模式识别之二次和线性分类器

1、 2.3 二次和线性分类器二次和线性分类器 前面讲的统计决策理论提供了分类器设计的基础。 这一小节讨论二次和线性分类器。所以叫作二次或线性分类器是因为分类（决策）面方程的数学形式是二次或线性的。 这样的分类器又叫参数分类器，因为它们由一些参数所规定（如分布的均值和方差）。非参数分类器以后要讲。 1 这一节的目的（概念）有两个： 在一定的分布和条件下（如正态、等协方差矩阵），贝叶斯决策可以导致二次或线性分类器。 虽然贝叶斯决策（似然比检验）在错误率或风险上是最优的，但必须知道类条件密度。在大多数应用场合，类条件密度函数是从有限的样本中估计的。后面我们将讲一些密度函数估计的方法。但密度函数的估计本

2、身是一件复杂工作（其难度不低于分类）并且需要大量样本。 2 即使我们得到了密度函数，有时用似然比检验的方法也很难计算，需要大量的时间和空间。 因此我们有时考虑更简便易行的分类器设计方法。用二次、线性、分段线性分类器。即先规定分类器的数学形式，然后在适当的准则下，来确定这些参数。 这一节先分析在什么条件下贝叶斯分类器变成二次和线性分类器，然后讨论当这些条件不满足时，如何设计“性能好”的参数分类器。 3一. 两类问题的二次和线性分类器对于似然比检验的决策规则： ,xxx2121Tppl 112112212212PPPPTrrrrxdlp224 当各类的类条件密度是高斯分布时， iiTiinimKm

3、Kpxx2121x1212exp mi和Ki为均值向量和协方差矩阵。 5 这时似然比为 212122111112xx21xx21xmKmmKmKKlTTexp定义 ，-2倍自然对数,则: ln 2xxlh lnln2xxxxx212121221111TKKmKmmKmhTT6 上式是二次分类器。计算x到各类均值mi的Mahalanobis距离，然后和阈值 相比较，决定x属于第一或第二类。 21KKTln7 在一维时，马氏距离 ，即比较用方差标准化的一般距离。 22iimx 展开h(x)式，有 TcbhTT21xAxxx（） 式中 1211AKK1112122mKmKb2121221111KKm

4、KmmKmcTTln8 决策边界h(x)=T是二次曲面（超曲面）：超椭球面、超双曲面、超抛物面、超平面等，或它们组合的形式。 （为了确定二次曲面的形状，首先要消掉x的各分量相乘的项，可采用旋转坐标系的方法，把坐标轴旋转到A（）的特征向量的方向。曲面的几何形状由A的特征值决定。如果A的特征值全部是正的，则是超椭球面；如果特征值有些正，有些负，则是超双曲面；如果有些特征值是0，则是超抛物面。） 9 当x落到决策边界的某一侧时，就把它分到相应的类。也可以把上述二次分类器用到非高斯分布的密度函数，但这时不能保证错误率最小。（但所确定的边界是和二阶统计矩（均值、方差）最相匹配的。） 任何具有（）式的分类

5、器都叫作二次分类器。只有A、b、c是由高斯密度函数确定时，才叫高斯分类器。 10 例例1 1：两维时的二次分类器的决策边界 假定两类模式都是高斯分布的，参数为： 410011K001m100412K202m 0 Th x求 的分类边界，并画出其曲线。 11 解：解： 4141ln2 1004 2 4001 21212121xxxxxxxxh x224422212221xxxxx4444222212221xxxxx443322221xxx123434321222xxx94343232122xx假定T=0，h(x)=T=0化为： 221223432xx，是一双曲线。 1314Pattern Cla

6、ssification, Chapter 2 (Part 1)2215 当先验概率相等时，最小错误率决策规则选择密度函数大的。 由于第二类在x2方向上的方差大于类1的，这样密度函数p(x|2)在x2方向上将有较广的延伸。使得在左边R2区域内有p(x|2) p(x|1)，尽管这些点比较靠近类1的均值点。 在前面的h(x)= xTAx+bTx+c中，如果两类的协方差矩阵相等，K1= K2= K，则矩阵A=0，这时决策规则为： 16 这时的决策边界就退化为线性决策边界（超平面），相应的分类器为线性分类器。 TcbhT21xx1212mmKb212111mKmmKmcTT式中 17二. 判别函数和多类

7、分类器 1.判别函数 当模式有 类，这时的最小错误率的决策规则可以表示为： 2cN若 ikkigg maxxx（） 式中 ckrkNkPg， 2 1 xx 称为判别函数（discriminant function）。它表示决策规则。 xkg18 由贝叶斯公式， 和 等价。即把 用在（）式中时，决策结果和 是一样的。 当先验概率相等时，p(x|k)也是一组等价的判别函数。 一般地，若 是任意一组判别函数，则下面定义的 也是一组等价的判别函数： a0,b是常数。（也可以是x的函数，但不能是k的函数。） krkkPpgxx xkg xkg xkg xkg ckkNkbagg， 2 1 xx xkg1

8、9 同样，若f是单调增函数，则 它和 也是等价的判别函数。 这些性质可以使我们从一组判别函数推导出另外的判别函数，以便计算上更加简单，或者意义更清楚，便于理解。 xkg ckkNkgfg， 2 1 xx20 当每类都是正态分布，其均值和协方差矩阵分别为mk和Kk时，这时的最小错误率决策规则的判别函数为： 2.多类的二次和线性分类器 kkTkknkrkmKmKPgxx212x1212exp 由于自然对数是单调增的，所以可以定义下面等价的判别函数： 21 ln2xln2xnggkkkrkkkTkPKmKmln2lnxx1（） 这是二次判别函数。当所有类的先验概率相等时，可以省略 。 krPln 前

9、面已经证明，当两类的协方差矩阵相等时，二次分类器退化为线性分类器。多类时也是如此。 22 当 时，（）式化为： 上式中，由于第一项和第四项对所有的类都是相同的，所以等价的一组判别函数为： KKKKcN21 krkTkTkTkPkmkmkmkgln2ln2111xxxx ckrkTkTkkNkPmkmkmg， 2 1ln2211xx（） 上式是x的线性函数。 下面考虑一些特定情况，说明二次和线性分类器的应用。 以下假定各类的先验概率都相等。 23 例例2 2：最小距离分类器。假定各类的先验概率相等，而且各类 ，即x的各个分量不相关，且各类等方差。 解：这时的判别函数化为（P22（）式 ）： 后两

10、项对所有类是共同的，可以省略。分母中的 也可以去掉，因而有等价的判别函数： ckNkIK， 212 krkkPnmgln2ln2xx222 2kkmgxx 这时的决策规则的含义是：x离哪类的均值最近，就把它分到哪类。 24 例例3 3 ：内积分类器（相关分类器） 有 假定 。利用线性判别函数 若进一步假定每类的均值的模相等，即|mk|相等，它们分布在半径为|mk|的一个超球面上，且由于假定先验概率也相等，因此，等价的判别函数为： ckNkIK， 212 krkTkTkkPmKmKmgln2x2x11 krkTkkPmmgln22222xx25 jdjjkTkkxmmg1 xx 即将测量向量x和

11、每类的均值mk作内积（或称相关），然后选择值最大的，作为它的类。 上述例子是通信理论中信号检测的一个经典例子。 假定有Nc种已知信号要检测。令x(t)表示接收到的信号，mk(t)是已知的信号，k=1，2，Nc 。当mk(t)发送时，加入了白噪声w(t)， 26 白噪声w(t)是零均值、等方差、不相关的信号（随机过程）。即在任意时刻ti，w(ti)的均值为0，方差为 ，且当 时， 。 即： twtmtkx2ijtt 0jitwtwE 如果随机向量x和mk是由相应的时间函数取样而成，即2728 已知信号 21mkkkktmtmtmm 白噪声 0022twtwEtwEtwE 噪声信号mtxtxtx2

12、1x 这是一个相关分类器（内积分类器）的模式识别问题。 假定|mk|2相等，即所有的信号具有相等的能量。 29 把接收到的信号和已知信号作相关mkTx，然后选择相关最大的。作相关时通常通过一个“匹配滤波器”来实现。 选择最大的输出 匹配滤波器1 匹配滤波器2 匹配滤波器Nc 30 在连续时，判别函数： dtttmxmmgTkjdjjkTkkxxx01 另外，mk和x间的相关也可以通过一个线性滤波器的输出来实现。 构造一个函数gk(t)，使满足 gk(Tt)=mk(t)，则 （线性系统的杜哈美尔积分） dtttTgdtttmTkTkxx0031 即滤波器的输出是相关值，而滤波器的脉冲响应是gk(

13、t)，匹配滤波器可由专门的仪器来作。 * 可以把上面的线性分类器的讨论再进一步。在线性分类器 ckrkTkTkkNkPmKmKmg， ln212x2x11中，如果把向量在K的特征向量的坐标系下表示（作变换），并作比例变换使所有分量的方差变为1，这时，线性分类器将作mkTx相关运算。在通信问题中，如果噪声信号是相关的，而且方差是变化的，那么最优的信号检测是使噪声变为不相关的，然后作相关或匹配滤波器运算。 32三. Fisher线性分类器另一种决策准则（另外一种解决思路） 在前面一节中，我们讨论了两种形式的分类器，在n维空间内分析了它的判别边界。其中分类的参数如A、b、c和T都是确定的，如果模式满

14、足高斯分布，那么分类器可以使错误率、最小风险或者NeymanPearson准则最小。 33 但在某些情况下，不知道类条件密度函数，因此不可能找出最优分类器。 在另外一些情况下，虽然可以对类条件密度进行估计，但推导最优分类器的计算量太大。 因此，实际工作中，一般是先假定一种分类器的数学形式，如线性或二次分类器，然后确定它的参数，使它对某种适当的准则函数最优，如类间的分离性等。在一般情况下，这种准则函数不一定是错误率，而是更加简单和易于分析的。 34 人们在线性分类器上作了许多工作。这不仅因为它形式简单，而且用分段线性的组合可以任意逼近复杂的决策边界。我们先介绍其中的一种：Fisher线性分类器（

15、两类问题）。 线性分类器的形式： cbhTxx寻找分类器的参数，能够使以下的Fisher准则函数最大：2221221F（3.21） 35（3.22a ） 式中 iihEx 2 , 1x22ihEiii （3.22b） 希望使两类的均值离得越开越好，而方差尽可能的小。回想一下，若有 Axy 即 xyAAx ETAAKAEKxyx 36（3.23a ） 这时h(x)（分类器的输出）的均值和方差为 （3.23b） 方程（3.21）和参数c无关（相减），因此c可以包括到阈值T里去。因此只要找出b就可以了。对准则函数求导并令其等于0，有 变换后的均值和方差 cmbiTi212，ibKbiTi 37222

16、221212211FbFbFbFbbF022212222122121222121bKbKmm（3.24） 21121212221mmKKb（3.25） 38 利用（3.23）式可以求出 、 、 、 ，然后代入上式，但为了简单，有时就把b定为 1221222112121mmKKb（3.26） 而把项 放到阈值里去。 21222139 这样分类器的形式就成为： TKKmmT2112121x21当K1=K2=K时，（3.26）式的b和（3.9 a）的成比例。这样，当模式满足高斯分布，且协方差矩阵相等时，使Fisher准则最优等价于最小错误率最优。1212mmkb40小结小结 这一章首先讨论了一些简单

17、的决策理论 最小错误率、风险、NeymanPearson 似然比检验，只是阈值不同。 最小最大决策，当先验概率变化时，使最大的错误率最小。 序贯决策：测量的维数可变时，分析了阈值和错误率间的关系。在独立同分布的假定下分析了维数的期望值。 41 这一章还介绍了线性和二次分类器 对于多类模式识别问题的判别函数。 讨论了最近距离分类和相关分类。 讨论了两类问题的一种线性分类器Fisher分类器。在高斯分布、等协方差矩阵的情况下，Fisher分类器等价于最小错误率分类器。 42 * 这类线性分类器的更一般解法 线性分类器是最容易实现的。然而，只在正态分布和等协方差的情况下，线性判别函数才是贝叶斯意义上

18、最优的。 在通信系统的信号检测中，等协方差矩阵是合理的。但在不少应用场合，并不满足协方差矩阵相等。 在设计正态分布、不等协方差的线性分类器，在设计非正态分布的线性分类器上有不少研究成果。当然，它们不是最优的。但简单易行，可以补偿性能上的损失。下面我们更一般地讨论这一问题。 43令 0210vhTxvx任务是要确定 和 。 Tnvvv，21v 0vxvyT表示x在V方向上的投影。投影后的均值 和方差 是衡量类可分性的一个准则。 i2i44投影 比 要好。投影后的均值 和方差 是衡量类可分性的一个准则。 vvi2i45 0vmhEiTiivx vvx2iTiiKhVar令 是任一准则函数（要最大或

19、最小的），要确定使f最大（小）的v v和v0。 222121，fvvvvv221122222121fffff02201102222021210vfvfvfvfvf46由于 v2v2iiKiimv002vi10vi代入，有： 0v2212211222121ffmfmfKfKf47由以上两式可以计算出v，但由于错误率只依赖v的方向，而不是它的大小。因而可以消去v的常数系数（不是mi和ki的函数）。 解出： 121211vmmKssK式中， 222121fffs48 注意，上面得出的v和f无关，f只是出现在s中。 回想在正态、等协方差的情况下，有 这里是用s和(1s)对K1和K2作加权平均。当f的具

20、体形式给出后，v0是 的解。1212vmmK021ff49例例1：Fisher线性分类器。 2221221f 222212212221ff因此s0.5 Fisher准则不依赖于v0。因为v0从 和 相减中消失了。 121212121mmkkv最佳的1250例例2：另种准则是 解出后有 Fisher准则不能确定v0。 类内散度类间散度 222211222211ppppf1ps 1212211vmmKpKp22110mpmpvTv512.5 分类器的错误率问题 对样本进行分类是PR的任务之一。在分类过程中总会有错误率，当先验概率和类条件密度函数已知，采用的决策规则也确定后，错误率也就固定了。 错误

21、率反映了模式分类问题本身的固有复杂程度。也是衡量分类器性能的重要指标。分类器是否和要解决的问题相匹配。一. 错误率的计算和估计 52 xxxxdpPdpPePRrRr 122211 ePPePPrr2211 从上式可以看出，在x是多维时，P(e)的计算要进行多重积分。当类条件密度函数的解析形式比较复杂时，P(e)的计算相当困难。错误率的计算公式前面已经分析，对两类问题：53 由于错误率对模式识别系统的重要性和复杂性，人们对错误率的计算和估算方法进行了大量的研究。方法主要有以下几类： 按公式计算错误率； 估算错误率的上限； 从实验中估计错误率。 这一小节先讨论前两种方法。 54 正态分布且等协方

22、差矩阵时； 当x的各分量间相互独立时； （参考清华的书，略）。 下面讨论估计错误率上限的方法 二. 在一些特殊情况下错误率的计算 55 模式可分性度量反映了模式分类的困难程度，和错误率有密切关系。既有理论上的意义，也用在特征抽取和选择等问题上。这一节介绍模式可分性的两种重要度量：偏离度（divergence）和Bhattacharyya距离。 （泾渭分明，西瓜瓤和籽） 先对一般的概率密度函数定义这两个量。然后在多元高斯情况下，看看会有什么结果。 三. 模式可分性的度量 56 对于对数的似然比检验： 也是一个随机变量。它可以用两个密度函数 和 来描述。如下图所示，当两个密度函数偏离较大时，错误率

23、一定低，反之会大。 1.偏离度和Bhattacharyya距离 Tppxxlnx211p 2p 57两类模式可分性的一种度量是它们均值的差 ，称为偏离度D 。2158偏离度的定义为： 21xxEED xxxxxxxxdpppdppp221121lnln定义量： ijiijippEdpppjiHxxxxxxlnln，称为有（单）向偏离度，或第i类相对第j类的相对信息。有些作者称它为Kullbackliebler数。 59由上两式可知 1221，HHD 这样，当相对信息H(1，2)和H(2，1)大时，D也大，可分性好。 可分性的另一种度量是Bhattacharyya距离： B21lnlnxxxdp

24、pB而量 ，有时称为Bhattacharyya系数。 xxxdppeB21B60 这两个量比起偏离度来，直观上更难解释。但若将 写为： B 221221BppEdpppxxxxxx 我们可以给出Bhattacharyya距离的一种解释，如下图： 6162 若原来的两个密度函数分的较开，则f相对于2的期望将较小（1）。 这时的ln值将会大，Bhattacharyya距离将会大。 63 反之，若p1 (x)和p2 (x)近似重叠，则期望值将较大，ln将较小。即Bhattacharyya距离小。如下图： 64 偏离度和B距离是真的距离度量吗？ 偏离度和Bhattacharyya距离都满足： 1.在一

25、对一的线性变换下不变；2.当x的分量独立时，这两个量都满足相加性（对每个成分）。 65 令 表示偏离度或Bhattacharyya距离，有： 21Jd，21210Jd ，02211JJdd，1221JJdd， 但它们都不满足距离的三角不等式，所以都不是真实的距离。但它们满足下面的性质： 21121JJdd，66 对于高斯分布的数据，可以推导出它的偏离度的封闭形式解。 2.高斯分布下的偏离度和Bhattacharyya距离 12111121222121xx21xx21xxKKmKmmKmppTTlnln而 12122xx2121mKmEHT，121111121xx21KKmKmETln67由于

26、iiTiiiTimxKmxtrmxKmx11而且由 ABtrBAtr有 11111xxmKmETItrKtrKmmtrKET11111111xx68和 12122xxmKmET12212xxmmtrKETTmmmmKtrK2121112211221112mmKmmKtrKTI1122121KKtrH ，122112212121KKmmKmmTln69同样，有： I2112112KKtrH，211211122121KKmmKmmTln 1221，HHD2112112121mmKKmmTI221112211KKKKtr 这就是高斯分布的偏离度。 70 对于高斯分布的Bhattacharyya距离，

27、有相似的推导。 xxxdppB21ln412411221lnKKn xxxxx21221111dmKmmKmTT41-exp71其中的指数项可以化为： 21221111xxxxmKmmKmTT41111111111x2xxmKmKmKTTT41212212212x2xxmKmKmKTTTcmKmKmKppTppTppT111x2xx21可以化为72其中12111KKKp21212111mKmKKmpp21ppTpTTmKmmKmmKmc12122111124173 2124124112121pncPKeKKKBlnxxx1dmKmppTp21-exppKKKc21221121ln74可以证明

28、ppTpTTmKmmKmmKmc12122111124121121212mmKKmmT81（） 以及 2122112121221121KKKKKKKp（） 75证明的思路和技巧：定义量 先证明 21KKKA21111121211pAAKKKKKKK由此再证： 111212111KKKKKKKppA以及 2121111， iKKKKKipiiA76由上面各种关系证明（）和（）。 这是对于高斯分布的Bhattacharyya距离。 21221121211212121212KKKKmmKKmmBTln8177由上式的B和前面的 可以看出，当两类的协方差矩阵相等时，K1= K2= K， 此时的D 和B

29、 是等价的度量，而且和两类均值间的马氏距离等价。说明D 和B 确是两类间偏离和距离的一种度量。 2112112111221121221mmKKmmKKKKtrDTIBmmKmmDT82112178 上一小节定义了偏离度和Bhattacharyya距离。下面分析它们和错误率的关系。 这一节讨论似然比检验的错误率的上界。它们是基于Bhattacharyya距离及其推广。 四. 错误率的Bhattacharyya和Chernoff界 1.最小错误率的上界 最小错误率（有时也叫贝叶斯错误率）eB 为：79 xxxx122211dpPdpPeRrRrB xxxdpPpPrr min-2211，利用不等式 0 minbaabba，上式可以化为： xxx212121dppPPerrB 即 BBrrBeePPe21212211 这个结果称为Bhattacharyya界。 B21lnlnxxxdppB xxxdppeB21B80若利用不等式 和前面的推导一样，可得更一般的Chernoff界： 式中 对于高斯密度函数，可以解出上面的积分，得 10 min1sbabass， 1121sePPessrsrB0 1xxx121sdppsss0 ln-81 21121