专题立方和差公式和差的立方公式

1、专题二立方和(差)公式、和(差)的立方公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：(1)平方差公式(a b)(a b) a2 b2 ；(2)完全平方公式(a b)2a2 2ab b2。我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：(1)立方和公式(a b)(a2233ab b ) a b ；(2)立方差公式(a b)(a2233ab b ) a b ；(3)三数和平方公式(a b c)2 2 2 2a b c 2(ab bc ac)；(4)两数和立方公式(a b)33223a 3a b 3ab b ；(5)两数差立方公式(a b)3a3 3a2b 3ab2 b3。对上面列岀的五个公式，有兴趣的同学可

2、以自己去证明。反过来，就可以利用上述公式对多项式进行因式分解。例1计算：(1) (3 2y)(9 6y 4y2)；1 51(2) (5xy)(25x2 xy y2)；2 242(3) (2x 1)(4x 2x 1)。分析：两项式与三项式相乘，先观察其是否满足立方和(差)公式，然后再计算解：(1)原式=33(2y)327 8y3 ；3 1 3 3 1 3(2) 原式=(5x)( y) 125x y ；2 8(3) 原式=8x3 4x2 2x 4x2 2x 1 8x3 8x2 4x 1。说明：第(1 )、( 2)两题直接利用公式计算 .第(3)题不能直接利用公式计算，只好用多项式乘法法 则计算，若

3、将此题第一个因式中“+1”改成“ -1 ”则利用公式计算；若将第二个因式中“2x ”改成“ 2x ”则利用公式计算；若将第二个因式中“ 2x ”改成“ 4x ”，可先用完全平方公式分解因式，然后再用和的立方公式计算23322332(2x 1)(2x 1)(2x 1)(2x)3(2 x) 1 3(2 x) 11 8x 12x 6x 1。例2计算：(1) (x3 1)(x6 x3 1)(x9 1)；2 2(2) (x 1)(x 1)(x2 x 1)(x2 x 1)；(3) (x 2y)2(x2 2xy 4y2)2 ；分析： 利用乘法的交换律、积的乘方，找出满足立方和(差)的两个因式，是计算的关键解

4、：(1)原式(x91)(x9181) x 1；2)解法一：原式(x21)(x2 x 1 )( x1)(x2x1) (x31)(x31) x61 ；解法二：原式(x1)(x1)(x21)x(x21)xx61；3)原式(x2y)(x22xy4y2)26x16x3y364y6。说明： 第( 2 )、( 3)题往往先用立方和(差)公式计算简捷. 相反，如第( 2)题的第二种解法就比较麻烦 .例 3 因式分解：(1) x3y3 125 ；(2) a 27a4；66( 3) x6 y6。分析： 对照立方和(差)公式，正确找出对应的 a,b 是解题关键，然后再利用立方公式分解因式。3 3 2 2解： (1)

5、原式 (xy)3 53 (xy 5)(x2 y2 5xy 25) ；(2)原式 a(1 27a3) a13 (3a)3 a(1 3a)(1 3a 9a2)(3)原式3 2 3 2 3 3 3 3 2 2 2 2(x ) (y ) (x y )(x y ) (x y)(x xy y )(x y)(x xy y ) 。说明 ：我们可尝试一下，第 (3) 题先用立方差公式分解就比较复杂，会导致有的同学分解不彻底。例4设x y 5,xy 1,试求x3 y3的值。3322分析： 对于立方和公式 a3 b3 (a b)(a2 ab b2) ，我们不难把它变成：332333a3b3(ab)( ab)23ab

6、 ，即 a3b3(ab)33ab(a b) ，再应用两数和、两数积解题较为方便。3333解：x3y3(xy)33xy(xy)533( 1)5 140。说明： 立方和(差)与和(差)的立方之间可以相互转化例5 如果ABC的三边a,b,c满足a3 a2b ab2 ac2 be2 b3 0,试判断 ABC的形状。分析：直接看不岀三角形边之间的关系，可把左边的多项式分解因式，变形后再找岀三角形三边之间的关系。解：因为a3a2b ab22 acbc2b30所以3. 3a b(a2b ab2)(2 acbc2)0，即(a b)(a2ab b2)ab(ab)c2(ab) 0，(ab)(a2b2 c2)0所以

7、a b或a2 b2 c2,因此 ABC是等腰三角形或直角三角形.说明：此类题型，通常是把等式一边化为零，另一边利用因式分解进行恒等变形练习1.计算：(1)(4a)(164aa2);(2)(2 a】b)(4a22abb2)；339(3)(x1)(x2x1);(4)x(x2)2(x22x4)(x 2)2.计算：2 2 2(1) (x 2)(x 2) (x 2x 4)( x 2x 4)；3(2) (2x 3y);1 3(3) (5 b)；3(4) (m 1)3(m2 m 1)3。3 分解因式：(1) (2x 1)3 x3 ；33(2) 27x 8y ；(3) 2x(4) m664。4.化简:a、a

8、b b。a , ab b5.c 0，求证:a3a2c b2c abc b36.(1)已知 m n 2 ,33n 6mn的值;7.8.3(2)已知：x y 1，求x已知两个正方体，其棱长之总和为已知ab 1，求 a3 3ab3y 3xy的值.48cm,体积之和为28cm3,求两个正方体的棱长b3的值。10.已知实数a, b,c满足 abc0， a bc1,a2.2 2 b c2, a3b3 c3，求abc的值答案：1.(1)643a ；c 3(2) 8a1 b3 ；27(3)3 x1 ； ( 4)4x24x 8。2.(1)6 x64 ；(2)8x336x2y 54xy227 y3(3)12525b5b2 13b ；( 4)9 m3m63m3 1。已知a9.327b 2,ab 48，求 a4 b4 的值。3、(1) (3x21)(3x 3x1)；(2)2(3x 2y)(9x 6xy4y2);4.5.6.7.(3) 2(2