教案1 向量与空间平面

1、第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面【授课时数授课时数】 总时数：4学时.【学习目标】 1、知道空间直角坐标系、向量、平面方程的概念； 2、会进行向量的坐标表示，向量的运算（线形运算、数量积、向量积和混合积）； 3、会求平面方程、平面与平面、点到平面的距离，会判断平面与平面之间的位置关系（平行、垂直）【重、难点重、难点】 重点：向量概念，向量坐标表示及其运算，向量的数量积与向量积，平面的点法式方程 难点：两向量的向量积，平面与平面的位置关系，由实例讲解方法第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向

2、量与空间平面x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点o空间直角坐标系空间直角坐标系 三个坐标轴的正方三个坐标轴的正方向符合右手系向符合右手系.第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面xyozxoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系共有八个卦限空间直角坐标系共有八个卦限第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面空间的点空间的点有序数组有序数组),(zyx 11特殊点的表示特殊点的表示:)0 , 0 , 0(o),(zyxm xyzo)0 , 0 ,(xp)0 , 0(yq), 0 , 0

3、(zr)0 ,(yxa), 0(zyb),(zoxc坐标轴上的点坐标轴上的点,p,q,r坐标面上的点坐标面上的点,a,b,c第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面xyzo 1mpnqr 2m?21 mmd在在直直角角21nmm 及及 直直 角角pnm1 中中，使使用用勾勾股股定定理理知知,222212nmpnpmd 第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面,121xxpm ,12yypn ,122zznm 22221nmpnpmd .21221221221zzyyxxmm 空间两点间距

4、离公式空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为特殊地：若两点分别为,),(zyxm)0 , 0 , 0(oomd .222zyx xyzo 1mpnqr 2m第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面解解 221mm,14)12()31()47(222 232mm, 6)23()12()75(222 213mm, 6)31()23()54(222 32mm,13mm 原结论成立原结论成立.第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面解解设设p点坐标为点坐标为),0 , 0 ,(x因为因为p在在x

5、轴上，轴上， 1pp 22232 x,112 x 2pp 22211 x, 22 x 1pp,22pp112 x222 x, 1 x所求点为所求点为).0 , 0 , 1(),0 , 0 , 1( 第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面空间直角坐标系空间直角坐标系 空间两点间距离公式空间两点间距离公式（注意它与平面直角坐标系的区别）（注意它与平面直角坐标系的区别）（轴、面、卦限）（轴、面、卦限） 21221221221zzyyxxmm 第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面._,_)

6、 1,2,3(轴的对称点是，关于轴的对称点是，关于的对称点是轴，关于的对称点是关于平面的对称点是，关于平面的对称点是关于平面点zyxzoxyozxoyp填空题填空题练习题练习题)1 ,2, 3()1,2, 3() 1, 2, 3()1 ,2, 3()1 ,2,3()1,2, 3(第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：以以1m为起点，为起点，2m为终点的有向线段为终点的有向线段.1m2m a21mm模长为模长为1 1的向量的向量. .21mm00a零向量：零向量：

7、模长为模长为0 0的向量的向量. .0|a21mm| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .单位向量：单位向量：或或或或或或第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面自由向量：自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量. .相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .a 向径：向径：aba a空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点m m与原点与原点om构成的向量构成的向量.第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几

8、何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面1 加法：加法：abcabc（平行四边形法则）（平行四边形法则）特殊地：若特殊地：若ababc|bac 分为同向和反向分为同向和反向bac|bac （平行四边形法则有时也称为三角形法则）（平行四边形法则有时也称为三角形法则）第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：（1 1）交换律：）交换律：.abba （2 2）结合律：）结合律：cbacba )().(cba （3）. 0)( aa2 减法减法()abab abb b cbabac )(b

9、a ba ab第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面, 0)1( a 与与a同向，同向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 与与a反向，反向，|aa aa2a21 第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：)()(aa a)( （2 2）分配律：）分配律：aaa )(baba )(.0ababa，使使的的实实数数必必要要条条件件是是：存存在在唯唯一一的的充充分分平平行行于于，向向量量设

10、设向向量量两个向量的平行关系两个向量的平行关系第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面同方向的单位向量，同方向的单位向量，表示与非零向量表示与非零向量设设aa0按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，0|aaa .|0aaa 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量个与原向量同方向的单位向量.第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面 例例33 化简化简 53215abbba解解 53215abbbaba 5

11、51251)31(.252ba 第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面 例例4 4 试用向量方法证明：对角线互相平分的四试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形边形必是平行四边形.证证ammc bmmd ad am mdmc bmbc ad与与 平行且相等平行且相等,bc结论得证结论得证.abcdmab第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面2112221122211211aaaaaaaa第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量

12、与空间平面第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面333223221111333231232221131211) 1(aaaaaaaaaaaaaa232213123113333213122112) 1() 1(aaaaaaaaaa（按列（或行）展开）（按列（或行）展开）第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 1. 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素

13、的乘积冠以负号的乘积冠以负号2. 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa (对角线法则)注意：注意：第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. .行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式. tdd记记nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa d2121nnaaannaaa2112 tdnnaaa2211 说明说明：行列式中行与列具有同等的地位行列式

14、中行与列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面例如例如性质性质3 3 如果行列式有两行（列）完全相同，如果行列式有两行（列）完全相同，则则,571571266853.825825361567567361266853 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. .此行列式为零此行列式为零.第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面 行列式的某一行（列）中所

15、有的元素都乘行列式的某一行（列）中所有的元素都乘nnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 性质性质5行列式中如果有两行（列）元素成比例，行列式中如果有两行（列）元素成比例，以同一数以同一数k，等于用数，等于用数k乘此行列式乘此行列式.则此行列式为零则此行列式为零第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面性质性质 把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一同一njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111njnjn

16、jninjjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakrr)()()(1222221111111 k例如例如数然后加到另一列数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行列式不变对应的元素上去，行列式不变第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面性质性质7上三角行列式等于对角线上元素的乘积上三角行列式等于对角线上元素的乘积. 321332322131211000aaaaaaaaa例如例如第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面解一解一121321132131232121331121

17、1222第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面解二解二212132113212120013221322)1(32第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面以以kji,分分别别表表示示沿沿zyx,轴轴正正向向的的单单位位向向量量.第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面xyzo 1mpnqr 2mijkxyzaa ia ja k 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影x 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影y 向量在向量在 轴上的投影轴上的投

18、影z12xxax 12yyay 12zzaz kzzjyyixxmm)()()(12121221 第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面kzzjyyixxmm)()()(12121221 按基本单位向量的按基本单位向量的坐标分解式坐标分解式：在三个坐标轴上的在三个坐标轴上的分向量分向量：,kajaiazyx向量的向量的坐标坐标：zyxaaa,向量的向量的坐标表达式坐标表达式：),(zyxaaaa ),(12121221zzyyxxmm特殊地：特殊地：),(zyxom 第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与

19、空间平面向量与空间平面方向角的定义方向角的定义 非零向量与三条坐标轴正向的夹非零向量与三条坐标轴正向的夹角角a向量向量 的与三条坐标轴的方向角为的与三条坐标轴的方向角为 、 、 ,0 ,0 .0 xyzo 1m 2m 方向角的范围：方向角的范围：第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面xyzo 1m 2m 由图分析可知由图分析可知 cos|aax cos|aay cos|aaz 向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向. .222|zyxaaaa pqr向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式

20、21212121rmqmpmmm 第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面0222 zyxaaa当当 时，时，,cos222zyxxaaaa ,cos222zyxyaaaa .cos222zyxzaaaa 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面222coscoscos1方向余弦的特征方向余弦的特征0a|aa ).cos,cos,(cos特殊地：单位向量的方向余弦为特殊地：单位向量的方向余弦为第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几

21、何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面解解设向量设向量21pp的方向角为的方向角为 、 、 ,3 ,4 , 1coscoscos222 .21cos ,21cos ,22cos 第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面.32,3 设设2p的坐标为的坐标为),(zyx,1cos x 21pp21 x21 , 2 x0cos y 21pp20 y22 , 2 y3cos z 21pp23 z, 2, 4 zz2p的坐标为的坐标为).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(21 第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课

22、题一 向量与空间平面向量与空间平面思考题思考题思考题解答思考题解答对角线的长为对角线的长为|,|,|nmnm ),1 , 1, 1 ( nm) 1, 3 , 1 (nm, 3| nm,11| nm平平行行四四边边形形的的对对角角线线的的长长度度各各为为11, 3.mn第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面 cos|sfw (其其中中 为为f与与s的的夹夹角角)启示启示 两向量作这样的运算两向量作这样的运算, 结果是一个数量结果是一个数量.定义定义bababa,cos| 两向量的数量积等于其中一个向量的模和另两向量的数量积等于其中一个向量的

23、模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积一个向量在这向量的方向上的投影的乘积. .第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面关于数量积的说明关于数量积的说明:0)2( ba.ba .|)1(2aaa , 1) 3 (kkjjii.),(),() 4 (zzyyxxzyxzyxbabababbbaaaba. 0ikkjji第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面内积符合下列运算规律：内积符合下列运算规律：（1 1）交换律）交换律：;abba （3 3）分配律）分配律：.)(cbcacba（

24、2 2）数因子的结合律）数因子的结合律：);()()(bababa第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面 cos|baba ,|cosbaba 222222cosxxyyzzxyzxyza ba ba baaabbb两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式ab0 xxyyzza ba ba b由此可知两向量垂直的充要条件为由此可知两向量垂直的充要条件为第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面解解ba )1(2)4()2(111 . 9 222222cos)2(zyxzyxz

25、zyyxxbbbaaabababa ,21 ajbbabpr|)3( . 3|pr bbaajb .43 第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面证证cacbbca )()()()(cacbcbca )(cacabc 0 cacbbca )()(第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面|foqm sin|fop lfpqo 第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面babac,sin|定义定义关于向量积的说明：关于向量积的说明：. 0)

26、 1 ( aa)0sin0( ba)2(/. 0 ba)0, 0( ba向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”.),(),(),() 3 (xyyxzxxzyzzyzyxzyxbababababababbbaaaba第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 kkjjii, jik , ikj ,kij . jki , ijk ()()()yzzyzxxzxyyxa ba b ia ba bja ba b k向量

27、积的坐标表达式向量积的坐标表达式第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面向量积还可用三阶行列式表示向量积还可用三阶行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa 由上式可推出由上式可推出第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面zzyxbaaa 000, 0 yxaa 外积的几何意义外积的几何意义:xb、yb、zb不不能能同同时时为为零零，但但允允许许两两个个为为零零，例如，例如，abbac 第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向

28、量与空间平面向量与空间平面外积符合下列运算规律：外积符合下列运算规律：（1）反交换律：反交换律：.abba （3）分配律：分配律：.)(cbcacba （2）关于数因子的结合律：关于数因子的结合律：).()()(bababa 第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj , 55510|22 c|0ccc .5152 kj第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面abc解解d3, 4 , 0 ac0 , 5, 4 ab三

29、角形三角形abc的面积为的面积为|21abacs 22216121521 ,225 | ac, 5)3(422 |21bds | ac|521225bd . 5| bd第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面,kajaiaazyx ,kbjbibbzyx 设设,kcjcicczyx 上式为混合积的坐标表达式上式为混合积的坐标表达式zyxzyxzyxcccbbbaaacbacba)()(第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面解解nmnmnm,sin|, 8124 0,pnmpnm )(

30、cos|pnm .2438 依依题题意意知知nm 与与p同同向向，第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面（1）向量混合积的几何意义：）向量混合积的几何意义：acbba 关于混合积的说明：关于混合积的说明：)()2(cbacba )()bca().cab. 0)(cba第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面解解)(61adacabv ),(121212zzyyxxab第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面),(131313zzyy

31、xxac),(141414zzyyxxad14141413131312121261zzyyxxzzyyxxzzyyxxv 上式中正负号的选择必须和行列式的符号一致上式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面向量的数量积向量的数量积向量的向量积向量的向量积向量的混合积向量的混合积（结果是一个数量）（结果是一个数量）（结果是一个向量）（结果是一个向量）（结果是一个数量）（结果是一个数量）（注意共线、共面的条件）（注意共线、共面的条件）第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空

32、间平面向量与空间平面思考题思考题思考题解答思考题解答bababa,sin|2222,cos1|222baba22|ba baba,cos|22222|ba .)(2ba 第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面练习题练习题平行四边形的面积平行四边形的面积 以以cba,为邻边的平行六面体的体积为邻边的平行六面体的体积 零向量零向量 零向量零向量 垂直垂直 平行平行 第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面xyzo0mm 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，那么这向量就于一平面，那

33、么这向量就叫做该平面的法线向量叫做该平面的法线向量法线向量的特征：法线向量的特征：垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量已知已知),(cban ),(0000zyxm设平面上的任一点为设平面上的任一点为),(zyxmnmm 0必有必有00 nmmn第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面),(0000zzyyxxmm0)()()(000 zzcyybxxa上式称为平面的上式称为平面的点法式方程点法式方程 平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程满

34、足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形的图形其中法向量其中法向量),(cban 已知点已知点).,(000zyx第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面解解)6, 4, 3(ab)1, 3, 2(ac取取acabn ),1, 9,14(所求平面方程为所求平面方程为, 0)4()1(9)2(14 zyx化简得化简得. 015914 zyx第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面),1, 1, 1(1n)12,2, 3(2n取法向量取法向量21nnn ),5,15,10(, 0)

35、1(5)1(15)1(10 zyx化简得化简得. 0632 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面由平面的点法式方程由平面的点法式方程0)()()(000 zzcyybxxa0)(000 czbyaxczbyaxd 0axbyczd上式称为平面的上式称为平面的一般方程一般方程法向量法向量).,(cban 第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：, 0)1( d平面通过坐标原点；平面通过坐标原点

36、；, 0)2( a , 0, 0dd平面通过平面通过 轴；轴；x平面平行于平面平行于 轴；轴；x, 0)3( ba平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；xoy类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.0, 0 cbca0, 0 cb类似地可讨论类似地可讨论 情形情形. , 0, 0dd平面通过平面通过 坐标面；坐标面；xoy第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面设平面为设平面为, 0 dczbyax将三点坐标代入得将三点坐标代入得 , 0, 0, 0dccdbbdaa,ada ,bdb .cdc 解解第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解

37、析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面,ada ,bdb ,cdc 将将代入所设方程得代入所设方程得1xyzabc称为平面的截距式程称为平面的截距式程x轴轴上上截截距距y轴轴上上截截距距z轴轴上上截截距距第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面设平面为设平面为, 0 dczbyax由平面过原点知由平面过原点知, 0 d由平面过点由平面过点)2, 3, 6( 知知0236 cba),2 , 1, 4( n024 cba,32cba . 0322 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几

38、何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面设平面为设平面为, 1 czbyaxxyzo, 1 v, 12131 abc由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得,611161cba 解解第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面,61161cba 化简得化简得令令tcba 61161,61ta ,1tb ,61tc ttt61161611 代入体积式代入体积式,61 t, 1, 6, 1 cba. 0666zyx所求平面方程为所求平面方程为第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间

39、平面（通常取锐角）（通常取锐角）1 1n2 2n 两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角. ., 0:11111 dzcybxa, 0:22222 dzcybxa),(1111cban ),(2222cban 第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面按照两向量夹角余弦公式按照两向量夹角余弦公式 , 得得121212222222111222|cosa ab bc cabcabc两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式即即 , 两平面夹角公式两平面夹角公式222222212121212121|arccoscba

40、cbaccbbaa第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面4. 4. 两平面的位置关系两平面的位置关系)2 , 1(0idzcybxaiiii设两平面./)2(2121212121ddccbbaa.) 1 (一次项系数不成比例两平面相交 21. 0212121ccbbaa.)3(21212121ddccbbaa两平面重合第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面 例例6 6 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：013, 012)1( zyzyx解解且,31120122222