06第六章-立体的投影解析

1、1 1 立体的投影立体的投影 任何立体都可以看作是由任何立体都可以看作是由平面、曲面平面、曲面所围成的。按其表所围成的。按其表面的几何性质不同，立体可分面的几何性质不同，立体可分为为平面立体平面立体和和曲面立体曲面立体两类。两类。第一页，编辑于星期一：七点 五十三分。 常常见见的的基基本本立立体体平平面面立立体体曲曲面面立立体体棱柱棱柱棱锥棱锥圆柱圆柱圆锥圆锥圆球圆球圆环圆环第二页，编辑于星期一：七点 五十三分。平面立体侧表面的交线称为平面立体侧表面的交线称为棱线棱线若平面立体所有棱线互相平行，称为若平面立体所有棱线互相平行，称为棱柱棱柱。若平面立体所有棱线交于一点，称为若平面立体所有棱线交于

2、一点，称为棱锥棱锥。由若干平面所围成的几何体。如：由若干平面所围成的几何体。如：棱柱棱柱棱锥棱锥平面立体：平面立体：第三页，编辑于星期一：七点 五十三分。1.1 1.1 平面立体的投影平面立体的投影 平面立体的平面立体的投影投影是平面立体是平面立体各各表面投影表面投影的的集合集合-由直线段由直线段组成的封闭图形。组成的封闭图形。第四页，编辑于星期一：七点 五十三分。例例1 1已知斜三棱柱，试完成其已知斜三棱柱，试完成其、投影。投影。 1.1.1 1.1.1 棱柱的投影棱柱的投影第五页，编辑于星期一：七点 五十三分。平面立体投影的平面立体投影的可见性判别可见性判别规律规律： 1) 1) 在平面立

3、体的每一投影中，其在平面立体的每一投影中，其外形轮廓线都是可外形轮廓线都是可见的。见的。 2) 2) 在平面立体的每一投影中，外形轮廓线内的在平面立体的每一投影中，外形轮廓线内的相交直线，可利用相交直线，可利用重影点重影点来来判别可见性。判别可见性。 3) 3) 在平面立体的每一投影中，若外形轮廓线内在平面立体的每一投影中，若外形轮廓线内的多条棱线交于一点，且的多条棱线交于一点，且交点可见交点可见，则这些，则这些棱线均可棱线均可见见，否则均不可见否则均不可见。 4) 在平面立体的每一投影中，若外形轮廓线内的在平面立体的每一投影中，若外形轮廓线内的两两可见表面相交，其交线为可见。可见表面相交，其

4、交线为可见。两不可见表面的交线两不可见表面的交线为不可见。为不可见。 第六页，编辑于星期一：七点 五十三分。例已知四棱柱，试完成其例已知四棱柱，试完成其、投影。投影。 第七页，编辑于星期一：七点 五十三分。例已知斜三棱锥，试完成其例已知斜三棱锥，试完成其、投影。投影。 1.1.2 1.1.2 棱锥的投影棱锥的投影棱锥的投影棱锥的投影是棱锥是棱锥各顶点同面投影连线的集合各顶点同面投影连线的集合。 第八页，编辑于星期一：七点 五十三分。例已知正三棱锥，试完成其例已知正三棱锥，试完成其、投影投影 。第九页，编辑于星期一：七点 五十三分。例试求三棱例试求三棱锥锥所属点所属点（已知）的水已知）的水平投影

5、平投影 。1.2 立体表面上的点、线立体表面上的点、线 第十页，编辑于星期一：七点 五十三分。已知：立体表面上的点已知：立体表面上的点A A（a a已知）、已知）、B B（b b已知）已知）求：其余两投影。求：其余两投影。 第十一页，编辑于星期一：七点 五十三分。例已知位于三棱锥表面上的线的水平投影为直线例已知位于三棱锥表面上的线的水平投影为直线段段，试求其正面投影。，试求其正面投影。 第十二页，编辑于星期一：七点 五十三分。2 2 平面与立体相交平面与立体相交截交截交: :平面与立体相交，截去立体的一部分。平面与立体相交，截去立体的一部分。截交线截交线截平面与立体表面的交线。截平面与立体表面

6、的交线。第十三页，编辑于星期一：七点 五十三分。1）截交线是截平面与立体表面的）截交线是截平面与立体表面的共有线共有线。2）截交线的形状取决于立体表面的形状及）截交线的形状取决于立体表面的形状及截平面与回转体轴线的相对位置截平面与回转体轴线的相对位置。3） 截交线都是截交线都是封闭的平面图形封闭的平面图形。截交线的截交线的基本性质：基本性质：4）求截交线的）求截交线的实质实质是是求求它们的它们的共有点共有点。 第十四页，编辑于星期一：七点 五十三分。截交线的每条边是截交线的每条边是截平面与棱面的交线截平面与棱面的交线。2.1 2.1 平面与平面立体相交平面与平面立体相交 求解求解平面与平面立体

7、的平面与平面立体的截交线截交线问题，问题，可可归结为：归结为：求平面与平面立体各表面的交线求平面与平面立体各表面的交线（面面相交）面面相交）的集合，的集合，或或归结为求平面与平面归结为求平面与平面立体各棱线的交点立体各棱线的交点（线面相交）（线面相交）的集合。的集合。求求截交线的实质是求两平面的交线。截交线的实质是求两平面的交线。第十五页，编辑于星期一：七点 五十三分。 求截交线的步骤：求截交线的步骤： 截平面截平面与体与体的相对位置的相对位置 截平面截平面与投影面与投影面的相对位置的相对位置a)a)空间及投影分析空间及投影分析 b) b)画画出截交线的投影出截交线的投影分别求出分别求出截平面

8、截平面与与棱面棱面的交线，并的交线，并连接连接成多边形。成多边形。 求截交线的两种方法：求截交线的两种方法：求各求各棱线棱线与与截平面截平面的的交点交点线面交点法线面交点法。求各求各棱面棱面与与截平面截平面的的交线交线面面交线法面面交线法。第十六页，编辑于星期一：七点 五十三分。例斜三棱柱与例斜三棱柱与平面相交，平面相交， 求出截交线的投影。求出截交线的投影。 第十七页，编辑于星期一：七点 五十三分。例试完成五棱柱被两平面例试完成五棱柱被两平面、截切后的投影。截切后的投影。 第十八页，编辑于星期一：七点 五十三分。第十九页，编辑于星期一：七点 五十三分。例求正垂面例求正垂面与三棱锥的截交线，与

9、三棱锥的截交线，并求出截交线的实形并求出截交线的实形。 第二十页，编辑于星期一：七点 五十三分。例试完成正四棱锥被两平面截切后的投影。例试完成正四棱锥被两平面截切后的投影。 第二十一页，编辑于星期一：七点 五十三分。回转体截切的基本形式回转体截切的基本形式: : 平面与回转体表面相交，其平面与回转体表面相交，其截交线截交线是是封封闭的平面图形闭的平面图形。 截交线是由截交线是由曲线围成曲线围成，或者由，或者由曲线与直曲线与直线围成线围成，或者由，或者由直线段围成直线段围成。2.2 2.2 平面与回转体相交平面与回转体相交第二十二页，编辑于星期一：七点 五十三分。 其其截交线截交线是平面与回转立

10、体是平面与回转立体表表面的共有点集合。面的共有点集合。 求求曲面立体截交线的曲面立体截交线的方法：方法：与与求两平面交线的方法相似，常可利求两平面交线的方法相似，常可利用用积聚性积聚性或或辅助面辅助面求解，也可应用求解，也可应用投影变换投影变换的方法求解。的方法求解。 其其实质实质是是求其公共点求其公共点。第二十三页，编辑于星期一：七点 五十三分。求求平面与回转体平面与回转体截交线截交线的一般的一般步骤步骤： 空间及投影空间及投影分析分析 分析回转体的分析回转体的形状形状以及截平面以及截平面与回转体轴线与回转体轴线的的相对位置相对位置，以便，以便确定截交线的形状确定截交线的形状。 分析截平面分

11、析截平面与投影面与投影面的的相对位置相对位置，明确明确截交线截交线的的投影特性投影特性，如积聚性、相仿性等。，如积聚性、相仿性等。找出找出截交线截交线的的已知投影，已知投影，预见预见未知投影。未知投影。 画出画出截交线的投影截交线的投影当截交线的投影为非圆曲线时，其作图当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤步骤为：为：* * 光滑连接光滑连接各点，并判断截交线的各点，并判断截交线的可见性可见性。 * * 先找先找特殊点特殊点，补充，补充中间点中间点。第二十四页，编辑于星期一：七点 五十三分。2.2.1 2.2.1 利用利用积聚性积聚性求截交线求截交线 第二十五页，编辑于星期一：七点 五十三分。

12、例试求平面例试求平面与圆柱的截交线。与圆柱的截交线。第二十六页，编辑于星期一：七点 五十三分。 截平面与圆柱轴线的倾角为截平面与圆柱轴线的倾角为，其交线的，其交线的W投影为投影为椭圆椭圆，椭圆的，椭圆的长、短轴长、短轴随随的变化而变化的变化而变化。 第二十七页，编辑于星期一：七点 五十三分。例圆柱上部有一切口，若已知其例圆柱上部有一切口，若已知其投影投影，试求，试求、投影投影 。第二十八页，编辑于星期一：七点 五十三分。 试求试求、投影投影 。 若已知其若已知其投影投影 ，例圆柱上部有一切口，例圆柱上部有一切口，第二十九页，编辑于星期一：七点 五十三分。 例例4 : 4 : 空心空心圆柱上部开

13、有长圆柱上部开有长方槽，若已知其方槽，若已知其、投影，试投影，试求求投影。投影。 第三十页，编辑于星期一：七点 五十三分。2.2.2 用辅助平面法求截交线用辅助平面法求截交线 辅助平面法求截交线的实质是求辅助平面法求截交线的实质是求三面共点。三面共点。 选择辅助平面的选择辅助平面的原则：原则： 根据回转体的形状和相对于投影面根据回转体的形状和相对于投影面的位置，选取的位置，选取合适的合适的辅助面，使其与回转辅助面，使其与回转体表面体表面交线的投影交线的投影为简单易画的为简单易画的直线或圆直线或圆，使作图简便、准确，使作图简便、准确 。第三十一页，编辑于星期一：七点 五十三分。平面与圆锥体表面相

14、交，可以得到五种截交线平面与圆锥体表面相交，可以得到五种截交线 第三十二页，编辑于星期一：七点 五十三分。 平面与圆球相交，其截交线总是一个平面与圆球相交，其截交线总是一个圆圆。由由于于截平面相对于投影面的位置截平面相对于投影面的位置不同，截交线的投影可不同，截交线的投影可能是能是圆圆、椭圆椭圆或或直线直线。 第三十三页，编辑于星期一：七点 五十三分。 1. 1.分析分析: : 圆锥被圆锥被正垂正垂面面截切，截切，截交线为椭圆截交线为椭圆，其水平和侧面两投，其水平和侧面两投影均为椭圆；影均为椭圆；解题步骤解题步骤 2. 2.求出截交线上的求出截交线上的各各特殊点特殊点、 、 、 VIVI； 3

15、. 3.求出求出一般点一般点VIIVII、VIIIVIII； 4. 4.光滑光滑且且顺次连接顺次连接各各点，作出截交线，并且点，作出截交线，并且判判别可见性；别可见性；5.5.补全轮廓线补全轮廓线。22115(6)651563(4)347(8)7828743例求平面例求平面P 与圆锥的截交线，与圆锥的截交线，并画出斜截面的实形。并画出斜截面的实形。 PVQV完成完成第三十四页，编辑于星期一：七点 五十三分。画画出斜截面的出斜截面的实形实形。 第三十五页，编辑于星期一：七点 五十三分。例求截平面例求截平面和圆锥的截交线。和圆锥的截交线。 第三十六页，编辑于星期一：七点 五十三分。例求平面例求平面

16、与圆球的截交线。与圆球的截交线。 第三十七页，编辑于星期一：七点 五十三分。 水平面截切水平面截切圆球，截交圆球，截交线在线在俯视图俯视图上为上为部分圆弧部分圆弧，在在左视图左视图上上积聚为直线积聚为直线 两个两个侧平面截切侧平面截切圆球，截圆球，截交线在交线在左视图左视图上为上为部分圆弧部分圆弧，在在俯视图俯视图上上积聚为直线积聚为直线例求半圆球切槽后的例求半圆球切槽后的、投影投影 第三十八页，编辑于星期一：七点 五十三分。例例7求连杆头部的截交线。求连杆头部的截交线。 第三十九页，编辑于星期一：七点 五十三分。 直线与立体相交直线与立体相交 例求直线例求直线与三棱柱的贯穿点。与三棱柱的贯穿

17、点。 3.1 3.1 利用利用积聚性积聚性求贯穿点求贯穿点 判断可见性判断可见性第四十页，编辑于星期一：七点 五十三分。例例2求铅垂线求铅垂线AB与圆锥的贯穿点与圆锥的贯穿点 。判断可见性判断可见性第四十一页，编辑于星期一：七点 五十三分。3.2 利用利用辅助平面法辅助平面法求贯穿点求贯穿点 例例1直线直线AB与三棱锥相交，与三棱锥相交，试求其贯穿点。试求其贯穿点。 判断可见性判断可见性第四十二页，编辑于星期一：七点 五十三分。例例2直线直线AB与圆球相交，试求贯穿点。与圆球相交，试求贯穿点。 判断可见性判断可见性第四十三页，编辑于星期一：七点 五十三分。例例3直线直线AB与圆锥相交，求其贯穿

18、点。与圆锥相交，求其贯穿点。 判断可见性判断可见性第四十四页，编辑于星期一：七点 五十三分。例例4直线直线AB与斜椭圆柱相交，求其贯穿点。与斜椭圆柱相交，求其贯穿点。 判断可见性判断可见性第四十五页，编辑于星期一：七点 五十三分。X X1 1O O1 13.3 用换面法求贯穿点用换面法求贯穿点 例求直线例求直线AB和和圆球的贯穿点。圆球的贯穿点。 判断可见性判断可见性第四十六页，编辑于星期一：七点 五十三分。4 立体与立体相交立体与立体相交 两个立体相交产生的两个立体相交产生的表表面交线面交线，称为，称为相贯线相贯线。单击立体模型区可观看三维动画 第四十七页，编辑于星期一：七点 五十三分。两立

19、体相交可两立体相交可分为分为： 1) 1) 两平面立体两平面立体相交：相交：可归结为可归结为求求两平面的两平面的交线交线问问题，题，或或求求棱线与平面的棱线与平面的交点交点问题。问题。2) 2) 平面与曲面立体平面与曲面立体相交：相交：可归结为求平面与曲可归结为求平面与曲面立体面立体截交线截交线问题。问题。3) 3) 曲面立体曲面立体相贯线：相贯线：本节主要介绍此问题。本节主要介绍此问题。第四十八页，编辑于星期一：七点 五十三分。相贯线的相贯线的主要性质：主要性质： 其其作图实质作图实质是是找找出相贯的两立出相贯的两立 体表体表面的若干面的若干共有点共有点的投影。的投影。1) 1) 共有性共有

20、性2) 2) 分界性分界性相贯线两立体表面的相贯线两立体表面的分界线；分界线；相贯线是两立体表面的相贯线是两立体表面的共有线；共有线；3) 3) 封闭性封闭性 相贯线相贯线一般一般是是封闭的空间曲线，封闭的空间曲线，特特殊情况下为平面曲线或直线。殊情况下为平面曲线或直线。第四十九页，编辑于星期一：七点 五十三分。4.1 利用积聚性求相贯线 例试求两圆柱的相贯线例试求两圆柱的相贯线 。分析分析: :相贯线的水相贯线的水平投影和侧面投平投影和侧面投影已知，可利用影已知，可利用表面取点法求共表面取点法求共有点。有点。第五十页，编辑于星期一：七点 五十三分。解题步骤解题步骤1) 1) 求出相贯线求出相

21、贯线上的上的特殊点特殊点A A、B B、 C C 、 D D ；abcd1(2)acd b1212bacd例试求两圆柱的相贯线例试求两圆柱的相贯线 2) 2) 求出若干个求出若干个一般一般点点、 等等；3)3)光滑且顺次地光滑且顺次地连连接各点接各点，作出相贯，作出相贯线，并且线，并且判别可见判别可见性；性；4)4)整理轮廓线。整理轮廓线。完成完成第五十一页，编辑于星期一：七点 五十三分。曲面立体相贯的曲面立体相贯的三种基本形式：三种基本形式：2.2.外表面外表面与与内表面内表面相交相交1.1.两外表面两外表面相交相交3.3.两内表面两内表面相交相交单击彩色立体模型区可观看三维动画 第五十二页

22、，编辑于星期一：七点 五十三分。 以下分别是圆柱以下分别是圆柱外表面外表面与圆柱与圆柱内表面内表面相贯、相贯、圆柱圆柱内表面内表面与圆柱与圆柱内表面内表面相贯的情况。相贯的情况。第五十三页，编辑于星期一：七点 五十三分。例例2试求两圆柱的相贯线。试求两圆柱的相贯线。 第五十四页，编辑于星期一：七点 五十三分。辅助平面法：辅助平面法： 根据根据三面共点三面共点的原理，利用辅助平面的原理，利用辅助平面求出求出两回转体两回转体表面上表面上的的若干共有点若干共有点，从而画出相，从而画出相贯线的投影。贯线的投影。作图方法：作图方法： 假想假想用辅助平面截切两回转体用辅助平面截切两回转体，分别得出分别得出

23、两回转体表面的两回转体表面的截交线截交线。由于。由于截交线的交点截交线的交点既既在辅助平面内，又在两回转体表面上，因而是在辅助平面内，又在两回转体表面上，因而是相贯线上的点相贯线上的点。4.2 4.2 用用辅助平面法辅助平面法求相贯线求相贯线第五十五页，编辑于星期一：七点 五十三分。辅助平面的辅助平面的选择原则：选择原则： 使使辅助平面与两回转体辅助平面与两回转体表面表面截交线的投影简单截交线的投影简单易画易画，例如，例如直线直线或或圆圆。 一般选择一般选择投影面平行面：投影面平行面：第五十六页，编辑于星期一：七点 五十三分。例求圆柱与圆锥的相贯线例求圆柱与圆锥的相贯线 。分析分析: : 相贯

24、线的相贯线的水平水平投影已知，投影已知，可利用可利用辅助平面法辅助平面法求共求共有点；有点；第五十七页，编辑于星期一：七点 五十三分。( )( )解题步骤：解题步骤：1) 1) 求出相贯线上的求出相贯线上的特特殊点殊点、 、 、 V IV I 、 V I IV I I 、VIII(VIII(过程略过程略) )例求圆柱与圆锥的相贯线例求圆柱与圆锥的相贯线 。2)2)求求出若干个出若干个一般点一般点A A、B B ；3)3)光滑顺次连接光滑顺次连接各点，各点，作出相贯线，并且作出相贯线，并且判别判别可见性可见性；4) 4) 补全轮廓线补全轮廓线。第五十八页，编辑于星期一：七点 五十三分。 相贯线。

25、相贯线。 例例2 2：求斜圆柱与水平圆柱的求斜圆柱与水平圆柱的辅助平面的辅助平面的选择原则：选择原则： 使使辅助平面辅助平面与与两回转体两回转体表面表面截交截交线的投影线的投影简单易画简单易画，例如例如直线直线或或圆圆。 第五十九页，编辑于星期一：七点 五十三分。例例3试求圆柱与球的相贯线。试求圆柱与球的相贯线。 第六十页，编辑于星期一：七点 五十三分。4. 相贯线的特殊情况 1 1蒙日定理：蒙日定理：若两个二次曲面共切于第三个二次曲面若两个二次曲面共切于第三个二次曲面，则两曲面的相贯线为平面曲线，则两曲面的相贯线为平面曲线（椭圆）（椭圆）。 单击立体模型区可观看三维动画 第六十一页，编辑于星期一：七点 五十三分。相贯线的特殊情况（二） 单