专题：抛物线与圆综合探究题

1、专题：抛物线与圆综合探究题抛物线与圆综合探究题，综合性强，难度较大，通常都作为“压轴题”，解此类题通常需要熟练掌握抛物线与圆相关的基本知识和基本技能，求解时注意运用有关性质，进行综合、分析、探究解题思路。2例1、抛物线y =ax bx c交x轴于A、B两点，交y轴于点C ,已知抛物线的对称轴为x = 1，2B(3,0) ,C(0,-3)，求二次函数 y=ax bx c的解析式；在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到B、C两点距离之差最大？若存在，求岀P点坐标；若不存在，请说明理由；平行于x轴的一条直线交抛物线于 M、N两点，若以 MN为直径的圆恰好与 x轴相切，求此圆的半径.解：(1)将C0

2、 3 代入 y=ax2+bx+c，得 c = -3 将c = 3，B(3,0)代入 y = ax2+bx + c，K得 9a 3b 0 . x =1 是对称轴，- 一 = 1 .将(2)代入(1)卜2a得a =1， b = -2 .二次函数得解析式是 y = x2 -2x -3. (2) AC与对称轴的交点 P即为到B、C的距离之差最大的点.C点的坐标为(0, -3)，A点的坐标为(-1,0)，直线AC的解析式是y = -3x-3，又对称轴为 x =1， 点P的坐标(1,-6).( 3 )设M(x,y)、N(X2，y)，所求圆的半径为r，则X2-X1=2r，.(1) v对称轴为x =1，x?x

3、2 .(2)由(1)、(2)得：X2=r+1.(3)将 N(r+1,y)代入解析式2 2=x _2x_3，得 y = (r+1) _2(r+1)3，.(4)整理得：y = r 2 一 4 .由于r= ± y，当y 0时,r2(舍去)，当y : 0时，r2 r0，解得，口1 + J17_r -4 =0，解得，1 ：2目(舍去)径是17或7-1、17_ 2.所以圆的半例2、已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数 y=kx-4k的图象与x轴交于点经过O、A两点。 试用含a的代数式表示 b;设抛物线的顶点为 D,以D为圆 心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折，翻

4、折后的劣弧落在O D内，它所在的圆恰与 OD相切，求O D半径的长及抛物线的解析式；设点B是满足中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P,使得/ poa =4 / OBA ?若存在，求岀点P的坐标；若不存在，请说3明理由。（1）解法一：丁一次函数y=kx_4k的图象与x轴交于点a点A的坐标为（4,0）丁抛物线y = ax2亠bx亠c经过O A两点.c = 0,16a亠4b = 0 . b - -4a解法二：丁一次函数y = kx - 4k的图象与x轴交于点 A 点A的坐标为（4，0）v抛物线y =ax2 bx c经过O A两点抛物线的对称轴为直线bx = 2 x22

5、a（2）解：由抛物线的对称性可知，DO= DA/-点O在O D上，且/ DOA=Z DAO又由（1 ）知抛物线的解析式为2cy = ax -4ax /点d的坐标为（2，-4a） 当a 0时， 如图1，设o d被x轴分得的劣弧为0mA，它沿x轴翻折后所得劣弧为OnA，显然OnA所在的圆与O D关于x轴对称，设它的圆心为 D'D'与点D也关于x轴对称/点点 O在O D'上，且 OD与O D'相切/点 O为切点/ D'OL OD /Z DOA=Z D'OA= 45 °ADO为等腰直角三角形二-4a = -2.OD = 2 2 /点d的纵坐标为

6、-21，"” a = , b = 4a = 22抛物线的解析式为 y线的解析式为y =1 22 -2x 当 a : 0时，2x2 - 2x 综上，O D半径的长为2 2，抛物线的解析式为2同理可得：OD=2、2抛物-x2 2x24（3）解答：抛物线在x轴上方的部分上存在点 P,使得Z POA = 4 Z OBA3设点P的坐标为（x ,y）,且y >0当点P在抛物线y = 1 x2 -2x上时（如图2）2t点B是OD的优弧上的一点.Z OBA 二 1 Z ADO = 452.tanZ POE 二OEZ POA=4Z OBA =603过点P作PEL x轴于点E乂 =ta n60xy

7、 = 3xy = . 3xf 1 2 y =由图3解得：- 2xx1 =4 +2巧,y =6 + 4虫L.y2X2=0 （舍去）=0 /点P的坐标为4 2. 3,6 4、3当点P在抛物线y = X22x上时（如图3）2同理可得，y = < 3x（舍去）点P的坐标为4_2. 3, _6 4 3 综上，存在y = . 3x(12解得:y x 2x2x<| =4 2十'3x? = 0L，cyi =-6 十4柘、y2 =°满足条件的点P,点P的坐标为 42.、3,64 3或4_2.3,_63心的坐标；抛物线y = ax2 + bx + c过O A两点，且顶点在正比例函数3

8、y = 的图象上，求抛物线的解析式；过圆心C作平行于x轴的直线DE3交O C于D、E两点，试判断 D、E两点是否在中的抛物线上；若中的抛物线上存在点P （xo，yo），满足/ APB为钝角，求xo的取值范围。解：（1） TO C经过原点0, AB为O C的直径。 C为AB的中点。1 1过点C作CH垂直x轴于点H,则有CH= 0B=、3，0H= 0A= 1。二圆心C2 2的坐标为（1， . 3）o（2）抛物线过 O A两点，抛物线的对称轴为 x = 1oT抛物线坐标代入抛物线抛物线2y = ax+ bx + c，得a求c =0解得1抛物线的解析式为4a 2b c =02 3b _3_ 3a -&

9、#39;b c3c =0I的顶点在直线fx 上,顶点坐标为(1,）把这三点的3知点(3) / 0A= 2, 0B= 2品, AB = J22 +(2妁2 =4.即o c 的半径 r = 2。二 D( 3, 43 ), E ( 1,D E均在抛物线上（4）t AB为直径，.当抛物线上的点(avO)又抛物线经过点N( 2，3)，侧)，与y轴交于点Co求抛物线的解析式及点 A、B、C的坐标； 若 直线y=kx+t经过C、M两点，且与x轴交于点 D,试证明四边形 CDAN是平 行四边形； 点P在抛物线的对称轴 x=1上运动，请探索：在 x轴上方是 否存在这样的 P点，使以P为圆心的圆经过 A、B两点，

10、并且与直线 CD相 切，若存在，请求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由。2 2y = ( x 1 + 4= x + 2x + 3.令 y =B ( 3， 0);令 x = 0，得 y = 3，所以 C解：(1)由抛物线的顶点是 M( 1, 4)，设解析式为y= a (x12+4所以3= a (21 2+4解得a = 1所以所求抛物线的解析式为0，得一 x2+2x +3=0，解得：x1=1 x2=3.得 A ( 1，0)(0, 3).t=3(2)直线y=kx+t经过C、M两点，所以即k = 1, t = 3直线解析式为 y = x + 3. 令y = 0,k+1 =4得x = 3,故D ( 3

11、, 0) CD = 3、2 连接AN,过N做x轴的垂线，垂足为 F. 设过A、N两点的直线_L m + n=0的解析式为y = mx+ n,贝9解得m= 1 ,n= 1所以过A、N两点的直线的解析式为 y = x+ 1所2m+ n=3以DC/ AN. 在Rt ANF中，AN= 3, NF= 3,所以AN= 3 2 所以DC= ANO因此四边形 CDAN是平行四边形.(3) 假设在x轴上方存在这样的 P点，使以P为圆心的圆经过 A、B两点，并且与直线 CD相切，设P (1 ,u) 其中u > 0,贝U PA是圆的半径且 PA2= U2+ 22过P做直线CD的垂线，垂足为 Q,则PQ= PA

12、时以P为圆心的圆与直线CD相切。由第(2)小题易得： MDE为等腰直角三角形， 故厶PQM也是等腰直角三角形，由P (1 , u)得 PE= u, PM=|4-u| , PQ =字=|4-UL 由 PQ2= PA2得方程：(4 U) = u2+ 22，解得 应 血2u= 4_2.6，舍去负值u = 42.6，符合题意的u= 4+2,6，所以，满足题意的点P存在，其坐标为(1, 4+ 2 6 )例5、已知：如图，抛物线12. 3y x2' x m与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，/ ACB= 90° ,3 3求m的值及抛物线顶点坐标； 于另一点D,连结DM并延长交O 交x轴

13、、y轴于点F、G ,求直线过A、B、C的三点的O M交y轴 M于点E ,过E点的O M的切线分别 FG的解析式； 在条件下，设 P为in上的动点（P不与C、D重合），连结PA交y轴于点H,问是 否存在一个常数 k,始终满足 AH - AP = k ,如果存在，请写岀求解 过程；如果不存在，请说明理由.解：由抛物线可知，点 （X2 , 0）.则有设 A (xi, 0) , BC的坐标为(0 , m),且mx 0.X1 X2= 3m 又0C是 Rt ABC的DCGAOCA COBOA OCOC 一 OB_ 為一 m ?-mx2即 xi X2= m22m = 3 m,解得m= 0 或mi= 3而 m

14、x 0,故只能取 m= 3这时,122.3y = _ x3解法一：由已知可得：M（3 , 0）,亠扣-3）24故抛物线的顶点坐标为（.，3, 4）A( V3 , 0), B( 3y/3 , 0), C (0, 3), D( 0,抛物线的对称轴是 x =3 ,也是O M的对称轴, 连结CETDE是O M的直径，/ DCE= 90°，直线垂直平分 CE - E点的坐标为（2 3, 3）OA _ OMOC 一 OD.3/ AOC=Z DOI= 90°3/ ACO=/ MD= 30°, AC/ DE / AC丄 CB CB丄 DE又 FGL DE FG/ CB 由 B (

15、3 3 , 0)、C (0, 3)两点的坐标易求直线 CB的解析式为：y=3x 3可设直线3FG的解析式为y=3 x + n ,3把( 2 3,3）代入求得n = 5故直线FG的解析式为122(3解法二：令y = 0，解-x22 33x 3= 0 得 xi = - 3 , X2= 3 3 ,即 A ( . 3 , 0), B (3.3, 30)根据圆的对称性， 易知：O M 半径为 2. 3, M(、.3, 0)在 Rt BOC中 , / BOC= 90° , OB= 3 . 3 ,OC= 3CBO= 30°,同理，/ OD= 30°。而/ BME=Z DMO /

16、 DOI= 90°, DEI BCv DEL FG- BC/ FG/ EFM=Z CBO= 30° 在 Rt EFM 中，/ MEF= 90° , ME= 2、一 3 , / FEM= 30 ° , MF= 4 ： 3 , - OF=OMF MF= 5.3, F 点的坐标为(5.3, 0)在 Rt OFG 中，OG= OF- tan 30 ° = 5、3 X 3 = 5：G 点3的坐标为（0, 5）直线FG的解析式为y =x-5（解法二的评分标准参照解法一酌定）3ACAHAPACc c解法一：存在常数k= 12,满足AH- AP 12 连结CP

17、由垂径定理可知 AD二ACP=Z ACH(或利用/ P=Z ABC=Z ACO 又I/ CAH=Z PAC / ACHT APC即 AC= AH- AP 在 Rt AOC 中，AC= AO+ oC=(.、3 ) 2+ 32= 12 (或利用 AC= AO- AB=3 X 4.3 = 12a AH AN12解法二： 存在常数 k = 12，满足 AH - AN 12设AH= x, A吐y 由相交弦定理得 HD - HC = AH - HP 即例 6、抛物线 y = ax2 bx c（ a ： 0）交x轴于点 a（-i,o）、b（3,0）, 交y轴于点C,顶点为D,以BD为直径的O M恰好过点C.

18、 （1）求顶点D的 坐标（用a的代数式表示）；（2）求抛物线的解析式；（3）抛物线上是否存在点P使厶PBD为直角三角形？若存在，求岀点P的坐标；若不存在，说明理由.解：（1）（方法一）由题意：设抛物线的解析式为y =a（x JXx 一3）2 2.y =ax 2ax da =a(x1) 3a .点 c(0,- 3a), D( 1, -4a)（方法二）由题意：3 _b +c =09a+3b+c = 0 ,解得b - -2ac = -3ay =ax 2ax -3a (下同方法一)DE（2）（方法一）过点D作DEIy轴于点E,易证 DE3A COB： OCAVCE 1OB -3a2a : 0 a =

19、一1故抛物线的解析式为：y =-X2x 3（方法二）过点 D作DEI y轴于点E,过M作MGL y轴于点G,设O M交x轴于另一点H,交y轴于另点F,可先证四边形 OHDE为矩形，贝U OH= DE= 1,再证0F= CE- a，由0H0B= OF- OC#:(一 a)(-3a) =1 3日（下同法一）（P1表示第一个P（3）符合条件的点 P存在，共3个若/ BPD= 90 ° , P点与C点重合，则 P1 （ 0, 3）2点，下同）若/ DBP= 90°,过点 P2作P2R丄x轴于点 R,设点P2（P, p 2p 3）由厶BP2MA DBH得，2至=空-p+3p -2p3

20、_33 _9）DH BH，即 42 ，解得2或p =3 （舍去）故 2' 4若/ BDP= 90°,设DP31717y X亠的延长线交y轴于点N,可证 EDN HDB求得EN= 2 , N （ 0, 2 ）求得DN的解析式为 22求抛1 15z 391 15 （ ） 物线与直线DN的交点得P3 （ 2'4 ），综上所述：符合条件的点 P为（0, 3 ）、2' 4、（ 2' 4 ）例7、已知抛物线y=ax2+bx+c(a工0)与x轴交于不同的两点对称轴为x=1.求此抛物线的解析式；过A、B、C三点作O O'与y轴的负半轴交于点且与直线AD垂直(垂

21、足为 E)的直线OE的方程； 的交点为Q ,直线x=m与抛物线的交点为 R,直线R、S为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求岀A和B (4 , 0),与y轴交于点 C ( 0 , 8)其D,求经过原点O 设O O'与抛物线的另一个交点为P ,直线OE与直线BCx=m与直线OE的交点为S。是否存在整数 m使得以点 P、Q、 m的值；若不存在，请说明理由。b-2=1 ,2a解：由已知，有*a 42 +b 4+c = 0,解得c = 8.a = 一1«b=2抛物线c =8.的解析式是y=-x 2+2x+8 .(2)令 y=0，得方程-x 2+2x+8 = 0,解得 X1=-2 ,标

22、为(-2 , 0).在OO'中，由相交弦定理，得即2 X 4=8X |OD| , |OD|=1. 点D在y轴的负半轴上，点 标为(0 , -1).在 Rt AOD中，J |OA|=2 , |OD|=1 , OE! AD, 由勾股定理，有AD=.2212 = ,5 .又 |OA| |OD|= |AD| |OE| , .lOEF225X2=4.点A的坐OA| |OB|=|OC| |OD| ,D的坐0x/ |0A| 2=|AE| |AD| ,即 22= 5 |AE| ,|AE|=5同理，由 |OD|2=|DE| -|AD| ,得|DE|=-54411工，y二工.在 Rt DOE中 , J-|

23、DE| |OE|=丄|x|5522 |y|=-4).5方程为设直线OE的方程为y=kx (k工0).直线OE经过点11.设点 E(x , y),且 x<0 , y<0.在 Rt AOE中，-|AE| -|OE|=|y|-|OA| ,2222 x=- 2. 点E的坐标是(-,554 2=-k , K=2.直线 OE的5 52|OD| , |x|=-5E(- 2 , - 4 ) , 55y=2x.(3)在OO'中，对称轴x=1垂直平分弦 AB,.由垂径定理的推论知直线x=1经过圆心0'. C(0 , 8) ,由对称当得点P的坐标为(2 , 8).设直线BC的方程为y=k

24、x+b (k工0).则有丿4k b-°解得 b = 8.k = 一2 直线BC的方程为b =8.y=-2x+8.联立方程组y = 2x y =-2x +8 ,x =2点Q的坐标为(2 , 4)./点 P(2 , 8)，点 Q(2 , 4),PQRS为平行四边形，已知 PQ/ RS.设点R的坐标为PQ/ RS,尚需条件 |RS|=|PQ|.(m , -m +2m+8)，点S的坐标的(m , 2m).要使四边形 由 |(-m 2+2m+8)-2m|=|8-4|=4, 得 |-m 2+8|=4 ,解得 m=士 2,或m=± 2 3 .而m=2, 士 2 . 3不合题意，应舍去.存

25、在整数 m=-2，使得以P、Q R、S为顶点的四边形为平行四边形.例8、如图3已知抛物线y = ax2 bx C，经过点A(0, 5)和点B(3, 2)(1)求抛物线的解析式：(2) 现有一半径为I，圆心P在抛物线上运动的动圆，问O P在运动过程 中，是否存在O P与坐标轴相切的情况？若存在， 请求出圆心P的坐标： 若不存在，请说明理由；(3) 若O Q的半径为r，点Q在抛物线上、O Q与两坐轴都相切时求半径 r的值解析(1)由题意，得；b=-4解得c=5抛物线的解析式为 y =x2 -4x 5(2)当O P在运动过程中，存在O P与坐标轴相切的情况.设点P坐标为(xo, y0)，则则当O P

26、与y轴相切时，有|xo|=i, xo = ±1由 x0 =1，得 yo=12+4x1+5=10. R(_1,10),由 xo =1，得 yo =12 -4 1 5=2, P2(1,2).当O P与x轴相切时有|y0|=1抛物线开口向上，且顶点在x轴的上方. y0 =12由 yo =1，得 x0 -4x0 5 = 1，解得 yo=2, B(2, 1)综上所述，符合要求的圆心P有三个，其坐标分别为：R(1,10?2,(1,P2),(2,1)(3)设点Q坐标为(x, y),则当O Q与两条坐标轴都相切时，有y=-x5-/5 由 y=x 得 X2 - 4x 5 二 X,即 x2 -5x 5

27、= 0，解得 x 二由 y = -X，得 x2 -4x 5 = -X，即x2 -3x 5 = 0 ,此方程无解例9、已知：如图，抛物线y3 x- -x 3的图象与x轴分别交于A, B两点，与y轴交于C点,33经过原点O及点A C，点D是劣弧OA上一动点(D点与A, O不重合).(1)(2)(3)求抛物线的顶点 E的坐标；求LI M的面积；连CD交AO于点F，延长CD至G，使FG相切，并请说明理由.解("抛物线寺2x13GA 与 U M32(x+1 )(说明：用公式求 E点的坐标亦可).(2)连 AC ； 7_ M 过 A, O, C,Z AOC.AC为L O的直径.而 OA =3,

28、OC =丽(3)当点D运动到OA的中点时，直线 GA与LI M相切理由：在 Rt ACO 中，OA =3, 0Ch$3 V tan Z ACO = - = 73 . Z ACO =60 ：,Z CAO =30；，-点D是OA的中点GAD 二 DOZ ACG =Z DCO =30.OF =OCLtan30： =1 , Z CFO =60：在厶GAF 中,AF =2, FG =2Z AFG =Z CFO =60：.AGF为等边三角形.Z GAF =60；.Z CAG =Z GAF Z CAO =90；又AC为直径，.当D为OA的中点时，GA为L| M的切线解得a=2,抛物线的解析表达式为y*x2x

29、 .例10、如图，在平面直角坐标系中，已知点 B(_2、2,0) , A(m,0) (- . 2 m . 0)，以AB为边在x轴下 方作正方形 ABCD，点E是线段OD与正方形 ABCD的外接圆除点 D以外的另一个交点，连结 BE与 AD相交于点F .(1) 求证：BF = DO ;(2) 设直线丨是 BDO的边BO的垂直平分线，且与 BE相交于点G 若G是厶BDO的外心，试求经 过B, F, O三点的抛物线的解析表达式；(3) 在(2)的条件下，在抛物线上是否存在点P，使该点关于直线 BE的对称点在x轴上？若存在，求 出所有这样的点的坐标；若不存在，请说明理由.解(1)在 ABF 和 ADO

30、 中，四边形 ABCD 是正方形，.AB =AD,/ BAF 二/ DAO =90；. 又;/ABF =上 ADO , ABF ADO ,.BF 二 DO .(2) 由(1),有 ABF ADO，: AO = AF = m .二点 F (m, m).?G是 BDO的外心，.点G在DO的垂直平分线上.点B也在DO的垂直平分线上. DBO为等腰三角形，BO二BD =2AB .而 BO =2血怦=2Q m =2T2 + m ,.2.2 =、2 2、2 m , m =2 -2,2 .F 2 -2、2,2 -2 2 .设经过B, F, O三点的抛物线的解析表达式为 讨二ax2 bx c 0 .丁抛物线过

31、点 O 0,0 , c=0 . . y=ax2，bx.把点B-2、,2,0，点F 2-22,2-2、2的坐标代入中，得0 - -2.2 彳 a-2. 2 b,2-2、2 二 2 -2 2 2 a 2-2.2 b.-2、2a b 二 0,2-2 2 a b =1.(3)假定在抛物线上存在一点 P，使点P关于直线BE的对称点P在x轴上.7 BE是/ OBD的平分线，-x轴上的点P关于直线BE的对称点P必在直线BD上，即点P是抛物线与直线 BD的交点.设直线BD的解析表达式为 y二kx b，并设直线BD与y轴交于点Q，则由 BOQ 二 OQ =0B 二 Q(0, 2/2 ).把点B -2、2,0，点

32、Q 0,2,2代入kx b中，得0 =,2k b, k 一1,2 “2b.b - -.2.直线BD的解析表达式为y = -x -2、2 .设点P x0, y0，则有y0二-怡-2,2 .把代入，得 丄X： *2x0 - -x0 -2.2 ,2.* x：x2 1 x 2.2=0,即 x0 2 .2 1 x0 4、2 = 0 .X。2、一 2 x02 =0 .解得x0 =:2迈或x0 =2 .当 x0 = -2、. 2 时，y = - x0 '22 = 2,2 -2、2 - 0 ；当 x° = -2 时，y0 = -x()- 2、2 = 2 - 2 2 .在抛物线上存在点 R -

33、21.2,0 , F2 -2,2-22，它们关于直线 BE的对称点都在是等腰直角三角形.x轴上.例11、若抛物线y=x2-(m+3)x+m+1与x轴交于 A、B两点(A在B的左侧)，以OA、OB 为直径分别作。Oi >O O2(1) 试证：无论m取何实数，抛物线与x轴总有两个交点；(2) 当两圆相等时，求m的值；(3) 如果两圆外切，求m的范围；点B能否在原点的左侧？请说明理由；(5) 两圆内切时，求m的范围；(6) 若两圆内切时，当 M点的坐标为(1, 0)，试证：OA v OM v OB ；如果两圆外切，且。Oi>© O2的周长之比为2:1，求m的值；(8) 若两圆面

34、积之和为7 n，求m的值；4(9) 若两圆外切时，外公切线长为 3,求m之值。分析 若设 y=x2-(m+3)x+m+1 与 x 轴交于 A(xi，0)、B(X2,O)，显然 xivX2。(1)因为抛物线y=x2-(m+3)x+m+1与x轴交点的横坐标，即为所对应的一元二次方程 x2-(m+3)x+m+1=0的两根。所以，要证明抛物线与 x轴总有两个交点，就是要证明方程 x2-(m+3)x+m+1=0的根的判别式> 0 =-(m+3) 2-4(m+1) =m2+2m+52=(m+1) +4> 0显然，问题可证。由(1)可知，点A、点B是两个不同的点，若两圆相等，则 OA=OB，且点A，点B分 布在原点的两侧，又