集； 但如按未知数争论, 最终应求并集即 争论变量一样时先交后并, 否就不予交并 .如精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2（1）如 log a31 ,就 a 的取值范畴为 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（答： a1 或0aax22 ）

15、；3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2）解不等式ax1xar精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（答： a0 时, x | x0 ； a0 时, x | x1 或 x a0 ； a0 时, x | 1ax0 或 x0 ）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载提示：（1）解不等式为求不等式的解集,最终务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往为不等式对应方程的根或不等式有意义范畴的端点值；如关于 x 的不等式 axb0的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解集为 、1,就不等式x2axb0 的解集为 （答：（ 1、2）精品学习资料精选学习资料

16、- - - 欢迎下载十含肯定值不等式的性质：a.b 同号或有 0| ab | | a | b |a.b 异号或有 0| ab | | a | b | a | b | | ab | ；| a | b | | ab | .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如设 f xx2x13 ,实数 a 满意 | xa |1 ,求证： |f xf a |2| a |1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载十一不等式的（恒成立.能成立.恰成立）等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分别变量法”转化为最值问题,也可抓住宅给不等式的结构特点, 利用数形结合法）1). 恒成

17、立问题精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如不等式 fx如不等式 fxa 在区间 d 上恒成立 、 就等价于在区间 d 上b 在区间 d 上恒成立 、 就等价于在区间 d 上fx minafx maxb精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如（ 1）设实数x、 y 满意 x2 y121,当xyc0 时, c 的取值范畴为 （答：21、）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2）不等式 x4x3a 对一切实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范畴 （答： a1 ）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（3）如不等

18、式 2x1mx21) 对满意 m2 的全部 m 都成立,就 x 的取值范畴 7131（答：（、） ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载221 n 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（4）如不等式 1 n a2对于任意正整数 n 恒成立,就实数 a 的取值范畴为 n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（答： 2、 3 ）；2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（5）如不等式x22mx2m10 对0x1 的全部实数 x 都成立,求 m 的取值范畴 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2). 能成立问题（答： m1 ）2精品学习资料精选学习资

19、料 - - - 欢迎下载如在区间 d 上存在实数 x 使不等式 fxa 成立、 就等价于在区间 d 上 fxmaxa ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如在区间 d 上存在实数 x 使不等式 fxb 成立、 就等价于在区间 d 上的fx minb . 如精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载已知不等式x4x3a 在实数集 r 上的解集不为空集,求实数a 的取值范畴 （答： a1 ）3). 恰成立问题精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如不等式 fx如不等式 fxa 在区间 d 上恰成立 、就等价于不等式fxb 在区间 d 上恰成立 、就等价于不等式fxa 的解集

20、为 d ；b 的解集为 d .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载十二二维柯西不等式1. 定理 1 （代数形式）：如 a.b.c. dr ,就 a2 b2 ·c2 d2 ac bd2（当且仅当adbc 时,等号成立）如 已知 2x 4y 3,就 x2 y2 的最小值为 （答： 9 ） 20【析】 x2 y2 x2 y24 16× 1 1 x·2 y·42 9 .当且仅当4x 2y,即 y 2x,即 x 3 ,y3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载20202010 5时等号成立,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2. 定理 2 （向量形式）：设 .为两个向量,就|·| |（当且仅当为零向量或存在实数k,使 k时即 共线 ,等号成立）11223. 定理 3 （三角形式）：设 x1, y1, x2, y2 r,那么x2 y2x2 y2x1 x2 2 y1 y2 2（ 当且仅当p1 x1, y1, p2x2, y2,o0、0三点共线且p1, p2 在 o 两侧 时,等号成立）例 已知 2x 4y 3,就 x2 y2 的最小值为 （答： 9 ） 20十三排序不等式1次序和.乱序和.反序和的概念设 a1 a2 a