基于直觉模煳信息多属性群决策的新方法

1、a new method of multi-attribute large groupdecision making based on intuitionistic fuzzyinformationtao zhifu, chen huayou, liu xi(anhui university, school of mathematics science, anhui, hefei, 230039)abstract: the comparing possibility and numerical multiplication of intuitionistic fuzzy information

2、, and the multi-attribute group decision making based on intuitionistic fuzzy information and unknown weights of each attribute. some models on the basis of intuitionistic fuzzy entropy weights and relative entropy theory are contributed, their solutions arc discussed, through which the correspondin

3、g objective weights of each attribute and the final weights of each scheme, and then obtain the order of all schemes based on the final scheme weights. finally, a numerical example is introduced to show the application of this method.key words: multi-attribute group decision making, intuitionistic f

4、uzzy information, entropy, relative entropy, possibility基于直觉模糊信息多属性群决策的新方法陶志富，陈华友，刘兮（安徽大学数学科学学院安徽合肥230039）摘要：给出了直觉模糊信息的比较可能度和数乘运算的概念，考虑了基于直觉模糊信息且属性权重完全耒知的多属性群 决策问题。基于直觉模糊爛权理论和相对爛原理建立相应最优化模型，讨论了模型的求解，获得了属性的客观权重和方案的 最终权重，并依据方案的最终权重对方案进行排序。最后，通过一个算例农明所提方法的冇效性。关键词：多属性群决策，直觉模糊信息，爛，相对爛，可能度中图分类号：c934； n945

5、文献标识码：a群决策问题已经成为涉及数学、经济学、管理科学和决策科学等多门学科的研究的共同课题。对于通 常的同类群体决策问题已有很多有效的研究成果。文献1,2对已有的群决策理论成果进行了总结和分析。 文献3就属性值为确定信息的多方案多属性人群体的决策问题进行了研究，该方法将单方案人群体偏好模 型与算法推广成多方案大群体偏好模型与算法，获得大群体偏好矩阵，并利用爛权法获得各个方案的排序 权重，最后获得综合评价值欠量。但是，随着社会的进步利经济的发展，对丁经常遇到的一些群体决策问 题，实际的决策过程中，受决策者阅历和个人偏好等不确定性因素的影响，决策者对于方案的评价信息往 往存在不确定性，表现为决

6、策信息的模糊性，文献4研究了基于不同形式偏好信息的群决策问题，考虑将 不同形式的决策偏好信息转化为效用值，应用相对爛原理建立最优化模型求解获得方案的权重和排序结果。 直觉模糊信息用于衡量方案符介准则的程度，已经在能决策问题中获得了成功的应用低61,但是将爛权理论 应用于基于直觉模糊信息的群体决策问题的研究尚不多见，本文即对于该问题进行讨论。群决策问题的关键即是要寻找一种对决策群体公平的规则対个体决策者的偏好进行集结。为了充分利 用决策信息，给出多方案多属性群决策问题的客观分析方法，本文首先基于嫡权理论和相对爛原理给出每 个准则的客观权重，从而将多方案多属性群决策问题转化为一般的群决策问题，随示

7、考虑各准则下基于方 案综合模糊信息的互补比较判断矩阵获得的方案权重与方案实际权重差异及准则权重信息，建立基于相对 嫡原理的最优化模型，讨论了模型的求解，得到方案最终排序权重并比较获得各方案排序结果。最后，通 过一个算例，表明所提方法的可行性。1预备知识定义1. 15设x = xpx2,%为非空冇限集，称a = xia心 )卜w x为x上的一个直觉模糊集,其中,va :x->0,1分别表示元素x属于集合a的隶属度和非隶属度,且对于4上的所 有 x , 0< “a (x) + "a (x) s 1 成立。称g (x) = 1 - “” (x)-i/4 (x)为x属于集合a的犹

8、豫度，是x属于集合a或x不属于集合a的犹豫程度的i种测度。易知，05百(只)51。若71a (x) = 0 ,则“人(/) +匕(/) = 1 ,此时集合a退化为一般的模糊集。其中，直觉模糊集a中的元索&称为直觉模糊数，简记为心“°。定义12设心仏必，d仏匕分别为两直觉模糊数，2为任意正实数，则定义肓觉模糊数的相关 运算如下：(1) +“2“2，1/1“2；(2) 加=1 (1-“)"，/)；(3) (1 1/门。定义13设& =“,，门仏，分别为两直觉模糊数，贝两直觉模糊数比较的可能度公式定义为(1)max(0,街 + 兀？ _ max (0j-v2 -

9、“)特别地，当街+©=()时，比较的可能度公式定义为p(t=眷依据定义，两直觉模糊数比较的可能度公式满足如下的性质：(1) o<p(a>)<i ；(2) 若有 p(a >= p(b > tz),则w p(a > /?) = pb > «j=0.5；(3) p(&n5) + p(5") = l；对于任意三个直觉模糊数&,恥，若有p(a>)>0.5,p(/;>c)>0.5，则p(«>c)>0.5o定义1.4 71实值函数h:h(a)t0,1定义为直觉模糊集a = a

10、，d(x)y(x)|"x的爛，其定义式可 表达为h(a)= -一 £/, (x)ln/a (x) +va (x)ln va (x)- (1(x)ln(l(x)-4 (x)ln2.n in 2 /=i文献7系统研究了直觉模糊信息的测度，将（2）作为一种具体的直觉模糊爛，并证明其为一种冇效的 直觉模糊爛。定义 1.5 设x.,）；. >o,z = 1,2,且 1 = £兀 > 2ly>，则称1=1 /=1/z（x,y）= £xj loga/）.（3）/=!为x相对于丫的相对爛，其中x=（g,e）, 丫 =（儿，儿，,儿）。定理1山引若/?（

11、%,/）为x相对于丫的相对爛，则有（x,y）= 丫旺i°ga 心）°且等号成立当且 1=1仅当石=y,（z = 1,2,-,/?） o定理1表明两个离散概率分布x和y完全相同时，x相对于丫的相对爛达到了最小值，因而可以用 相对爛来度量二者的符合程度。2基于直觉模糊信息多属性群决策的新方法2.1问题描述设群体口中冇/个决策者，对于某个具冇加个方案的方案集p就n个准则进行评价，这里易知冇 /,zn,nez+o同时设集p = ppd2,£>/为决策成员集,集p = 呂，角，,/? # c = cpc2,-,cj分别为方案集 合决策属性集,令必=心切表示第i个决策者

12、在第j个准则下对于第£个方案满足该准则程度的评价, 这里= 1,2,=k =1,2,-,/?2 o对于每个方案k ,设叫=（“彳，硝）（r = 1,2,.,加）表示所有决策者给出的笫个方案符合各个准则的判断矩阵，决策者权重d二d显2,，4依据已有的信息可以假设为已知, 则依据决策者权重及决策者给出的每个方案满足评价属性的模糊决策信息给岀各个方案的合理排序。2.2基于爛理论和直觉模糊信息的多属性群决策方法群决策的关键在于如何获得一个合理的准则权重，数据信息zi'可的差界越小越不利于做出决策结果， 反之则越易，因而依据数据信息本身所蕴含的信息量所获得的权重信息是较为客观的。爛作为

13、一个度量信 息状态不确定性的尺度，可以用來确定不确定环境下各准则的爛权。第比个方案的直觉模糊判断矩阵可以表示为'必，昭，心唸，,，屹）、mk=心吃），心唸，,心此） 3,咗）,m2,唸），（血说）丿mj勺第;（j = 1,2,.-,h）列表示各决策者认为第r个方案满足第j个准则的程度，因而依据定义1.3第r 个方案下，各决策者给出的模糊判断信息所获得的各准则下的爛可以表示为h： =-山城（兀）+卅（兀）12；（兀）-（1 -对）in （1-石）-尤（兀）in 2 f in / i=i山爛的定义，不确定信息间差界越小，爛值越大，越不利于获得决策结果，因而赋予其一较小的权重, 可将爛权值定

14、义为wj =7>1(5)川则所有方案下各准则得到笫个方案下依据其判断信息获得的各准则的客观权重町=（n< 的客观权重构成一权重矩阵，记作设准则最优权重为（吗，灼，叫），式（6）中的每一行可视为每个方案下由所冇决策者所给出的准则概率分布，由和对爛的概念，其与最优准则权重的概率分布w的差界应越小越好，为此，构造如下最优 化模型minfc=i y=iwk;m t'wj >0,丿= 1,2,”；=i定理2式（6）确定的最优化模型有全局最优解其中 川/? 也(8)/xrij=1,2,/?.*=| / ;=1 *=|事实上,对于模型（6）,构造如下的lagrange函数m n/

15、、 vv(n*=l j=j k宀丿+ 2工叫-1i j=/(9)其中久为lagrangian乘子，山极值的必要条件，令dl/dw. = 0j = 12,，dl（w）/da =0 ,有吕 wi(10)£ log- + 1 +2 = 0 “iwj 丿£yi=oj='解上述方程组（10）即可得到唯一的驻点m/ n mvv； = pi=a=1/ >1 k=依据定义1.2和决策者的权重信息d对忆中的每一列进行集结，获得各决策者对于每个方案的综合评价模糊信息，记为表示第p个方案满足第八"1,2,冲;八1,2,/）个准则的模糊程度,且所有方案的综合模糊评价信息构成

16、的模糊评价矩阵记为m =(必)，其中m的第/行表示各个方案在第丿个准则下的 j /nxm综合模糊评价。对于基于直觉模糊评价矩阵的群决策问题已有相关研究成果s3,但是依据准则权重集结进而应川直觉 模糊集的得分函数或楮确函数进行排序存在一定的主观性，因而本文基于直觉模糊集的比较可能度公式结 合爛理论建立最优化模型求解获得方案的最终客观权重。依据综合模糊评价矩阵m和定义1.3,对于每个准则下的各方案模糊评价值两两进行比较，得到各方 案在第/个准则下的判断矩阵，记为厶，这里)= 1,2,丿，可表示为j.- w/) x (p,qi,2,2).(11)几由定义i.3可知厶为互补判断矩阵。基于模糊互补判断矩

17、阵的排序方法很多，这里采用文献11提出的对应于模糊互补判断矩阵厶的排序 向屋的计算公式(12)这里 = 1,2,冲;)= 1,2,忤表示决策者在第丿个准则下对第卩个决策方案与其余加-1个方案两两比 较所获得的排序权系数，其值越大表明该方案越重耍。设各方案的最优权重向量为/=(£,£,/”)，基于(12)式比较所获得的排序权重应与方案实际的最 优权重越一致越好，采用相对爛进行度屋，则结合各准则权重信息忒构造如下最优化模型:minre ( w) = £ w； £ fp log(13)丿=ip=ii丿m xa =1，/p >0,p = 1,2,/

18、1;. p=i模型(13)利用相对爛考虑依据各准则下的模糊综合评价信息比较所获得的排序权璽与方案实际权重 信息间的差异，同时考虑准则权重的彩响建立最优化模型。定理3模型(13)确定的最优化模型有全局最优解/4其中/；=冇他广/£冇(广'1'2,，加.(7=1/ pi /=定理3的证明在文献1中已有较为详尽的讨论，在此略去。从而，可依据式(14)所确定的各方案的最优权重对方案进行排序，其中，权重越大者越优。3算例分析对文献10所给算例进行分析。考虑某个决策问题：方案集xpx2,x3,属性集为c = cvc2c4,三个专家d =窝出&给出的直觉模糊评价矩阵分别为&

19、#39;0.2,0.6)06,0.20.4,0.506,0.2、m, =(0.3,0.6)(0.8,0.1)0.6,0.10.4,0.5；二0.1,0.50.8,0.207,0.20.5,0.4丿'().6,0.20.2,0.606,0.30.4, ().5、m2 = «).6,0.304,().50.5,0.3().5,().4；、0.6,().20.4, ().60.6,0.40.3,().5丿<().5,().4«).3,0.6«).2,0.6«).4,().5、=0丄().6)0.3,0.5)0.2,().5)0.3,().5)。0

20、.2,0.70.4,0.60.2,0.70.5,0.3)由文献9的专家可靠性可设各专家的权重分别为4 =0.332,2 = 0.3331,心=0.3349 ,试给出最优方案。 以冏为例，计算4个属性下的爛为h； = 0.8552, £ = 0.7080,=0.8313,= 0.9443 .应用(5)式计算方案&下各准则的爛权为w； = 0.219,时=0.442,叶=0.255,耐=0.084 .类似地，可计算其余方案下专家所给信息的各准则爛权分别为= 0.234, w； = 0.647,吋=0.087, vv； = 0.032 ； 叶=0.427,阴=0.117, = 0.

21、387,吋=0.069。通过(8)式计算得各属性的最优权重为：w； =0.621,vv：=0.167,w；=0.211,i< =0.001。其次，依据专家权重集结各方案的综合评价矩阵分别为'(0.204,0.564)(0.748,0.159)(0.584,0.215)(0.507,0.342)、m=(0.600,0.229)(0.340,0.565)(0.569,0.330)(0.405,0.464).0.28 & 0.552)(0.335,0.565)(0.200,0.595)(0.406,0.421)丿因而，依据定义1. 3和上述综合评价矩阵获得各方案在相应准则下的互

22、补判断矩阵分别为:p.50 0 0.38、"0.5011 ''0.50 11、<0.50 0.90 0.78、1 0.51:j2 =00.5 0.51；丿3 =00.50 1；人=0.10 0.50 0.43j).62 0 0.5 丿、00.49 0.5 丿<00 0.5丿(0.22 0.57 0.50丿从而依据(12)式计算基于各准则下综合模糊信息互补判断矩阵的方案权重分别为：w =0.23, w； =().5,些=0.27 ；wp = ().5, w2 = 0.252, vv32 = 0.248 ；vv15 = 0.5, %3 = 0.33,出3 =

23、07 :vv14 = 0.446, w24 = 0.255, w乂 = 0.299。结合各准则权重应用(14)式计算各方案的最优权重为：< =0.322,/； =0.427,厶* =0.251.从而方案的最终排序为x2r/ax3,即最优方案为方案x?,与文献9的专家群体评价和“理想”专 家评价的一致性程度排序最优方案一致。4结语木文直觉模糊爛值的概念和相对爛的原理，考虑了基于直觉模糊信息的多属性群决策问题。首先给出 了知觉模糊数的比较可能度和数乘运算的定义，其次应用肓觉模糊信息的爛和相对爛原理给出各属性的爛 权，随后基于直觉模糊信息比较可能度的定义考虑方案的比较权重，最后，结合准则嫡权和

24、方案的比较权 重建立最优化模型获得各方案的最终合理权重并排序，通过一个算例表明所提方法的有效性。参考文献i 1 邱苑华.管理决策与应用爛学im i.北京：机械匸业出版社，2001. 10.(qiu wanhua. management decision and application of entropy thcorym. beijing: machinery industry p沧$,2001.10.) 徐玖平，陈建中群决策理论与方法及实现m.北京:清华大学出版社,2009. (xu jiuping, chen jianzhong. group decision making theory,

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