第二章 逻辑代数

1、第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础2.12.1 逻辑代数的基本运算逻辑代数的基本运算 2.22.2 逻辑函数及其表示法逻辑函数及其表示法 2.32.3 逻辑代数的公式和运算法则逻辑代数的公式和运算法则 2.42.4 逻辑函数表达式的形式逻辑函数表达式的形式2.62.6 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法 2.52.5 逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法内容提要内容提要1.逻辑代数的基本运算；逻辑代数的基本运算；2.逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法（真值表、逻辑表达式、逻辑图真值表、逻辑表达式、逻辑图、工作波形图和卡诺图工作波形图和卡诺图）；）；3.逻辑代数的运算公式

2、和基本规则；逻辑代数的运算公式和基本规则；4.4.逻辑函数的化简方法（代数化简法和卡诺图化简法）逻辑函数的化简方法（代数化简法和卡诺图化简法） 。逻辑代数的基本运算逻辑代数的基本运算逻辑：一定的因果关系。逻辑：一定的因果关系。逻辑代数是描述客观事物逻辑关系的数学方法，是进行逻辑代数是描述客观事物逻辑关系的数学方法，是进行逻辑分析与综合的数学工具。因为它是英国数学家乔治逻辑分析与综合的数学工具。因为它是英国数学家乔治布布尔尔(George Boole)(George Boole)于于18471847年提出的年提出的, ,所以又称为所以又称为布尔代数布尔代数。第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础

3、 无论是数字仪表，还是计算机，其内部功能比较复杂。但其内部通常由几种或几十种最基本的电子电路组成。在这些电子电路中多数是数字逻辑电路数字逻辑电路。数字逻辑电路：数字逻辑电路：用逻辑函数进行描述的电路。、输入、输出具有一定的逻辑关系、输入、输出具有一定的逻辑关系（条件、结果）（条件、结果）、实现逻辑函数的电路叫做逻辑电路、实现逻辑函数的电路叫做逻辑电路、描述输出、输入逻辑关系的表达式叫做逻辑表达式、描述输出、输入逻辑关系的表达式叫做逻辑表达式、逻辑电路的输出、输入量，、逻辑电路的输出、输入量，都用数字量表示都用数字量表示、实现逻辑关系的电子电路、实现逻辑关系的电子电路通称为通称为门电路门电路。数

4、字逻辑电路特点：数字逻辑电路特点：逻辑电路A0A1AnB0B1Bn第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础 逻辑代数是分析和设计数字电路的基本工具。因此首先要了解逻辑代数有什么基本特性，逻辑代数和普通代数又有什么异同之处。逻辑代数和普通代数的区别：逻辑代数和普通代数的区别：共同点：共同点： 都用字母都用字母 A A、B B、C - C - 等表示变量。等表示变量。 仍遵守与普通代数一样的运算优先顺序（先括号、仍遵守与普通代数一样的运算优先顺序（先括号、其次乘、最后加）。其次乘、最后加）。 不同点：不同点： 这些变量这些变量 A.B.C A.B.C 的取值范围是的取值范围是 0 0 和和 1 1

5、。 其运算规则是按逻辑规则来定义的。其运算规则是按逻辑规则来定义的。 0 0、1 1不再表示数量的大小，只代表不同的逻辑状态。不再表示数量的大小，只代表不同的逻辑状态。逻辑代数逻辑代数一、基本逻辑运算：一、基本逻辑运算：与、或、非与、或、非 三种。三种。 为了便于理解基本逻辑关系的基本含义，先通过一些简单例子为了便于理解基本逻辑关系的基本含义，先通过一些简单例子作一说明。作一说明。1 1、“与与”运算及与门运算及与门 逻辑与的概念：逻辑与的概念：若决定一件事的所有条件都成立，这件事的结果若决定一件事的所有条件都成立，这件事的结果就会发生。否则这件事就不会发生。这样的逻辑关系称为：就会发生。否则

6、这件事就不会发生。这样的逻辑关系称为：逻辑与、逻辑与、逻辑乘、或称为：逻辑乘、或称为：“与与”运算运算。能够实现与逻辑运算的电子电路称为与门电路。能够实现与逻辑运算的电子电路称为与门电路。开关断开为 0开关闭合为 1灯亮为 1灯不亮为 0假设：假设：用四个式子表示：0 0 = 00 1 = 01 0 = 01 1 = 1与逻辑的表示方法：（四种）与逻辑的表示方法：（四种）真值表：真值表： 将输入变量所有的取值下对应的输出值找出来，列成表格，即可得到真值表。ABF000010100111逻辑表达式逻辑表达式： 把输出与输入之间的逻辑关系写出与与运算的逻辑代数式，即为逻辑表达式。F = A BAB

7、F 220V有有0为为0全全1为为1工作波形图工作波形图 把输入和输出之间的逻辑关系用波形图的方法表示，即为工作波形图。有有0 0为为0 0，全，全1 1为为1 1逻辑图（符号）逻辑图（符号） 将逻辑函数中各变量之间的逻辑关系用图形符号表示，即为逻辑图。 把实现与逻辑运算把实现与逻辑运算的单元电路叫做的单元电路叫做与门与门。FABF = A BA AB BY Y图图2.2.2 与门逻辑符号与门逻辑符号A AB BY Y 逻辑或的概念：逻辑或的概念：决定某一件事的诸条件中，只要有一个或一个以上的条件满足，这件事的结果就会发生，否则结果不会发生。这样的逻辑关系称为：逻辑或、逻辑加、逻辑或、逻辑加、

8、或称为“或或”运算运算。0 0 = 00 1 = 11 0 = 11 1 = 1假设：假设：开关闭合为 1开关断开为 0灯亮为 1灯不亮为 0用四个式子表示：用并联开关电路简单说明或或逻辑关系：或逻辑的表示方法：或逻辑的表示方法： 220VABF FABF000011101111真值表：真值表：工作波形图工作波形图逻辑图（符号）逻辑图（符号）逻辑表达式逻辑表达式：F = A + B 把实现或逻辑运算的把实现或逻辑运算的单元电路叫做或门。单元电路叫做或门。有有1为为1全全0为为0FABA AB BY Y图图2.2.4 或门逻辑符号或门逻辑符号1A AB BY Y 逻辑非的概念：逻辑非的概念：条件

9、具备了，结果不会发生。条件不具备，结果一定发生。A F0 11 0逻辑表达式：逻辑表达式：AF 工作波形工作波形: :逻辑符号：逻辑符号：开关闭合为 1 开关断开为 0灯亮为 1灯不亮为 0假设：假设：把实现非逻辑运算的单元电路叫做非门。把实现非逻辑运算的单元电路叫做非门。 220VAFAFA AY Y图图2.2.6 非门逻辑符号非门逻辑符号1A AY YAAA0 AA逻辑运算逻辑运算逻辑符号逻辑符号真值表真值表基本运算规则基本运算规则与与ABF000010100111ABF000011101111AA100 AAAA1AA11AAA0AA AF0110逻辑表达式逻辑表达式BAFBAFAF 或

10、或非非&ABF1ABF1AF三种基本逻辑运算总结三种基本逻辑运算总结 实际的逻辑问题比与、或、非与、或、非复杂得多。利用这三种基本逻辑关系，可以得出处理实际逻辑问题的各种复合逻辑，如与非、或非、与或非、异或、同或与非、或非、与或非、异或、同或逻辑等。1 1、 与非逻辑与非逻辑 与非逻辑是与与逻辑运算和非非逻辑运算的组合。它是将输入变量先进行与运算，然后再进行非运算。与非逻辑表达式：BAF与非门逻辑符号：能够实现与非逻辑运算的电路称为与非门能够实现与非逻辑运算的电路称为与非门。&AFBAFBAFB与非门真值表：与非门真值表：A B0 00 11 01 1有有0 0为为1,1,全全

11、1 1为为0 0与非门运算顺序是：与非门运算顺序是： 先与后非先与后非即：当输入A、B中，只要有一个0,输出就是1,只有输入全为1时，输出才是0。BAF1110工作波形图：工作波形图：ABF 或非逻辑是或或逻辑运算和非非逻辑运算的组合。它是将输入变量先进行或运算，然后再进行非运算。能够实现或非逻辑运算的电路称为或非门或非门。或非逻辑表达式：或非逻辑表达式：BAF或非门逻辑符号：或非门逻辑符号：或非门真值表：或非门真值表：AB00011011BAF或非门运算顺序是：或非门运算顺序是： 先或后非先或后非1000有有1为为0,全全0为为1即：当输入A、B中，只要有一个1,输出就是0,只有输入全为0时

12、，输出才是1。或非门工作波形或非门工作波形1FAB+AFBAFBABF 与或非逻辑是与与逻辑运算和或非或非逻辑运算的组合。它是将输入变量A,B及C,D先进行与运算，然后再进行或非运算。能够实现与或非逻辑运算的电路称为与或非门与或非门。A B C D F00001000110010100110010010101101101011101000110011101011011011000110101110011110逻辑符号：逻辑符号：与或非门真值表：与或非门真值表：工作工作波形图：波形图：逻辑表达式：逻辑表达式：CDABF每组有每组有0为为1,某组全某组全1为为0。FABCD&1ABCDFC

13、+ABDFFABCDA,B为两个单刀双掷开关。 灯亮的条件是：一个开关打在上面，另一个开关打在下面。两个开关同时打在上面或者下面，则灯不亮。假设：假设：开关打在上面为1开关打在下面为0灯亮为1灯灭为0真值表：真值表：A A B BF F0 0 0 00 00 0 1 11 11 1 0 01 11 1 1 10 0由真值表写出逻辑表达式：由真值表写出逻辑表达式：取取F=1F=1列与项逻辑式。列与项逻辑式。对任何一种输入变量组合，对任何一种输入变量组合，变量之间是变量之间是“与与”运算。运算。如果输入变量是如果输入变量是“1 1”, ,记原记原变量。如果输入变量是变量。如果输入变量是“0 0”,

14、 ,记反变量。记反变量。各组合之间是各组合之间是“或或”逻辑关逻辑关系。系。BABABAF异或运算特点：异或运算特点：相异为相异为1 1，相同为，相同为0 0AFB220V异或异或逻辑符号：逻辑符号：异或逻辑基本运算规律：异或逻辑基本运算规律：0 0 = 0 1 1 = 01 0 = 0 1 = 1推论：推论：异或门工作异或门工作波形图：波形图：1 AA0 AAAA0AA1=1AFBFAB假设：假设：开关打在上面为1开关打在下面为0灯亮为1灯灭为0灯亮的条件是：两个开关均打在上面，或均打在下面。 ABF001010100111ABBAF同或运算特点：同或运算特点：相同为相同为1,1,相异为相异

15、为0 0。同或同或逻辑符号：逻辑符号：同或逻辑和异或逻辑互为反函数。同或逻辑真值表同或逻辑真值表同或逻辑表达式同或逻辑表达式=1AFBAFB220VABABABAB 1 1、逻辑函数间的相等、逻辑函数间的相等设有两个逻辑函数F = f (A1A2-An)G = g (A1A2-An)看出：F和G都是变量 A1A2-An的逻辑函数如果:2n 种组合中每一状态组合F和G值相同，则称为F和G相等，记作F=G。如果F=G，其真值表相同。反之，F和G真值表相同，F一定等于G。因此，要证明两个逻辑函数相等，只需列出真因此，要证明两个逻辑函数相等，只需列出真值表，若真值表相同，那么这两个函数一定相等。值表，

16、若真值表相同，那么这两个函数一定相等。 CBAC,B,AF CAABC,B,AG 例：设证明 F = G证：(1)、列出F和G的真值表 从真值表中可以看出： 每一种状态组合 F 和 G 都相等，所以 F = G。 即：即：F F 和和 G G是同一逻是同一逻辑的两种不同表达式。辑的两种不同表达式。ABC000001010011100101110111CBACAAB0 00 00 00 01 10 01 11 1FA BCGABAC(2)、实现F和G的逻辑电路图两种不同的电路形式，表示同一种逻辑功能。两种不同的电路形式，表示同一种逻辑功能。CCBBACCA将运算符号变为逻辑符号将运算符号变为逻辑

17、符号11&ABCABC&11交换率A+B=B+AAB=BA结合率A+(B+C)=(A+B)+CA(BC)=(AB)C分配率A(B+C)=AB+ACA+(BC)=(A+B)(A+C)吸收率A+AB=AA(A+B)=A01率A+1=1,A+O=AA0=0,A1=A互补率重叠率A+A=AAA=A非非率反演率包含率1 AAAA BABACAABBCCAABBAABCABACBCABA0 AA（1 1）常量之间的关系）常量之间的关系0 0 = 0 0 + 0 = 0 0 1 = 0 0 + 1 = 1 1 0 = 0 1 + 0 = 1 1 1 = 1 1 + 1 = 1 0 = 1 1

18、 = 0 请特别注意请特别注意与普通代数与普通代数不同之处不同之处与或第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础（2）常量与变量之间的关系普通代数结普通代数结果如何？果如何？（3）与普通代数相似的定理 交换律交换律AB = BAA + B = B + A结合律结合律A（BC）=（AB）CA +(B+C)=(A+B)+C分配律分配律A（B+C）=AB + ACA+(BC)=(A+B)(A+C)第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础（4）特殊的定理De De morgen morgen定理定理第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础两点说明：两点说明：1 1、乘法运算中乘号、乘法运算中乘号“”可以省略，

19、可以省略，A A B B 可写为可写为ABAB2 2、运算顺序，先括号，再算乘，最后加。、运算顺序，先括号，再算乘，最后加。 这些基本定律反应了逻辑代数的基本规律，其正确性都可以利用真值表加以验证。例：证明反演率BAABBABA, 00 1 1 1 1 01 0 0 1 1 10 0 0 1 1 11 0 0 0 0BABAABBAAB从真值表中看出：BABABAABBABABAAB（1 1）、代入规则）、代入规则 任何一个含变量任何一个含变量 A A 的等式中，如果将出现的等式中，如果将出现 A A 的地方，的地方，都代之一个逻辑函数都代之一个逻辑函数 F F ，则等式仍然成立。，则等式仍然

20、成立。例1：分配率A(B+C) = AB+AC令：C = EF 代入公式A(B+EF)证:A(B+EF)用乘对加的分配率证明例2:BABAABCDBCDCD则：令：A = CD证：BCDBCDCDCDBCDCD)(代入规则之所以正确： 是因为任何一个逻辑函数和任何一个逻辑变量一样，只有两种可能取值 (0 ,1),所以可以将逻辑函数当作一个逻辑变量对待。= AB+AEF= AB+AEF 有了代有了代入规则，基本入规则，基本定律不受变量定律不受变量限制，扩大了限制，扩大了基本公式的应基本公式的应用范围。用范围。（2 2）、反演规则：）、反演规则： （摩根定理）目的：求原函数的反函数求原函数的反函数

21、 已知函数为已知函数为 F F ，将，将 F F 中的所有中的所有 “” 换为换为“”，“” 换为换为 “” ，0 0 换为换为 1 1 ，1 1 换为换为 0 0，原变量换为反变量，反变量换为原变量原变量换为反变量，反变量换为原变量。得到的函数式就是原函数的反函数，或称为补函数。记作得到的函数式就是原函数的反函数，或称为补函数。记作FCDBAFF求例1:已知解：由反演规则直接得出由反演规则直接得出DCBAF)(由反演律得由反演律得2 2、在运算过程中适当、在运算过程中适当增加括号增加括号，以保证，以保证原函数的运算顺序不变原函数的运算顺序不变。本例说明：本例说明： 1 1、由反演规则求反函数

22、，比直接用反演律求反函数方便、简单。、由反演规则求反函数，比直接用反演律求反函数方便、简单。CDBA DCBA)(CDBAF例2: 已知EDCBAFEDCBAF解：利用反演规则直接写出利用反演规则直接写出注意：不属于单个变量上的反号保持不变。注意：不属于单个变量上的反号保持不变。（3 3）、对偶规则：）、对偶规则： 对偶式：已知函数为对偶式：已知函数为 F F ，将，将 F F 中的所有中的所有 “” 换为换为“”，“” 换为换为 “” ，0 0 换为换为 1 1 ，1 1 换为换为 0 0，变变量保持不变量保持不变。得到的函数式就是原函数的对偶式。得到的函数式就是原函数的对偶式 F F。例：

23、CBAFCBAF) 1)(CABAF0CABAFCBAFCBAFF求首先了解什么是对偶式；对偶规则：对偶规则： 如果两个函数如果两个函数 F F 和和 G G 相等，那么它们各自的对偶式相等，那么它们各自的对偶式 F F 和和 G G也相等。也相等。例：F = A(B+C) 由乘对加的分配率知：F= A+BC由加对乘的分配率知: G= (A+B)(A+C)G = AB+ACF = A(B+C)=AB+AC F = G F= GF= A+BC = (A+B)(A+C) 掌握对偶规则的目的：掌握对偶规则的目的：当证明某一等式相等当证明某一等式相等后，根据对偶规则，其对偶式也相等。使证明的后，根据对

24、偶规则，其对偶式也相等。使证明的式子数目减少一半。起到事半功倍的效果。式子数目减少一半。起到事半功倍的效果。交换率A+B=B+AAB=BA结合率A+(B+C)=(A+B)+CA(BC)=(AB)C分配率A(B+C)=AB+ACA+(BC)=(A+B)(A+C)吸收率A+AB=AA(A+B)=A01率A+1=1,A+O=AA0=0,A1=A互补率重叠率A+A=AAA=A非非率反演率包含率1 AAAA BABACAABBCCAABBAABCABACBCABA0 AA 目的：要求学会证明函数相等的方法，运用逻辑代数的目的：要求学会证明函数相等的方法，运用逻辑代数的基本定律，得出一些常用公式。基本定律

25、，得出一些常用公式。ABAABAABBABAAB1证：ABABA1 BBBABAABABABAAABAA1证：ABBAA吸收律：吸收律：（互补率）说明：两个乘积项相加说明：两个乘积项相加时，若乘积项分别包含时，若乘积项分别包含B B和和/B/B两个因子。而其两个因子。而其余因子相同。则两项定余因子相同。则两项定能合并成一项，消去能合并成一项，消去B B和和/B/B两个因子。两个因子。 说明：两个乘积项相加时，其中一项的部分因子恰好说明：两个乘积项相加时，其中一项的部分因子恰好是另一乘积项的补是另一乘积项的补（/A)/A)，则该乘积项中的则该乘积项中的/A/A是多余的。是多余的。吸收律：吸收律：

26、对偶式：对偶式：对偶式：对偶式：若若两两个个乘乘积积项项中中分分别别包包含含A A和和A A两两个个因因子子，而而这这两两个个乘乘积积项项的的其其余余因因子子组组成成第第三三个个乘乘积积项项，则则第第三三个个乘乘积积项项是是多多余余的的。可可消消去去CAABBCCAABBCAACAABBCCAABBCACAB11CAABCAABBCDECAABBCDEBCCAAB证：DEBCCAAB1CAABBCCAABCABAEDCBCABA包含律：包含律：推论：推论：对偶式：对偶式：BCAABCCAAB证：BACACAABBCCAABAABACA证右：CAABBCCAAB 0BAACCABAA+BC =

27、(A+B)(A+C)证：(A+B)(A+C)=AA+AC+AB+BC=(A+AC+AB)+BC=A(1+C+B)+BC= A+BCA(B+C)=AB+AC交叉互换率：交叉互换率：对偶式：对偶式：加对乘的分配率：加对乘的分配率：对偶式：对偶式：常用逻辑函数表示方法有：1 1、逻辑真值表、逻辑真值表2 2、逻辑表达式、逻辑表达式3 3、逻辑图、逻辑图各种表示方法间的相互转换一、从真值表写出逻辑表达式一、从真值表写出逻辑表达式例：已知一个奇偶判别函数的真值表（偶例：已知一个奇偶判别函数的真值表（偶为为1,奇为奇为0)，试写出它的逻辑函数式。，试写出它的逻辑函数式。ABCY00000101001110

28、010111011110000110BCACBACAB解： 当ABC=011时，1BCA使乘积项当ABC=101时，1CBA使乘积项当ABC=110时，1CAB使乘积项因此，Y的逻辑函数应当等于这三个乘积项之和。CABCBABCAY4 4、工作波形图、工作波形图真值表的特点： 唯一性; 按自然二进制递增顺序排列（既不易遗漏，也不会重复 ）。 n个输入变量就有2n个不同的取值组合。 通过以上例题可以总结出从真值表写出逻辑函数式的一般方法。通过以上例题可以总结出从真值表写出逻辑函数式的一般方法。1 1、找出真值表中使逻辑函数、找出真值表中使逻辑函数Y=1Y=1的输入变量取值组合。的输入变量取值组合

29、。2 2、每组输入变量的取值组合对应一个乘积项，输入变量取值为、每组输入变量的取值组合对应一个乘积项，输入变量取值为1 1的写入原变量，取值为的写入原变量，取值为0 0的写入反变量。的写入反变量。3 3、将取值为、将取值为1 1的乘积项相加，即得到的乘积项相加，即得到Y Y的逻辑函数式。的逻辑函数式。二、从逻辑表达式列出真值表二、从逻辑表达式列出真值表 将输入变量的所有状态组合逐一代入逻辑式，求出函数值，列成表，即可得到真值表。例：已知函数CBACBAY求其对应真值表。A B C0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1CBCBAY解：将三变量所有取值组合

30、代入Y式中，将计算结果列表。010001001000000001011111&111&11三、从逻辑表达式画出逻辑图三、从逻辑表达式画出逻辑图 用图形符号代替逻辑式中的运算符号，就可以画出逻辑图。例：已知逻辑函数,CCBACBAY画出对应逻辑图。 解：将式中所有的与、或、非运算符号用逻辑符号代替，并根据运算优先顺序把这些逻辑符号连接起来，就得到Y的逻辑图。ABCABCCBACBCBACCBACBAY11111ABY四、四、从逻辑图写出逻辑表达式从逻辑图写出逻辑表达式 从输入端到输出端逐级写出每个逻辑符号的逻辑式，就得到对应的逻辑表达式。例：已知逻辑图，试写出逻辑表达式。 解：从

31、输入A、B开始逐个写出每个逻辑符号输出端的逻辑式。ABBABABABABABAY)(BABABABABABCAAC ,如：BCAAC ,B C AB C如：CBACB目的：为图解化简法打好基础。目的：为图解化简法打好基础。与项：与项：逻辑变量间只进行乘运算的表达式称为与项 。 与或表达式：与或表达式：与项和与项间只进行加运算的表达式称为与或表达式。如: 或项：或项：逻辑变量间只进行或运算的表达式称为或项。 或与表达式：或与表达式：或项和或项间只进行乘运算的表达式称为或与表达式。如: 在介绍逻辑函数的标准形式之前，先介绍最小项和最大项的概念，然后介绍逻辑函数的“最小项之和最小项之和”及“最最大项

32、之积大项之积”两种标准形式。几个概念：几个概念：四四 逻辑函数的两种表达逻辑函数的两种表达(1) (1) 定义：定义：最小项是一个与项。最小项是一个与项。 (2) (2) 特点：特点： n n 个变量都出现，每个变量以原变量或反变量的形式个变量都出现，每个变量以原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次。称这个出现一次，且仅出现一次。称这个与项与项为最小项。为最小项。n n 变量变量有有 2 2n n 个最小项。个最小项。例如：在三变量A、B、C的最小项中：1 1、最小项、最小项 输入变量的每一组取值都使一个对应的最小项的值等于1。当A=1、B=0、C=1时，乘乘积积项项ABC=1ABC=1。

33、如如果果将将ABCABC的的取取值值101101看看作作一一个个二二进进制制数数，所对应的十进制数就是5。5 5一一般般将将ABCABC这这个个最最小小项项记记做做m m 。按照上述约定，作出三变量最小项编号表。原取原取1,1,反取反取0.0.最小项使最小项为1的变量取值对应十进制数编号ABC00000011010201131004101511061117CBACBACBABCACBACBACABABC0m1m2m3m4m5m6m7m（3 3）最小项的重要性质）最小项的重要性质 在输入变量的任何取值下必有一个最小项，而且在输入变量的任何取值下必有一个最小项，而且仅有一个最小项的值为仅有一个最小

34、项的值为1 1。所有最小项之和为所有最小项之和为1 1。1120niim任意两个最小项的乘积为任意两个最小项的乘积为0 0。0jimmji 具有相邻性的两个最小项之和，可以合并成一项，并消具有相邻性的两个最小项之和，可以合并成一项，并消去一对因子。去一对因子。ABCCABCBACBABCACBACBACBA证：ABBABABA1AA0)(CCBACBACBA证：相邻性：相邻性： 若两个最小项彼此只有一个因子不同，且互为反变量，若两个最小项彼此只有一个因子不同，且互为反变量，则称这两个最小项具有则称这两个最小项具有相邻性相邻性。例：CBACBABACCBA)( 定理：定理：任何逻辑函数任何逻辑函

35、数 F F 都可以用最小项之和的形式表示。都可以用最小项之和的形式表示。而且这种形式是唯一的。而且这种形式是唯一的。1 1、 真值表法：真值表法： 将逻辑函数先用真值表表示，然后再根据真值表写出最小项之和。例：将CABCCBAF表示为最小项之和的形式。解：由最小项特点知：n 个变量都出现，BC 缺变量 A ,所以 F 是一般与或式，不是最小项之和的标准形式。列：F 真值表：ACAC缺缺变变量量B,B,BCBC和和ACAC不不是是最最小小项项。000 1 0 0 1 001 0 0 0 0 010 0 0 0 0 011 0 1 0 1 100 0 0 1 1 101 0 0 0 0 110 0

36、 0 1 1 111 0 1 0 1 CBABCCAFABCCABCBABCACBAF76430mmmmm m7 .6 .4 .3 .0ABC 由最小项性质、知：每个最小项等于1的自变量取值是惟一的。 那么：将 F = 1 的输入变量组合相加即可。其输入变量组合中，1表示原变量 ,0表示反变量CABCCBAF2 2、 摩根定律及配项法摩根定律及配项法 将逻辑函数反复利用摩根定律及配项法，将其表示为最小项之和的形式。例1：CABCCBAF解：CABBBCAACBAFCBACABBCAABCCBA46370mmmmm m7 . 6 . 4 . 3 . 0原取原取1 1反取反取0 0例2：将表示为最

37、小项之和的形式。ABCBAABFABCBAABABCBAAB解：ABCBAABFABCBABACCABCBABACABABCBCACBA6735mmmmm7 , 6 , 5 , 3说明：说明：全部由最小全部由最小项相加构成的与项相加构成的与- -或或表达式称为最小项表达式称为最小项表达式，是与表达式，是与- -或表或表达式的标准形式。达式的标准形式。( (都是最小项，不是都是最小项，不是全部最小项全部最小项) )。(1) (1) 定义：定义：最大项是一个或项。最大项是一个或项。 (2) (2) 特点：特点： n n 个变量都出现个变量都出现，每个变量以原变量或反变量的形式，每个变量以原变量或反

38、变量的形式出现一次，且仅出现一次。称这个出现一次，且仅出现一次。称这个或项或项为最大项。为最大项。n n 变量变量有有 2 2n n 个最大项。个最大项。例如：在三变量A、B、C的最大项中：2 2、最大项、最大项 输入变量的每一组取值都使一个对应的最大项的值等于0。当A=1、B=0、C=1时，或或项项（A AB BC C） =0=0。按照上述约定，作出三变量最大项编号表。 如果将最大项为0的ABC取值视为一个二进制数，并以其对应的十进制数给出最大项编号，5 5则则(A+B+C)(A+B+C)可可记记做做MM 。原取原取0,0,反取反取1 1。最大项使最大项为0的变量取值对应十进制数编号ABC0

39、0000011010201131004101511061117CBACBACBACBACBACBACBACBA0M1M2M3M4M5M6M7M（3 3）最大项的重要性质）最大项的重要性质在输入变量的任何取值下必有一个最大项，而且仅有在输入变量的任何取值下必有一个最大项，而且仅有一个最大项的值为一个最大项的值为0 0。1MMji ji 所有最大项之积为所有最大项之积为0 0任意两个最大项之和为任意两个最大项之和为1 1。只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和。之和。例：BACBACBA(4)(4)、用最大项表示逻辑函数的方法：、用最大

40、项表示逻辑函数的方法： 定理：定理：任何逻辑函数任何逻辑函数 F F 都可以用最大项之积的形式都可以用最大项之积的形式表示。而且这种形式是惟一的。表示。而且这种形式是惟一的。用最大项表示逻辑函数的方法有两种：用最大项表示逻辑函数的方法有两种：真值表法真值表法加对乘的分配率及配项法加对乘的分配率及配项法ABCAAABACBABBBCCACBCC证：A+B+C1ABCC1B ACC AB一、一、 真值表法：真值表法：例例：将将F= ABC+BC+ACF= ABC+BC+AC表示为最大项之积的形式。列：F 真值表000000 1 1 0 0 0 0 1 1 001001 0 0 0 0 0 0 0

41、0 010010 0 0 0 0 0 0 0 0 011011 0 0 1 1 0 0 1 1 100100 0 0 0 0 1 1 1 1 101101 0 0 0 0 0 0 0 0 110110 0 0 0 0 1 1 1 1 111111 0 0 1 1 0 0 1 1 ABCCBABCCAF解：把真值表中 F = 0 的输入变量，以最大项的形式表示。输入0 表示原变量，1 表示反变量。 CBACBACBAF521MMM函函数数F= ABC+BC+ACF= ABC+BC+AC既可以用最大项之积表示，又可以用最小项之和表示。M5 , 2 , 1ABCCABCBABCACBAF比较函数比较

42、函数F F的最大项之积和最小项之和表达式，可以发现；的最大项之积和最小项之和表达式，可以发现；只要知道一种形式就可以直接写出另一种表达形式。只要知道一种形式就可以直接写出另一种表达形式。mmmmmm7643076430，由以上讨论可知：全部由最大项相乘构成的或-与表达式称为最大项的标准表达式，又称为标准或-与表达式。3 3、最小项与最大项之间的关系：、最小项与最大项之间的关系： 脚号相同，互为反演。脚号相同，互为反演。iiMm iimM 00MCBACBAm77MCBAABCm 7 . 4 . 3 . 2F74327432mmmmmmmmF 例1:例2:7432MMMM 7 . 4 . 3 .

43、 2DCBAm9 69MDCBAm DCBAm0 150MDCBAm9 . 8 . 7 . 6 . 5F例： 6 . 7 . 8 . 9 .10F 因子相同，互为对偶。因子相同，互为对偶。150Mm 求其对偶式。141Mm 132Mm123Mm 114Mm105Mm 96Mm 87Mm最小项与对偶最小项与对偶项之和为项之和为15.15. 本节主要介绍如何用代数法将逻辑函数简化为最简与-或式。掌握了最简与或式的方法，就可以利用对偶规则化简逻辑函数为最简或与表达式。与项中的变量最少。与门输入端少。与项中的变量最少。与门输入端少。与项的个数最少。与门少，或门输入端少。与项的个数最少。与门少，或门输入

44、端少。最简与最简与- -或式的标准：或式的标准：BAABF例：如果将F进行化简：ABBABAABFAF实现该函数要用两个与门和一个或门。&1ABFB利利用用公公式式 AB+AB= A AB+AB= ACBCBACBBCAF1CBACABCBAABC CCBACCAB ABBABAAB CBCBACBBCAF1 ACBACBA 一、合并项法一、合并项法合并项合并项利用代入规则：利用代入规则：CBG互补率互补率 根据代入规则，公式中A 和B都可以是任何复杂的逻辑式。BB将两项为项这对。合并一，并消去 和一因子AABA CAABBCCAAB ABDDCABCCDBAACF ABDDCBDB1

45、AC ABDDCAC DCAC （合并项）（合并项）（包含律）（包含律）消去多余因子及多余项。利用公式例：化简（吸收律）（吸收律）（包含律）（包含律）ABDDCABCCDBAACF 二、吸收法二、吸收法C CA AABABBCDBCDC CA AABAB利利用用公公式式：A+AB= A+BA+AB= A+BCBCAABF CBAAB CABAB CGG CGGG CG CAB 提公因子提公因子两次求反，一次反演两次求反，一次反演ABG ：令三、消去（项）法三、消去（项）法消去多余因子。消去多余因子。例：化简解：CBCAABF （加对称的分配率）（加对称的分配率）GAB将代入1AA BCCAAB

46、CAAB BACBCBBAF CCBACBAACBBA CBABCACBACBACBBA BBCAA1CBC1BA CACBBA 四、配项法四、配项法利用公式利用公式 利用包含率将二项变为三项（增加利用包含率将二项变为三项（增加BCBC项）再与其它乘项）再与其它乘积项合并。以求得最简结果。积项合并。以求得最简结果。互补律配项，将一项变为两项。互补律配项，将一项变为两项。例：化简解：BACBCBBAF DEFGEFBACEFBDCAABDAADF EFBACEFBDCAABDDA EFBBDCACEFB1A EFBBDCAA EFBBDCA 五、综合法五、综合法合并项法、吸收法、消去法、配项法。

47、合并项法、吸收法、消去法、配项法。)(CAAACAA加对乘分配率： FEDFBFECADBCABAAF DEFFBCEFABDCAABAF FBBDEF1CAA FBBDCAA FBBDCA FBDBACFF 代数化简法优点代数化简法优点 ： 不受变量限制。不受变量限制。缺点：缺点：化简方向不明确，一般采用试凑法，要有一定技巧。化简方向不明确，一般采用试凑法，要有一定技巧。解：首先将或与表达式通过求对偶变为与或表达式，利用公式法在与或表达式中进行化简。（分配率）（分配率）（合并项）（合并项）（包含率）（包含率）（分配率）第二步：将对偶式再次求对偶，得到或与表达式的最简或与式。 对于任何一个逻辑

48、函数的功能描述都可以作出真值表，根据真值表可以写出该函数的最小项之和及最大项之积的形式。A AB BF F0 00 00 00 01 11 11 10 01 11 11 10 0最小项之和：最小项之和：BABAF 2 . 1mm21最大项之积：最大项之积： BABAF 3 . 030MM真值表和逻辑函数的最小项、最大项之间存在一一对应关系。真值表和逻辑函数的最小项、最大项之间存在一一对应关系。 但是把真值表作为运算工具十分不便。用图解化简法，化简逻辑函数方便简单。F = 1 的输入变量组合有 AB = 01、10 两组。F = 0 的输入变量组合有 AB = 00、11 两组。从以上分析中可以

49、看出：真值表例BAF：第三节第三节 逻辑函数的图形化化简逻辑函数的图形化化简如果把真值表按特定规律排列成方格图的形式，这种方格图称为卡诺图。利用卡诺图可以方便地对逻辑函数进行化简。通常称为图解法或卡诺图法。图解法或卡诺图法。3、 卡诺图小方格相邻数卡诺图小方格相邻数 = = 变量数。变量数。2、 每个相邻小方格彼此只允许一个变量不同。通常采用每个相邻小方格彼此只允许一个变量不同。通常采用格雷码排列。保证格雷码排列。保证逻辑相邻，几何位置相邻逻辑相邻，几何位置相邻。一、卡诺图构成一、卡诺图构成二、卡诺图构图思想：二、卡诺图构图思想：1、 n n 变量函数就有变量函数就有 2 2n n 个小方格。

50、每个小方格相当于真个小方格。每个小方格相当于真值表中的一个最小项。小方格的编号就是最小项的编号。值表中的一个最小项。小方格的编号就是最小项的编号。逻辑函数的图形化化简1 1 变量卡诺图变量卡诺图 变量数 n = 1 在卡诺图上有 21 = 2 个小方格，对应m0、m1两个最小项。0 0 表示表示 A A 的反变量。的反变量。 1 1 表示表示 A A 的原变量。的原变量。2 2 变量卡诺图变量卡诺图 变量数 n = 2 在卡诺图上有 22 = 4 个小方格，对应m0、m1、m2、m3四个最小项。每个小方格有二个相邻格每个小方格有二个相邻格：m0和m1、m2相邻。 A A B B 0 0 0 0

51、 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0二变量格雷码排列：二变量格雷码排列： 任何相邻码组之间只有一个码元不同。逻辑相邻，几何位置相邻。ABBABABAAB1m0m2m3m0101A010m1mAA逻辑函数的图形化化简ABC0001101110CBACBACBABCACABABCCBACBA2m0m1m3m4m5m6m7mABC0 00 00 00 00 01 10 01 11 10 01 10 01 11 10 01 11 11 11 10 01 11 10 00 03 3 变量卡诺图变量卡诺图 变量数 n = 3 在卡诺图上有 23 = 8 个小方格，对应八个最小项。每个小方格有三

52、个相邻格。m0 和m1、m2、m4 相邻。m1 和m0、m3、m5 相邻。m2 和m0、m3、m6 相邻。三变量格雷码排列顺序：三变量格雷码排列顺序： 卡诺图小方格相邻数 = 变量数。 小方格的编号就是最小项的编号。 逻辑相邻，几何位置也相邻。要求掌握格雷码排列规律。逻辑函数的图形化化简ABCD0001101100011110DCBADCBACDBADCBADCBADCBABCDADBCADCABDCABABCDDABCDCBADCBACDBADCBA0m1m2m3m4m5m7m6m8m9m11m10m12m13m15m14m4 4 变量卡诺图变量卡诺图 变量数 n = 4 在卡诺图上有 24

53、 = 16 个小方格，对应十六个最小项。每个小方格有四个相邻格。m0 和m1、m2、m4 、m8 相邻。m5 和m1、m4、m7 、m13 相邻。m9 和m1、m8、m11 、m13 相邻。四变量格雷码排列：四变量格雷码排列：A0000000011111111B0000111111110000C0011110000111100D0110011001100110AACCBBD D逻辑函数的图形化化简00000101101000011110ABCDE110111101100m0m1m4m5m12m13m8m9m24m25m28m29m31m27m11m15m7m20m16m21m17m23m19m

54、18m22m30m26m10m14m6m3m25 5 变量卡诺图变量卡诺图 变量数 n = 5 在卡诺图上有 25 = 32 个小方格，对应32个最小项。每个小方格有5个相邻格。m0和m1、m2、m4、m8 、及对称相 m16。m5和m1、m4、m7、m13 、及对称相 m21。m23和m19、m21、m22、m31 、及对称相 m7。m27和m25、m26、m19、m31 、及对称相 m11。找相邻格的方法：找相邻格的方法： 先按四变找先按四变找 再找对称相再找对称相 随着输入变量的增加，小方格数以 2n 倍增加。若 N=6 有 64个小方格，使卡诺图变得十分复杂，相邻关系难以寻找。所以卡诺

55、图一般多用于5变量以内。逻辑函数的图形化化简ABC0001101110卡诺图的目的是用来化简逻辑函数，那么如何用卡诺图来表示逻辑函数？方法有四种方法有四种：1 1、 真值表法真值表法 已知一个真值表，可直接填出卡诺图。方法是：把真值表中输出为 1 的最小项，在的卡诺图对应小方格内填 1 ，把真值表中输出为 0 的最小项，在卡诺图对应小方格内填 0 。例：已知真值表为ABCFm m i i0000m m 0 00011m m 1 10101m m 2 20110m m 3 31001m m 4 41010m m 5 51101m m 6 61111m m 7 7 填有填有1 的所有小的所有小方格

56、的合成区域就是方格的合成区域就是该函数的卡诺图。该函数的卡诺图。01101011ABCD0001101100011110ACBDACABF例：CABDDBDACC ACDDBBCDBADABCDCBAABCDDCBABCDADCABDCAB11141015571213mmmmmmmmm1510, 7 , 5画出四变量卡诺图，并填图： 将 F 中的所有最小项填在卡诺图的对应小方格内。最小项填“1”，其余位置填“0”。2 2、配项法、配项法（四变量函数）（四变量函数）11111111首先通过配项法将非标准与或式变换为标准与或式与或式。即最小项之和的形式。00000000ABCD0001101100

57、011110ACBDACABF：例DDCABCABDCABDCAB1213mm CAB是 m13 和 m12 的公因子所以只要在 A=B=1 ，C=0 所对应的区域填1即可。同理：在 A=0， B=D=1 所对应的区域填1。 在 A=1，C=1 所对应的区域填1。3 3、直接观察法：（填公因子法）、直接观察法：（填公因子法）11111111iiMm 最大项和最小项互为反函数。iimM 因此：在卡诺图上最小项用“1”格表示，最大项用“0”格表示。4 4、 将最小项之和形式化简为最大项之积形式：将最小项之和形式化简为最大项之积形式：任何一个逻辑函数不但可以表示成最小项之和的形式，也可以表示为最大项

58、之积的形式。ABC0001101110 本例说明：任何一个本例说明：任何一个逻辑函数，根据需要可以逻辑函数，根据需要可以用用“1 1”格表示，也可以用格表示，也可以用“0 0”格表示。格表示。例：已知ABCCABCBABCACBACBAFm7 , 6 , 5 , 3 , 1 , 0要求将F表示为最大项之积最大项之积的形式。mF7 , 6 , 5 , 3 , 1 , 0：解 在三变量卡诺图中填“1 1”格表示最小项，其余填 “0 0”格表示最大项。10101111“0”格表示最小项的非。CBACBAFCBACBAFFCBACBAM4 , 242MM ABCD0001101100011110DCB

59、ADCBACDBADCBADCBADCBABCDADBCADCABDCABABCDDABCDCBADCBACDBADCBA0m1m2m3m4m5m7m6m8m9m11m10m12m13m15m14m以四变量为例说明卡诺图的化简方法: 若规定：代表一个最小项的小方格叫做“0”维块。 “0 0”维块：维块： 表示四个变量一个也没有被消去。DCBADCBACDBADCBADCBADCBABCDADBCACBACBACBABCABABAA“0”维块相加 “1”维块“2”维块 “3”维块从上述分析中可以看出：从上述分析中可以看出：二个二个“0 0”维块维块相加相加，可合并为一项，并消去一对有 0，1变化

60、因子。四个四个“0 0”维块维块相加相加，可合并为一项，并消去二对有 0，1变化因子。八个八个“0 0”维块维块相加相加，可合并为一项，并消去三对有 0，1变化因子。m0+m1m3+m2m4+m5m7+m6 将相邻“0”维块相加，可以将两项合并为一项，并消去一对因子。相邻项2、画出表示该函数的卡诺图。3、画合并圈将相邻的“1”格按 2n 圈一组，直到所有“1”格全部被覆盖为止。1、合并圈越大，与项中因子越少，与门的输入端越少合并圈越大，与项中因子越少，与门的输入端越少。2、合并圈个数越少，与项数目越少，与门个数越少合并圈个数越少，与项数目越少，与门个数越少。3、由于由于 A+A=AA+A=A，所以同一个，所以同一个“1 1”格可以圈多次格可以圈多次