线性代数课件：4-1 线性空间

1、线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念一个抽象的概念线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际问题问题 线性空间一、数域CRQNZ设P是包含0和1的数集，若P中数的和、差、积、商（0不作除数）均在P内，则称P是一个数域。复数集 ，实数集 和有理数集都是数域。但自然数集和整数集 都不是数域。 数乘运算：若对于任一数数乘运算：若对于

2、任一数 与任一元素与任一元素 ，总有唯一的一个元素总有唯一的一个元素 与之对应，称为与之对应，称为 与与 的积，记作的积，记作R V V 定义定义 设设 是一个非空集合，是一个非空集合， 为实数域为实数域加法运算：加法运算： 如果对于任意两个元素如果对于任意两个元素 ，总有唯一的一个元素总有唯一的一个元素 与之对应，称为与之对应，称为 与与 的和，记作的和，记作V ,V VR二、线性空间的定义及例子RV ,;,设设;0, 0)3( 都有都有对任何对任何中存在零元素中存在零元素在在VV;)1( ;)2( 如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那么么 就

3、称为数域就称为数域 上的线性空间上的线性空间VR; 0 ,)4( 使使的的负负元元素素都都有有对对任任何何VV;1)5( ;)6( .)8( ;)7( 2 线性空间中的元素一般也称为向量线性空间中的元素一般也称为向量3 判别线性空间的方法：一个非空集合，对于判别线性空间的方法：一个非空集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间 说明说明1 凡满足以上八条规律的加法及数乘运算，凡满足以上八条规律的加法及数乘运算，称为称为线性运算线性运算例例 实数域上的全体实

4、数域上的全体 矩阵，对矩阵的加法矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 nm nmR ,nmnmnmCBA ,nmnmDA .是是一一个个线线性性空空间间nmR 而且矩阵的加法和数乘满足这八条运算规律101021 , ,|,., nnnnnxnpaa aa xa xaRP xP x+=L次数不超过 的多项式的全体 记作即对于通常的多项式加法 数乘多项式的乘法构成线性空间例例)()(0101bxbxbaxaxannnn )()()(0011baxbaxbannn xPn )(01axaxann )()()(01axaxann xPn .对运

5、算封闭对运算封闭xPn1010 |, ,0,. nnnnnnpaa xaaaaaxRQ x=+L次多项式的全体且对于通常的多项式加法和乘数运算不构成向量空间例例p0000 xxnxQn .对运算不封闭对运算不封闭xQn ,?RnAXBR=实数域 上的 元非齐次线性方程组的所有解向量（假设有解）对于通常的向量加法和数量乘法是否构成 上的一个线性空间. 上的一个线性空间上的一个线性空间不能构成不能构成R答答BXABXABAXnXX 2121 , , 则则的解向量的解向量元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组都是都是设设事实上事实上BBBBXAXAXXA 2 )( 2121但但. ,21不封闭不封闭向

6、量的集合对加法运算向量的集合对加法运算也就是说所有解也就是说所有解的解向量的解向量不是不是即即BAXXX . 空间空间因此不能构成一个线性因此不能构成一个线性1 1零元素是唯一的零元素是唯一的证明证明假设假设 是线性空间是线性空间V中的两个零元中的两个零元素，素，210 ,0.0,021 由于由于,0 ,021V 所以所以.000 ,000121212 则对任何则对任何 ，V 有有.000000212211 三、线性空间的性质2 2负元素是唯一的负元素是唯一的证明证明 假设假设 有两个负元素有两个负元素 与与 ， 那么那么. 0, 0 则有则有0 0. 向量向量 的负元素记为的负元素记为 .

7、. 00;1; 00. 3 证明证明000()(0)()(01)()()0,0()aaaaaaaaaaaa=+=+ -=+ -=+-+ -=Q. 00 , 0011111 .1 10 0 . 0 4如果如果 ，则则 或或 . 0 0 0 证明证明假设假设,0 那么那么()110lal aall=. 0 四、线性空间的子空间定义定义 设设 是一个线性空间，是一个线性空间， 是是 的一个非空子的一个非空子集，如果集，如果 对于对于 中所定义的加法和数乘两种运算中所定义的加法和数乘两种运算也构成一个线性空间，则称也构成一个线性空间，则称 为为 的子空间的子空间VLVVVLL定理线性空间定理线性空间

8、的非空子集的非空子集 构成子空间的充分构成子空间的充分必要条件是：必要条件是： 对于对于 中的线性运算封闭中的线性运算封闭VLVL解解(1)不构成子空间不构成子空间. 因为对因为对1000001WBA ?32为为什什么么空空间间的的下下列列子子集集是是否否构构成成子子 R;,001)1(1 RdcbdcbW., 0000)2(2 RcbacbacbaW例例 有有,0000021WBA 线性子空间的一些例子即即 对矩阵加法不封闭，不构成子空间对矩阵加法不封闭，不构成子空间.1W,000000)2(2W 因因.2非空非空即即W对任意对任意2222111000,000WcbaBcbaA 由于由于, 0111 cba, 0222 cba于是于是 212121000ccbbaaBA满足满足 , 0212121 ccbbaa, 2WBA 即即有有对任意对任意Rk 111000kckbkakA且且, 0111 kckbka,2WkA 即即.322的子空间的子空间是是故故 RW线性空间的元素统称为线性空间的元素统称为“向量向量”，但它可以是，但它可以是通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等. .线性空间线性空间 是一个集合是一个集合对所定