中考必会几何模型：相似模型

1、相似模型模型1：A、8模型已知12结论：ADEABC 模型分析 如图，在相似三角形的判定中，我们通过做平行线，从而得出A型或8型相似在做题使，我们也常常关注题目由平行线所产生的相似三角形模型实例【例1】如图，在ABC中，中线AF、BD、CE相交于点O，求证：解答：证法一：如图，连接DED、E是中点，DE/BCEODCOB（8模型）同理：，证法二：如图，过F作FG/AC交BD于点G，F是中点，ADCD，FG/AD，GOFDOA（8模型）同理，【例2】如图，点E、F分别在菱形ABCD的边AB、AD上，且AEDF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于H，若2，求的值解答：四边形ABCD是菱形，

2、ABBCCDAD设DFa，则DFAEa，AFEB2aHD/AB，HFDBFA，HD15a，FHBHHD/EB，DGHEGB，BGHB，跟踪练习：1如图，D、E分别是ABC的边AB、BC上的点，且DE/AC，AE、CD相交于点O，若SDOE：SCOA1：25则SBDE与SCDE的比是_解答：DE/AC，DOECOA，又SDOE：SCOA1：25，DE/AC，的比是1：4.2如图所示，在ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，此图中的相似三角形共有_对解：四边形ABCD是平行四边形，AD/BC，AB/CD（1）ABDCDB；（2）ABEFDE；（3）AEDGEB；（

3、4）ABGFCGFDA，可以组成3对相似三角形.图形中一共有6对相似三角形.3如图，在ABC中，中线BD、CE相交于点O，连接AO并延长，交BC于点F，求证：F是BC的中点证明：连接DE交AF于点G，则DE/BC，DE=BC，G为AF中点，BF=FC，即点F是BC的中点4在ABC中，AD是角平分线，求证：方法一：过点C👈CE/AB交AD延长线于点E，1=3，ABDECD，1=2，2=3，AC=CE，方法二：设ABC中BC边上的高为h，则，过D分别作DEAB，于E，DFAC于F，则，又1=2，DE=DF，5如图，ABC为等腰直角三角形，D是直角边BC的中点，E在AB上，且AE：E

4、B2:1，求证：CEAD证明：过点B做BF/AC，交CE延长线于点F，则CBF=90°，AECBEFAE：EB=2：1，BF=AC=BC=CD，又AC=CB，ACD=CBF=90°ACDCBF，1=2，1+3=90°，2+3-90°4=90°，CEAD模型2 共边共角型已知： 1=2 结论：ACD ABC模型分析 上图中，不仅要熟悉模型，还要熟记模型的结论，有时候题目中会给出三角形边的乘积关系或者比例关系，我们要能快速判断题中的相似三角形，模型中由ACD ABC进而可以得到：AC2=ADAB模型实例例1 如图，D是ABC的边BC上一点，AB=4

5、，AD=2，DAC=B，如果ABD的面积为15那么ACD的面积为 解答：DAC=B，C=C，ACD BCAAB=4，AD=2，SABD=15，SACD=5例2如图，在RtABC中，BAC=90o，ADBC于D（1）图中有多少对相似三角形？（2）求证：AB2=BDBC，AC2=CDCB，AD2=BDCD（3）求证：ABAC=BCAD解答（1）三对分别是：ABD CBA；ACD BCA；ABD CAD（2）ABD CBA，AB2=BDBC，ACD BCAAC2=CDCB，ABD CAD，AD2=BCCD（3），ABAC=BCAD跟踪练习：1如图所示，能判定ABCDAC的有 B=DACBAC=ADC

6、AC2=DCBCAD2=BDBC【答案】2已知AMN是等边三角形，BAC=120o求证：（1）AB2=BMBC；（2）AC2=CNCB；（3）MN2=BMNC【答案】证明：BAC=120o，B+C=60o.AMN是等边三角形，B+1=AMN=60o，C+2=ANM=60o.1=C，2=B.(1)1=C，B=B，BAM BCA.AB2=BMBC（2）2=B，C=C，CAN CBA.AC2=CNCB（3）1=C，2=B，BAM ACN.BMCN=ANAMAN=AM=MN，AB2=BMBC3如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，过C作CDAB于D，AC=，AD:DB=4:1求CD的长【答案】连接

7、BC，设AD=4x，则DB=x.AB=5x.AB是半圆O的直径，ACB=90o又CDAB.ACDABC.AC2=ADAB，即，解得：x=（舍负）.AD=.CD=4如图，RtABC中，ACB=90o，CDAB，我们可以利用ABCACD证明AC2=ADAB，这个结论我们称之为射影定理，结论运用：如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CFBE，垂足为F，连接OF（1）试利用射影定理证明BOFBED；（2）若DE=2CE，求OF的长【答案】（1）四边形ABCD为正方形，OCBO，BCD=90o.BC2=BOBD.CFBE，BC2=BFBE.BOBD=BFB

8、E.即，又OBF=EBD，BOF BED.（2）BC=CD=6，而DE=2CE，DE=4，CE=2.在RtBCE中，BE=，在RtOBC中，OB=，BOFBED，即，.模型3 一线三等角型已知，如图中：B=ACE=D结论：ABCCDE模型分析如图，ACEDCE=BA，又B=ACE，DCE=AABCCDE图同理可证ABCCDE在一线三等角的模型中，难点在于当已知三个相等的角的时候，容易忽略隐含的其他相等的角，此模型中的三垂直相似应用较多，当看见该模型的时候，应立刻能看出相应的相似三角形模型实例例1 如图，在等边ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且APD=60o，BP=1，CD=则ABC的

9、边长为 解答ABC是等边三角形，AB=BC=AC，B=C=60oAPC=BBAP，即APDDPC=BBAP，又APD=B=60o，DPC=BAP又B=C，PCDABP设AB=x，则PC=x1，解得x=3例2 如图，A=B=90o，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取一点P，使得PAD与PBC相似，则这样的P点共有 个解答设AP，则有PBABAP7，当PDACPB时，即，解得：或，当PDAPCB时，即，解得：，则这样的的点P共有3个练习：1如图，ABC中，BAC90°，ABAC1，点D是BC边上一动点（不与B、C点重合），ADE45°（1）求证：ABDDCE；（2）设，

10、求关于的函数关系式；（3）当ADE是等腰三角形时，求AE的长1.解答：（3）当ADE是等腰三角形时，第一种可能是AD=DE.当ADE是等腰三角形时，第二种可能是ED=EA.即ADE为等腰直角三角形.当AD=EA时，点D与点B重合，不合题意，所以舍去.2如图，在ABC中，ABAC10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），ADEBa，DE交AC于点E，且下列结论：ADEACD；当BD6时，ABD与DCE全等；DCE为直角三角形时，BD等于8或；其中正确的结论是 （把你认为正确的序号都填上）2.解答：故正确.故正确.（3）当AED=900时，由可知：ADEACD. ADC=AED. AED=90

11、0， ADC=900.即 ADBC. AB=AC， BD=CD.当CDE=900时，易得CDEBAD.故正确.（4）易证CDEBAD，由可知BC=16，故正确，故答案为：.3如图，已知矩形ABCD的一条边AD8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处，折叠与边BC交于O，连接AP、OP、OA（1）求证：OCPPDA；（2）若OCP与PDA的面积比为14，求边AB的长3.解答模型4 倒数型条件：AFDEBC结论：模型分析AFDEBC，BDEBAF，ADEABC，即（两边同时除以DE）仔细观察，会发现模型中含有两个A型相似模型，它的结论是由两个A型相似的结论相加而得到的，该模型的练习有

12、助于提高综合能力水平模型实例如图，AFBC，AC、BF相交于E，过E作EDAF交AB于D求证：证明： 分别过点C、E、F作直线AB的垂线，垂足分别是K、H、G则（模型结论） 跟踪练习1 如图，在ABC中，CDAB于点D，正方形EFGH的四个顶点都在ABC的边上.求证： 答案：1、证明：方法一：如图 四边形EFGH是正方形， EFAB CDAB， EFCD， AEFACD. EHAB， CEHCAB EH=EF， +得， 方法二：如图，构造模型4过点C作AB的平行线交AH的延长线于点K，依题意有，CKEHAB， CK=CD. 2正方形ABCD中，以AB为边作等边三角形ABE，连接DE交AC于F，

13、交AB于G，连接BF求证： (1) AF+BF=EF； (2) 答案：（1）如图，在EF上截取FH=AF. EAB=600，BAD=900，AE=AD， 1=2=150. 3=2+4=600. AFH为等边三角形. EAH=BAF. EAHBAF. EH=BF. AF+BF=FH+EH=EF.（2），如图，过点G作GKBF交AC于点K.由可得BFC=600， AHGKBF. 由模型4，得 AH=AF，GK=GF， 模型5 与圆有关的简单相似模型分析图中，由同弧所对的圆周角相等，易得PACPDB.图中，由圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角，易得ABDAEC.图中，已知AB切O于点A，如下图，

14、过A作直径AE，连接DE，则有EAD+E=900.又BAD+EAD=900，BAD=E=C.从而BADBCA. 模型实例如图，点P在O外，PB交O于A、B两点，PC交O于D、C两点求证：PAPB=PDPC.答案：证明：作直线OP交O于C、D两点，连接BC、AD. B=D，C=A， PBCPDA. PAPB=PDPC=（r+d）（r-d）= r2-d2证明：连接AD、BC四边形ADCB内接于O，12又PP，PADPCB练习1如图，P是O内的一点，AB是过点P的一条弦，设圆的半径为，求证：答案证明：作直线OP交O于C、D两点，连接BC、ADAD，CA，PBCPDA2如图，已知AB为O的直径，C、D

15、是半圆的三等分点，延长AC、BD交于点E（1）求E的度数；（2）点M为BE上一点，且满足，连接CM，求证：CM是O的切线答案解：（1）连接OC、ODC、D是半圆的三等分点，AB为O的直径，AOCCODDOB60° OAOCODOB，AOC、DOB为等边三角形EABEBA60°E60°（2）连接BC，EE，CEMBECAB为O的直径，ACB90°ECB90°，EMCECB90°C、D是半圆三等分点，AOCDOB60°，OCBEOCMEMC90°OCCMCM为O的切线模型6 相似和旋转如图，已知DEBC，将ADE绕点A

16、旋转一定的角度，连接BD、CE，得到如图结论：ABDACE模型分析DEBC，如图，DAEBAC，BADCAEABDACE该模型难度较大，常出现在压轴题中，以直角三角形为背景出题，对学生的综合能力要求较高，考察知识点有相似、旋转、勾股定理、三角函数等，是优等生必须掌握的种题型模型实例如图，在RtABC中，BAC60°，点P在ABC内，且，PB5，PC2求解答：如图，作ABQ，使得QABPAC，ABQACP，则ABQACP，即又QAPBAC60°，AQPACBAPQ=ACB90°AQ2AP，PQAP3APQ与APC的相似比为BQP90°过A点作AMPQ，延长

17、BQ交AM于点MAMPQ，MQAP故练习1如图，ABC和CEF均为等腰直角三角形，E在ABC内，CA E CBE90°，连接BF（1）求证：CAECBF；（2）若BE1，AE2，求CE的长解：（1）ABC和CEF均为等腰直角三角形ACBECF45°ACEBCFCAECBFACBECF45°ACEBCFCAECBF（2）CAECBF，CAECBF，又，AE2，BF又CAECBE90°CBFCBE90°EBF90°，2已知，在ABC中，BAC60° （1）如图若ABAC，点P在ABC内，且APC150°，PA3，PC4

18、，把APC绕着点A顺时针旋转，使点C旋转到点B处，得到ADB，连接DP 依题意补全图1； 直接写出PB的长；（2）如图，若ABAC，点P在ABC外，且PA3，PB5，PC4，求APC 的度数；（3）如图，若AB2AC，点P在ABC内，且PA，PB5，APC120°，请直接写出PC的长解：（1）如图，由旋转有，ADAP，BDPC，DABPAC，DAPBAC60°ADP为等边三角形DPPA3，ADP60°ADBAPC150°，BDP90°，在RtBDP中，BD4，DP3根据勾股定理得：PB5（2）把APC绕点A顺时针旋转，使点C与点B重合，得到AD

19、B，连接PD，APCADBADAP3，DBPC4，PACDAB，APC2DAPBAC，BAC60°，DAP60°，DAP是等边三角形PD3，160°，PDB90°230°APC30°（3）作ABQ，使得QABPAC，ABQACP，则ABQACP，AQBAPC120°AB2AC，ABQ与ACP的相似比为2AQ2AP2，BQ2CP，QAPQABBAPPACBAPBAC60° 取AQ中点D，连接PD，AQ2AP，ADAPAPD是等边三角形DPDQDPQDQP30°APQ90°PQ3BQPAQBAQP1

20、20°30°90°根据勾股定理得，赠送高中数学知识点第一章 空间几何体1.1柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。（2）棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分