排列组合基础知识

1、课题：复数考纲要求：()复数的概念：理解复数的基本概念；理解复数相等的充要条件；了解复数的代数表示法及其几何意义；（）)复数的四则运算：会进行复数的代数形式的四则运算；了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.教材复习虚数单位:它的平方等于，即; 实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.与1的关系: 就是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是.的周期性：, , , .复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部.全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示复数的代数形式: 复数通常用字母表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式.复数与实数、虚数、

2、纯虚数及的关系：对于复数，当且仅当时，复数是实数；当时，复数叫做虚数；当且时，叫做纯虚数；当且仅当时，就是实数复数集与其它数集之间的关系：两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.这就是说，如果，那么, 复平面、实轴、虚轴：复数与有序实数对是一一对应关系.建立一一对应的关系.点的横坐标是，纵坐标是，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为， 它所确定的复数是表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.复数复平面内的

3、点这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.复数与的和的定义：复数与的差的定义：复数的加法运算满足交换律:复数的加法运算满足结合律: 乘法运算规则：设，(、)是任意两个复数，那么它们的积其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.乘法运算律：(1) 复数除法定义：满足的复数(、)叫复数除以复数的商，记为：或者除法运算规则：设复数 (、)，除以 (，)，其商为（、)，即由复数相等定义可知解这个方程组，得于是有: 利用于是将的分母有理化得：原式.(点评：是常规方法，是利用初中我们学习的化简无理分

4、式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数与复数，相当于我们初中学习的的对偶式，它们之积为是有理数，而是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于的两个共轭复数也叫做共轭虚数.典例分析：考点一 复数的概念问题1 （四川）复数的虚部为 . （全国）设是实数，且是实数，则 （安徽文）设是虚数单位，若复数是纯虚数，则的值为 （湖南）复数（为虚数单位）在复平面上对应的点位于第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 （安徽）设是虚数单位，是复数的共轭复数，若，则 考点二 复数相等的应用问题2（湖北）设、

5、为实数，且，则 （江西文）若，则复数= （上海）若是关于的实系数方程的一个复数根，则 考点三 复数的运算问题3（全国大纲） （上海）计算： （为虚数单位）.（浙江）已知是虚数单位，则 （安徽）复数满足：；则 考点四 复数的模问题4（新课标文） （辽宁）复数的模为 走向高考：（福建）已知复数的共轭复数（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于 第一象限 第二象限 第三象限第四象限（全国）设复数满足，则（北京） （福建）复数等于 （安徽）若为实数，则等于 (天津)是虚数单位， （四川）复数的值是 （江西）化简的结果是 （湖南）复数等于 （湖北）复数，且，若是实数，则有序实数对可以是 （写出一个有序

6、实数对即可） (上海，)对于非零实数、，以下四个命题都成立： ； ； 若，则； 若，则 那么，对于非零复数、，仍然成立的命题的所有序号是 （浙江）已知复数，则复数 （上海）若复数同时满足，（为虚数单位），则 排列组合基础知识1、 两大原理1. 加法原理（1） 定义：做一件事，完成它有类方法，在第一类方法中有中不同的方法，第二类方法中有种不同的方法.第类方法中种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。（2） 本质：每一类方法均能独立完成该任务。（3） 特点：分成几类，就有几项相加。2. 乘法原理（1） 定义做一件事，完成它需要个步骤，做第一个步骤有中不同的方法，做第二个步骤有种不同的方法.做

7、第个步骤有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。（2） 本质：缺少任何一步均无法完成任务，每一步是不可缺少的环节。（3） 特点：分成几步，就有几项相乘。2、 排列组合1. 排列（1） 定义：从个不同的元素中，任取个（）元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同的元素中，选取个元素的一个排列，排列数记为，或记为。（2） 使用排列的三条件 个不同元素； 任取个； 讲究顺序。（3） 计算公式尤其：2. 组合（1） 定义：从个不同的元素中，任取个（）元素并为一组，叫做从个不同的元素中，选取个元素的一个组合，组合数记为。（2） 使用三条件 个不同元素； 任取个； 并为一组，不讲顺序。（3） 计算

8、公式尤其：例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数？A.226B.246C.264D.288解析：由于首位和末位有特殊要求，应优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置，末位有种选择，然后排首位，有种选择，左后排剩下的三个位置，有种选择，由分步计数原理得：=288例2.旅行社有豪华游5种和普通游4种，某单位欲从中选择4种，其中至少有豪华游和普通游各一种的选择有（）种。A.60B.100C.120D140解析：选择方法有如下3种：豪华游3种与普通游1种，选择的种数为；豪华游2种与普通游2种，选择的种数为；豪华游1种与普通游3种，选择的种数为；根据加法原理知：总共的选择有

9、120种。二项式定理典型例题-典型例题一例1 在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决解：二项式的展开式的通项公式为：前三项的得系数为：，由已知：，通项公式为为有理项，故是4的倍数，依次得到有理项为说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r的取值，得到了有理项类似地，的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r的取值，得到共有17页系数和为典型例题四例4 （1）求展开式中的系数；（2）求展开式中的常数项分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以

10、视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式解：（1）展开式中的可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：用展开式中的常数项乘以展开式中的项，可以得到；用展开式中的一次项乘以展开式中的项可得到；用中的乘以展开式中的可得到；用 中的项乘以展开式中的项可得到，合并同类项得项为：（2）由展开式的通项公式，可得展开式的常数项为说明：问题（2）中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决这时我们还可以通过合并项转化为二项式展开的问题来解决典型例题五例5 求展开式中的系数分析：不是二项式，我们可以通过或把它看成二项式展开解：方法一： 其中含的项为含项的系数为6方法二：其中含的项为项的系数为6方

11、法3：本题还可通过把看成6个相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项，项可由下列几种可能得到5个因式中取x，一个取1得到3个因式中取x，一个取，两个取1得到1个因式中取x，两个取，三个取1得到合并同类项为，项的系数为6典型例题六例6 求证：（1）；（2）分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质解：（1）左边 右边（2）左边 右边说明：本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质求解此外，有些组合数的式子

12、可以直接作为某个二项式的展开式，但这需要逆用二项式定理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：求的结果仔细观察可以发现该组合数的式与的展开式接近，但要注意： 从而可以得到：典型例题七例7 利用二项式定理证明：是64的倍数分析：64是8的平方，问题相当于证明是的倍数，为了使问题向二项式定理贴近，变形，将其展开后各项含有，与的倍数联系起来解：是64的倍数说明：利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题，而且可以用此方程求一些复杂的指数式除以一个数的余数典型例题八例8展开分析1：用二项式定理展开式解法1：分析2：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开解法2：说明：记准、记熟二项式的展开式

13、，是解答好与二项式定理有关问题的前提条件对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便典型例题九例9若将展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（）A11B33C55D66分析：看作二项式展开解：我们把看成，按二项式展开，共有“项”，即这时，由于“和”中各项的指数各不相同，因此再将各个二项式展开，不同的乘积（）展开后，都不会出现同类项下面，再分别考虑每一个乘积（）其中每一个乘积展开后的项数由决定，而且各项中和的指数都不相同，也不会出现同类项故原式展开后的总项数为，应选D典型例题十例10若的展开式的常数项为，求分析：题中，当时，把三项式转化为；当时，同理然后写出通项，令含的幂指数为零，进而解出解：当

14、时，其通项为，令，得，展开式的常数项为；当时，同理可得，展开式的常数项为无论哪一种情况，常数项均为令，以，逐个代入，得典型例题十一例11的展开式的第3项小于第4项，则的取值范围是_分析：首先运用通项公式写出展开式的第3项和第4项，再根据题设列出不等式即可解：使有意义，必须；依题意，有，即（）解得的取值范围是应填：典型例题十二例12已知的展开式中有连续三项的系数之比为，这三项是第几项？若展开式的倒数第二项为，求的值解：设连续三项是第、项（且），则有，即，所求连续三项为第、三项又由已知，即两边取以为底的对数，或说明：当题目中已知二项展开式的某些项或某几项之间的关系时，常利用二项式通项，根据已知条件

15、列出某些等式或不等式进行求解典型例题十三例13的展开式中第项与第项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项分析：根据已知条件可求出，再根据的奇偶性；确定二项式系数最大的项解：，依题意有的展开式中，二项式系数最大的项为设第项系数最大，则有或（）系娄最大的项为：，说明：(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，为奇数时中间两项的二项式系数最大，为偶数时，中间一项的二项式系数最大(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得典型例题十四例14设()，若其展开式中关于的一次项的系数和为，问为何值时，含项

16、的系数取最小值？并求这个最小值分析：根据已知条件得到的系数关于的二次表达式，然后利用二次函数性质探讨最小值问题解：，或，或时，项系数最小，最小值为说明：二次函数的对称轴方程为，即，由于、距等距离，且对，、距最近，所以的最小值在或处取得典型例题十五例15若，求(1) ；(2) ；(3) 解：(1)令，则，令，则(2)令，则由得：(3)由得：说明：（1）本解法根据问题恒等式特点来用“特殊值”法这是一种重要的方法，它适用于恒等式(2)一般地，对于多项式，的各项的系数和为：的奇数项的系数和为的偶数项的系数和为典型例题十六例16填空：(1) 除以的余数_；(2) 除以的余数是_.分析(1)：将分解成含的

17、因数，然后用二项式定理展开，不含的项就是余数解：又余数不能为负数，需转化为正数除以的余数为应填：分析(2)：将写成，然后利用二项式定理展开解：容易看出该式只有不能被整除，因此除以的余数，即除以的余数，故余数为应填：典型例题十七例17求证：对于，证明：展开式的通项展开式的通项由二项式展开式的通项明显看出，所以说明：本题的两个二项式中的两项为正项，且有一项相同，证明时，根据题设特点，采用比较通项大小的方法完成本题证明典型例题十八例18在的展开式中的系数为（）A160B240C360D800分析：本题考查二项式定理的通项公式的运用应想办法将三项式转化为二项式求解解法1：由，得再一次使用通项公式得，这

18、里，令，即所以，由此得到的系数为解法2：由，知的展开式中的系数为，常数项为，的展开式中的系数为，常数项为因此原式中的系数为解法3：将看作个三项式相乘，展开式中的系数就是从其中一个三项式中取的系数，从另外个三项式中取常数项相乘所得的积，即应选B典型例题十九例19已知的展开式中的系数为，常数的值为_分析：利用二项式的通项公式解：在的展开式中，通项公式为根据题设，所以代入通项公式，得根据题意，所以应填：典型例题二十例20(1)求证：(2)若，求的值分析：(1)注意观察的系数、指数特征，即可通过赋值法得到证明(2)注意到，再用赋值法求之解：(1)在公式中令，即有等式得证(2)在展开式中，令，得；令，得

19、原式说明：注意“赋值法”在证明或求值中的应用赋值法的模式是，在某二项展开式，如或中，对任意的（）该式恒成立，那么对中的特殊值，该工也一定成立特殊值如何选取，没有一成不变的规律，需视具体情况而定，其灵活性较强一般取较多一般地，多项式的各项系数和为，奇数项系数和为，偶次项系数和为二项式系数的性质及的证明就是赋值法应用的范例典型例题二十一例21若，求证明：能被整除分析：考虑先将拆成与的倍数有关的和式，再用二项式定理展开解：，均为自然数，上式各项均为的整数倍原式能被整除说明：用二项式定理证明整除问题，大体上就是这一模式，先将某项凑成与除数有关的和式，再展开证之该类题也可用数学归纳法证明，但不如用二项式

20、定理证明简捷典型例题二十二例22已知的展开式各项系数和比它的二项式系数和大(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项分析：先由条件列方程求出(1)需考虑二项式系数的性质；(2)需列不等式确定解：令得展开式的各项系数之和为，而展开式的二项式系数的和为，有(1)，故展开式共有，其中二项式系数最大的项为第三、第四两项，(2)设展开式中第项的系数最大，故有即解得，即展开式中第项的系数最大说明：展开式中二项式系数最大的项与系数最大的项是两个不同的概念，因此其求法亦不同前者用二项式系数的性质直接得出，后者要列不等式组；解不等式组时可能会求出几个，这时还必须算出相应项的系数后再比较大小

21、典型例题二十三例23求证：(1) ；(2) (，)分析：(1)注意到两列二项式两乘后系数的特征，可构造一个函数；也可用构造一个组合问题的两种不同解法找到思路(2)同上构造函数，赋值证明：(1)(法1)，此式左右两边展开式中的系数必相等左边的系数是，右边的系数是，等式成立(法2)设想有下面一个问题：要从个不同元素中取出个元素，共有多少种取法？该问题可有两种解法一种解法是明显的，即直接由组合数公式可得出结论：有种不同取法第二种解法，可将个元素分成两组，第一组有个元素，第二组有个元素，则从个元素中取出个元素，可看成由这两组元素中分别取出的元素组成，取法可分成类：从第一组取个，第二组不取，有种取法；从

22、第一组取个，从第二组取个，有种取法，第一组不取，从第二组取个因此取法总数是而该问题的这两种解法答案应是一致的，故有(2)为偶数，；两式相加得，说明：构造函数赋值法，构造问题双解法，拆项法、倒序相加法都是证明一些组合数恒等式（或求和）的常用方法极坐标与参数方程（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数（二）常见曲线的参数方程如下：1过定点（x0，y0），倾角为的直线：（t为参数）其中参数t是

23、以定点P（x0，y0）为起点，对应于t点M（x，y）为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有向距离根据t的几何意义，有以下结论设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，则线段AB的中点所对应的参数值等于2中心在（x0，y0），半径等于r的圆：（为参数）3中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的椭圆：（为参数）（或）中心在点（x0,y0）焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程4中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的双曲线：（为参数）（或）5顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线：（t为参数，p0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P（x0，y0），倾斜角为的直线的参数方程

24、是（t为参数）（三）极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M，用表示线段OM的长度，表示从Ox到OM的角，叫做点M的极径，叫做点M的极角，有序数对(, )就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。2、极坐标有四个要素：极点；极轴；长度单位；角度单位及它的方向极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应惟一点P(，)，但平面内任一个点P的极坐标不惟一一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P(，)（极点除外）的全部坐标为(,)或（，）

25、，(Z)极点的极径为0，而极角任意取若对、的取值范围加以限制则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定>0，0或<0，等极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的即一个点的极坐标是不惟一的 3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为： 4、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为： 5、极坐标与直角坐标互化公式： 极坐标与参数方程测试题一、选择题1.直线的参数方程是（ ）A、（t为参数） B、（t为参数） C、 （t为参数） D、（t为参数）2.已知实数x,y满足，则（ ）A0 B1 C-2 D83.已知，

26、下列所给出的不能表示点的坐标的是( )A、 B、 C、 D、4.极坐标系中，下列各点与点P（，）（k，kZ）关于极轴所在直线对称的是（ ）A（-，）B（-，-）C（，2-） D（，2+）5.点，则它的极坐标是( )A、 B、 C、 D、6.直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B分别在曲线 （为参数）和曲线上，则的最小值为( ). A.1 B.2 C.3 D.47.参数方程为表示的曲线是（ ）A一条直线 B两条直线 C一条射线 D两条射线8.（ ）A.-6 B. C.6 D.9.极坐标方程化为直角坐标方程是( ) A B. C. D.10.柱坐标（2，1）对应

27、的点的直角坐标是（ ）.A.() B.() C.() D.()11.已知二面角的平面角为，P为空间一点，作PA，PB，A，B为垂足，且，设点A、B到二面角的棱的距离为别为则当变化时，点的轨迹是下列图形中的（A）（B）（C）（D）12.曲线与曲线的位置关系是（ ）。A、 相交过圆心 B、相交 C、相切 D、相离二、填空题13.在极坐标 中，曲线与的交点的极坐标为_.14.在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值是 .15.(坐标系与参数方程选讲选做题) 圆C：(为参数)的圆心到直线l：(t为参数)的距离为 .16. A：（极坐标参数方程选做题）以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，已知曲

28、线、的极坐标方程分别为，曲线的参数方程为（为参数，且），则曲线、所围成的封闭图形的面积是 .三、解答题（题型注释）17.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为 （I）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴 正 半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线的位置关系； （II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线的距离的最小值18.在平面直角坐标系中，椭圆方程为为参数）（）求过椭圆的右焦点，且与直线为参数）平行的直线的普通方程。（）求椭圆的内接矩形面积的最大值。19.坐

29、标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴非负半轴重合直线的参数方程为：（为参数），曲线的极坐标方程为：（1）写出曲线的直角坐标方程，并指明是什么曲线；（2）设直线与曲线相交于两点，求的值20.在直角坐标系xoy中，直线的参数方程是，在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的极坐标方程是 （I）求圆C的直角坐标方程； （II）求圆心C到直线的距离。21.（本小题满分10分）【选修44：坐标系与参数方程】在直角坐标平面内，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知点的极坐标为，曲线的参数方程为（为参数）（1）求直

30、线的直角坐标方程；（2）求点到曲线上的点的距离的最小值22.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知点的极坐标为，直线过点，且倾斜角为，方程所对应的切线经过伸缩变换后的图形为曲线（）求直线的参数方程和曲线的直角坐标系方程（）直线与曲线相交于两点，求的值。23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点,轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线，已知过点的直线的参数方程为：，直线与曲线分别交于（）写出曲线和直线的普通方程； （）若成等比数列,求的值24.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直接坐标系xOy中，直线的方程为，曲线C的参数方程为 （I）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点