维修策略研究可编辑

1、维修策略研究维修的方式：1. 事后维修：指部件故障后，进行维修或更换。2. 预防性维修：指在故障发生前，进行检测、修理或更换。维修性模型研究受到很多因素的影响，下图汇总了影响优化维修策略的相关因 索：维修策略系统结构关机规则维修度维修费用换换限限数 更更极极次 龄件修障修数 年组维故维计单部件， 串联，并 联，n中 取k,兀 余规则1规则2规则3不完全极小极大劣化worse常数随机变量混合优化准则建模工具策略时间长度相依性系统信息最小费用 率，最大 可用性， 故障率极 限，最小 故障时 间，费用 和可靠性更新理论markov 链概率论poisson 过程无限有限离散连续费用故障结构不完金完全优

2、化维修策略图表1：维修策略和它的影响因素1. 年龄更换策略：当部件在到达指定的年龄t仍然正常，则对部件作预防性更 换；若部件在丁之前发牛故障，则对部件进行事后更换。假设：(1)部件的寿命x的分布函数为f(r)；(2) s和勺,分别表示一次事后更换和预防更换的一切损失;(3) 更换时间忽略不计。问题：选择最优的丁使长期运行的单位时间的期望损失最小。#卞#-于#问题的解：令c(t)为经长期运行单位时间的期望损失，即=limwj时间内的期望损失,f事实上，系统在更换时刻为系统的再生点，由更新理论知,c(t) =一个周期内的期望损失平均周期长周期长=x/x <t + tix >t,( /(

3、4)为事件a的示性函数)故平均周期长为toot平均周期长二 jfdf(f)+ pdf(f) =ooto一个周期内的平均期望损失=cf f(t) + cpr(t) o因此,c(t)=cff(t)fr(t)问题转化为，求卩使c(t) = min o对c(t)求导，得- cpf(t)r(t)dt- r(t)cff(t)-cpr(t)0t0tr(t)r(t)dt-f(t) =0上*1*"卜叮、令上式等于零，得(#)另一方面，nt)p?(/)d/-f(t)三瓜门是连续严格单调递增函数。因为，对任意 0r2>rr有(如果部件的故障率广函数为连续严格单调递增，c/>s)t、t、h(t2

4、) h(tj = r(t2) - r(t,)力 + r(72) j/?(f)df f(t2) - f(tj0t)tt2t2t> lr(r2) - r(r,) 力 + »(f)r(f)df= lr(r2) - r(r,) r(t)dt >007；7；0当r(oo)>工时，则a(oo) > c/ ,(因为/?(0) = 0)此时方程(#)s)p?(f)dfcpcf0有唯一-解。当 r(oo)<&时，贝lj /?(oo) < cf o 因此，/i(t) < cf ,对所有(cf-cdt勺勺0有限的t>0,即得出dcmt <0,对

5、所有有限的t>0,因而得厂=oo。00例了：部件的寿命服从分布f(/) = l-(1 + /)厂。此时p?clt = 2, 0厂(oo) = 1 ,且c(t) =5-(勺-c)(l + t)厂2-2et -tet由于连续严格单调递增。如果j,有限厂存在的条件是1 = r(oo) >&,既当j >2cp时，存在唯一的有限解厂，它满足 2(勺 一5)当cf < 2c p时，则厂=00。如果cf=5,c=2,有1 + t>fsolve(3*(x-l+exp(-x)/(l+x)=2,x=0.20);4.9793647073(t-1 +厂)=2,用mapb软件解得2

6、. 更新过程(renewal process)设x,x2,是独立同分布的非负随机变量序列，它们的分布函数为f(r),均 值为“，且满足px” =0<lo令s°=0, s” =x|+x2+ + x”，“1,2,显然,有 psn <r = f(rt)(o, = 1,2,ff(,)(r)= jr(>,_,)(r-ww(w)0其中，严)(/)= ” 宀°，严)为f的重卷积。0，t < 0.f(/)"(/)令n(r) = supy n(t),t>0是一个取非负整数值的随叫随到过程,我们称 它为由随机变量序列x.,x2,所产生的史新过程，称x “

7、为更新寿命，称s”为更 新时刻(再牛点)。n(/)表示0,0时间内的更新次数。因为事件n*和事件5, <t是等价的。因此，经常将部分和过程5?1,h>0 也成为更新过程。由于n(t) = k = sk <t<sk+1y r=0,l,，因而得，pn(t) = k = psk <t-psk+l <t = f(kt)-fk+i)(t k = 0,l,由此得88m(/) = e7v(r)=工 rpn(f) = k二(0 * (&)jl=l"1我们称m(r)为更新函数(renewal function)如果我们用k)=来替换方程(&)中的f得

8、出,000 tim(f) = f(f) +工 fk (t -u)df(u) o m(f) = f(f) + (t - u)df(u)火=1 00以上方程成为更新方程。令叭嗨")(称为更新密度)。由更新方程得,m=于+ j加(-u)f(u)du0用laplace变换解得此方程为,心)=厂($)+心)心)如芒拾再用反laplace变换得出加。格点分布：一个非负随机变量x的分布函数是格点分布，如果存在一个50,使px = m/,m = 0,1, = 1。满足上面条件的最大的/称为格点分布的周期。定理1. lim =丄。8 t 卩定理2.如果尸不是格点分布，则limm (t + a)-m (

9、/)=定理3.如果f不是格点分布，且g(f)在0,oo)非负非增，并( ga)d/voo,贝ut| 8lim f(/ -u)dm (w) = fg(/)d/j j0尸0(注在上面三个定理中，当“ 时，所有极限均为零)定理4设乙是第斤个更新寿命x”中的报酬，且=独立同分布。令n(t)y(t) = xyn是它在0,0时间内的总报酬，我们有，如果e(yn l),£(x j有限，则no/t=l1曲型=空丄=1,以概率为1。 宀 t e(x jlime(m)=£(ni宀 t e(x“)3.成批更换策略它是指部件在给定的时刻灯，伙=1,2,)作预防性更换，部件在故障时作事后更 换。如下

10、图所示：#*#假设：(1)部件的寿命x的分布函数为f(f)；(2)勺和c“分别表示一次事后更换和预防更换的一切损失;(3)更换时间忽略不计。问题：选择最优的t使长期运行的单位时间的期望损失最小。我们有,（门+ 5*（%）t莫小，m(t)表示0,门时间内部件事后更换的期望次数。令c(t) = o,得， dttm(t)-m(t) = cp/cr令h(t) = tm(t)-m(t) 如果加(t)连续严格单调递增, 则/z(t)连续严格单调递增。因为，对任意t2 > t,有h(t2) - /?(tj) = tj tn(t2) -) + (t2 - tx )rn(t2) - "?(u)d

11、u=txm(t2) 一 m(tx) + (t2- t,)m(t2)-吨)> 0. 其屮，gt(,t2,因此,h(j)连续严格单调递增。 rh于，/?(o)= o,当”(8)>cp/c/时,方程(%)有唯一解。当h)<cp/cf时，对有限的7有务c(t)vo,因此，厂=00。 例子：部件的寿命的分布函数为f(r) = l-(l + r>-/,用maple得 >f:=x-> 1 -(1 +x)*exp(-x);f := x -> 1 - (1 + x) exp(-x)> d(f);x -> -exp(-x) 4- (1 + x) exp(-x)

12、> with(inttrans):> laplace( 1 +t)*exp(-t)-exp(-t), t,s);12(s+1)> invlaplace( 1 /(s+1 )a2)/( 1 -(1 /(1 +s)a2),s,t)；#this is m(t)1/2 - 1/2 exp(-2 t)> int( 1/2- l/2*exp(-2*x),x);# this is m(t)-c1/2 x + 1/4 exp(-2 x)> # we get c=-1 /4, because m(0)=0,> # therefor m(t)=l/2*x-1/4+ l/4*ex

13、p(-2*x);因此，我们有，2244因此，当4cp < cf时，存在优化解厂满足下列方程，+ 1一(1 + 2门严“/勺。4.考虑可用度的年龄维修策略假设：(1)部件的寿命x服从一般分布f(x),其均值为1/几;（2）当部件工作到指定的时间了仍没有发生故障，则对部件进行预防性 维修，预防维修时间乙服从一般分布g”，其均值为0昇（3）当部件工作到指定的时间t之前发牛故障，则立即对部件进行维 修，维修时间fy服从一般分布gf （/）,其均值为pf ；（4）部件修复如新，且x，m 相互独立。问题：求厂使系统的稳态可用度达到最大。丄"叫、我们用更新过程來求系统的可用度: 令x, wh

14、en x <t.y = t, when x >t.因此，系统以下面序列行进：£黑,乂2北，（说样本）为求系统的可用度，我们引进一个随机过程x（r）,r>0,其中x（t） = <yf, when x <t, yf), when x >t.1, at time t the system is in up state,0, at time t the system is in down state.4(/) = p x (/) = 11 the system is new at time t = 0=p xr, x(f) = 11 the system

15、is new at time f = 0+ pxx <t <x 4-l,x (0 = 11 the system is new at time t = 0+ p x + % < z,x(r) = 11 the system is new at time / = 0 因为，px >z, x(r) = 11 the system is new at time t = 0=px > 11 the system is new at time t =0 = px > tp x <t <xx + yp x (0 = 11 the system is new

16、at time t = 0 px + pj < r, x(r) = 11 the system is new at time / = 0t=jp(x(r) = 1 he system is new at time / = 0,北 + % = udpxx + y < u 0i=jpx(0 = 1 )the system is new at time t = udpx + y < u0t=|px(/-m) = 1 ihe system is new at time t = 0dpx, + % < u0t=险-mq) = a(f严p戌 +x <u0故,我们有,a(r)

17、= px >t + px +y <t a(t),用laplace变换得,心)=00e'stpx >t)dt0ooje-s,dpx +y <t)0t01-gf(5)j宀弘)-6(s)qt r(t)08其中，w = fyp (成为 ls 变换)。0当f(/)或g,(/)和g(/)为非格点分布时，px+y<t必为非格点分布。曲定 理3知,a = lim a存在。由tauber定理得,tr山0a = lim a(z)= limsar>cojt00(s)=-r d2 0ff(t) + 0pr(t)0将上式改写为:此问题与我们的第一个问题类似。°5 时间检测策略假设：1.部件寿命服从指数分布：f(/) = l-;2. 经过给定的时间t对部件进行检测，若发现部件故障，就立即进 行更换；若部件正常，则继续工作；3. 5勺分别表示一次检测和事后更换损失，-表示部件故障单位时 间的损失；4. 检测时间与故障更换时间不计。问题：求最优检测时间厂，使长期运行单位时间的期望损火最小。*# *#解：易见，相邻两