学子教育全国中考数学压轴题版

1、2009 年全国中考数学分类试题-综合题压轴题汇编4 教师答案版1 （09 湖北鄂州） 27 如图所示， 将矩形 oabc 沿 ae 折叠，使点 o 恰好落在bc 上 f 处，以 cf 为边作正方形cfgh，延长 bc 至 m，使 cm cfeo，再以cm 、co 为边作矩形cmno (1)试比较 eo、ec 的大小，并说明理由(2)令；四边形四边形cnmncfghssm，请问 m 是否为定值若是，请求出m 的值；若不是，请说明理由(3)在(2)的条件下，若co1，ce31，q 为 ae 上一点且qf32，抛物线 ymx2+bx+c 经过 c、q 两点，请求出此抛物线的解析式. (4)在(3)

2、的条件下，若抛物线ymx2+bx+c 与线段 ab 交于点 p，试问在直线bc 上是否存在点k，使得以p、b、k 为顶点的三角形与aef 相似若存在，请求直线kp 与 y 轴的交点t 的坐标若不存在，请说明理由。27、（ 1）eoec，理由如下：由折叠知， eo=ef，在 rt efc 中， ef 为斜边， efec， 故 eoec 2 分（2）m 为定值s四边形cfgh=cf2=ef2 ec2=eo2ec2=(eo+ec)(eo ec)=co (eoec) s四边形cmno=cm co=|ceeo|co=(eo ec) co 1cmnocfghssm四边形四边形4 分（3） co=1，323

3、1qfce，ef=eo=qf32311cosfec=21 fec=60，3060260180eaooeafea， efq 为等边三角形，32eq5 分作 qieo 于 i，ei=3121eq，iq=3323eqio=313132q 点坐标为)31,33(6 分抛物线y=mx2+bx+c 过点 c(0，1)， q)31,33(，m=1 可求得3b，c=1 抛物线解析式为132xxy7 分（4）由（ 3），3323eoao当332x时，3113323)332(2yab p点坐标为)31,332(8 分bp=32311ao 方法 1：若 pbk 与 aef 相似，而 aef aeo ，则分情况如下：

4、3323232bk时，932bkk 点坐标为) 1 ,934(或) 1 ,938(3232332bk时，332bkk 点坐标为)1 ,334(或)1 ,0( 10 分故直线 kp 与 y 轴交点 t 的坐标为) 1 ,0()31,0()37,0()35,0(或或或12 分方法 2：若 bpk 与 aef 相似，由（ 3）得： bpk=30 或 60，过 p 作 pry 轴于 r，则 rtp=60或 30当 rtp=30时，23332rt当 rtp=60时，323332rt) 1 , 0()31, 0()35, 0()37, 0(4321tttt，12 分2（09湖北恩施）七、解答题 (本题满分

5、 10分) 23. 恩施州自然风光无限，特别是以“ 雄、奇、秀、幽、险” 着称于世 .着名的恩施大峡谷（a）和世界级自然保护区星斗山（ b）位于笔直的沪渝高速公路x同侧， ab=50km,a 、b到直线 x的距离分别为10km 和40km,要在沪渝高速公路旁修建一服务区p,向a、b两景区运送游客. 小民设计了两种方案，图10（1）是方案一的示意图(ap与直线 x垂直，垂足为 p),p 到a、 b的距离之和 s1=pa+pb ；图10（2）是方案二的示意图( 点a关于直线 x的对称点是 a，连接 ba 交直线 x于点 p),p到a、b的距离之和 s2=pa+pb. (1). 求s1 、s2 ,

6、并比较它们的大小. (2). 请你说明 s2=pa+pb 的值为最小 . (3). 拟建的恩施到张家界高速公路y与沪渝高速公路垂直，建立如图所示的直角坐标系，b到直线 y的距离为 30km,请你在 x 旁和 y旁各修建一服务区p、q,使p、a、 b 、q 组成的四边形的周长最小 . 并求出这个最小值. 23.解: 图 10（ 1）中过 b作 bc ap,垂足为 c,则 pc=40,又 ap=10, ac=30 1分在 rt abc 中， ab=50 ac=30 bc=40 bp=24022bccps1=10240 2分图 10（2）中，过b作 bc aa 垂足为c，则 ac=50，又 bc=4

7、0 ba=4110504022由轴对称知： pa=pa s2=ba=4110 3分1s2s 4分(2) 如 图 10（2），在公路上任找一点m,连接 ma,mb,ma ，由轴对称知ma=ma mb+ma=mb+maab s2=ba 为最小 7分（3）过 a 作关于 x 轴的对称点a, 过 b 作关于 y 轴的对称点b，连接 ab, 交 x 轴于点 p, 交 y 轴于点 q,则 p,q 即为所求分过 a、 b 分别作 x 轴、 y 轴的平行线交于点g, ab=5505010022所求四边形的周长为55050 10分3（09湖北恩施）八、解答题 (本题满分 12分) 24. 如图，在abc中，a9

8、0，10bc, abc的面积为25，点d为ab边上的任意一点(d不与a、b重合 ) ，过点d作debc，交ac于点e设xde以de为折线将ade翻折，所得的dea与梯形dbce重叠部分的面积记为y. （1）用 x表示 ?ade的面积 ;图11（1）pxbapxbaqyba（2）求出0 x5时y与x的函数关系式；（3）求出5x10时y与 x的函数关系式；（4）当x取何值时，y的值最大最大值是多少24. 解 :(1) de bc ade= b,aed= c ade abc 2)(bcdessabcade即241xsade 3分(2) bc=10 bc边所对的三角形的中位线长为5 当 05x时241

9、xsyade 6分（3）x5 10 时，点 a落在三角形的外部, 其重叠部分为梯形sade=s ade=241x de边上的高ah=ah =x21由已知求得af=5 af=aa -af=x-5 由 amn ade知2deamna)hafa(ss2mna)5(xs251043)5(41222xxxxy 9分（4）在函数241xy中0 x5 当 x=5 时 y 最大为：425 10分在函数2510432xxy中当3202abx时 y 最大为：325 11分425325cba当320 x时， y 最大为：325 12分4（09 湖北黄冈） 20(满分 14 分)如图 ,在平面直角坐标系xoy 中,抛

10、物线21410189yxx与 x 轴的交点为点b,过点 b 作 x 轴的平行线bc,交抛物线于点c,连结 ac现有两动点p,q 分别从 o,c 两点同时出发 ,点 p 以每秒 4个单位的速度沿oa 向终点 a 移动 ,点 q 以每秒 1 个单位的速度沿cb 向点 b移动 ,点 p停止运动时 ,点 q 也同时停止运动 ,线段 oc,pq 相交于点d,过点 d 作 deoa,交 ca 于点 e,射线 qe 交 x 轴于点 f设动点p,q 移动的时间为 t(单位 :秒) (1)求 a,b,c 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标; (2)当 t 为何值时 ,四边形 pqca 为平行四边形请写出计算过程;

11、(3)当 0t92时,pqf 的面积是否总为定值若是,求出此定值 ,若不是 ,请说明理由 ; (4)当 t 为何值时 ,pqf 为等腰三角形请写出解答过程20.解：（ 1）21(8180)18yxx，令0y得281800 xx，18100 xx18x或10 x(18,0)a；1在21410189yxx中，令0 x得10y即(0,10)b；2由于 bcoa ，故点 c 的纵坐标为 10，由2141010189xx得8x或0 x即(8, 10)c且易求出顶点坐标为98(4,)93于是，(18,0),(0,10),(8, 10)abc，顶点坐标为98(4,)9。4（2）若四边形pqca 为平行四边形

12、，由于qcpa。故只要 qc=pa 即可，而184 ,pat cqt故184tt得185t；7（3）设点 p 运动t秒，则4 ,opt cqt，04.5t，说明 p 在线段 oa 上，且不与点oa 、重合，由于 qc op 知 qdc pdo，故144qdqctdpopt4aftop18pfpaafpaop9又点 q到直线 pf的距离10d，1118 109022pqfspf dgg，于是 pqf的面积总为90。10（4）由上知，(4 ,0),(184 ,0),(8, 10)ptftqt，04.5t。构造直角三角形后易得2222(48)10(58)100pqttt，2222(1848)10(5

13、10)100fottt若 fp=pq，即2218(58)100t，故225(2)224t，226.5t2244 142255t4 1425t11若 qp=qf，即22(58)100(510)100tt，无04.5t 的t满足条件；12若 pq=pf，即22(58)10018t，得2(58)224t，84 144.55t或84 1405t都不满足04.5t ，故无04.5t 的t满足方程；13综上所述：当4 1425t时， pqr 是等腰三角形。145（09 湖北黄石） 24、（本题满分9 分）如图甲，在 abc 中， acb 为锐角，点d 为射线 bc 上一动点，连结ad ，以 ad 为一边且

14、在ad 的右侧作正方形 adef 。解答下列问题：（1）如果 ab=ac ， bac=90 ，当点d 在线段 bc 上时（与点b 不重合），如图乙，线段cf、bd 之间的位置关系为，数量关系为。当点 d 在线段 bc 的延长线上时，如图丙，中的结论是否仍然成立，为什么（2）如果 ab ac， bac 90点 d 在线段 bc 上运动。试探究：当abc 满足一个什么条件时，cfbc（点 c、f 重合除外）画出相应图形，并说明理由。（画图不写作法）（3）若 ac=42，bc=3 ，在（ 2）的条件下，设正方形adef 的边 de 与线段 cf 相交于点p，求线段cp 长的最大值。24、解：（ 1）

15、 cf bd，cf=bd 成立，理由如下： fad= bac=90 bad= caf 又ba=ca ad=af bad caf cf=bd acf= acb=45 bcf=90 cfbd （ 1分）（2）当 acb=45 时可得cfbc，理由如下：如图：过点a 作 ac 的垂线与 cb 所在直线交于g 则 acb=45 ag=ac agc= acg=45 ag=ac ad=af （ 1 分） gad caf （sas） acf= agd=45 gcf= gca+ acf=90 cf bc （ 2 分）（3）如图：作aqbc 于 q acb=45 ac=42cq=aq=4 pcd= adp=90

16、 adq+ cdp=cdp+cpd=90 adq dpc （ 1 分）dqpc=aqcd设 cd 为 x（0 x3）则 dq=cq cd=4 x 则xpc4=4x（ 1 分）pc=41(x2+4x)=41(x2)2+11 当 x=2 时， pc 最长，此时pc=1 （ 1分）25、（ 1）设直线与y 轴交于点m 将 x=3， y=2 代入 y=33x+b 得 b=3 y=33x+3 （ 1 分）当 x=0 时， y=3，当 y=0 时x=33a（ 33，0）m（0，3）oa=33om=3 （ 1分）tanbao=oaom=33 bao=30 （ 1 分）（2）设抛物线c 的解析式为y=31(x

17、t)2，则 p(t，0)，e(0，31t2) ef/x 轴且 f 在抛物线c 上， f（2t，31t2）把 x=2t，y=31t2代入 y=33x+3 得332t+3=31t2 解得 t1=3， t2=33（ 1 分）抛物线 c 的解析式为y=31（x+3）2或 y=31（x33）2 （ 1 分）（3）设 d（m，n）由题意得p 在 a 右边，作dm x 轴于 n pa=t+33 ad=pa=t+33 dap=2 bap=60 an=21ad+21（t+33）dn=3an=23t+29on=21t233d（21t233，23t+29）（1 分）若 d 点落在抛物线c 上，则23t+29=31（

18、21t233t）2t=33（ 1 分）当 t=33时， p（ 33，0）与 a 重合，舍去。当 t=33时， p（ 33，0）（1 分）6（09 湖北荆门） 25(本题满分12 分)一开口向上的抛物线与x 轴交于 a(m2，0)，b(m2，0)两点，记抛物线顶点为 c，且 acbc(1)若 m 为常数，求抛物线的解析式；(2)若 m 为小于 0 的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点(3)设抛物线交y 轴正半轴于d 点，问是否存在实数m，使得 bcd 为等腰三角形若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由25解： (1)设抛物线的解析式为：ya(xm2)(xm2)a(

19、xm)24a 2 分acbc，由抛物线的对称性可知：acb 是等腰直角三角形，又ab4，c(m， 2)代入得 a12解析式为：y12(x m)225 分(亦可求 c 点，设顶点式) 第 25 题图bdacoxy(2)m 为小于零的常数，只需将抛物线向右平移m 个单位，再向上平移2 个单位，可以使抛物线y12(xm)22 顶点在坐标原点7 分(3)由(1)得 d(0，12m22)，设存在实数m，使得 bod 为等腰三角形 bod 为直角三角形，只能odob9 分12m22|m2|，当 m 20 时，解得m4 或 m 2(舍)当 m20 时，解得 m0(舍 )或 m 2(舍)；当 m20 时，即

20、m 2 时， b、o、d 三点重合 (不合题意，舍) 综上所述：存在实数m4，使得 bod 为等腰三角形12 分7（09 湖北荆州） 25（12 分）如图，已知两个菱形abcd 和 efgh 是以坐标原点o 为位似中心的位似图形（菱形 abcd 与菱形 efgh 的位似比为21）， bad 120 ，对角线均在坐标轴上，抛物线213yx经过 ad 的中点 m填空：点坐标为， d 点坐标为；操作：如图，固定菱形abcd ，将菱形efgh 绕 o 点顺时针方向旋转度角(090 )oo，并延长oe 交ad 于 p，延长 oh 交 cd 于 q探究 1：在旋转的过程中是否存在某一角度，使得四边形afe

21、p 是平行四边形若存在，请推断出的值；若不存在，说明理由；探究 2：设 apx，四边形opdq 的面积为s，求s与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围8（09 湖北武汉） 24（本题满分10 分）如图1，在rtabc中，90bac，adbc于点d，点o是ac边上一点，连接bo交ad于f，oeob交bc边于点e（1）求证：abfcoe；（2）当o为ac边中点，2acab时，如图2，求ofoe的值；（3）当o为ac边中点，acnab时，请直接写出ofoe的值x y o a 图a 图x y o （第 25 题图）b b a a c o e d d e c o f 图 1 图 2 f 24解：（ 1

22、）adbcq，90dacc90bacbafcq ，90oeobboacoeq，90boaabfq，abfcoeabfcoe；（2）解法一：作ogac，交ad的延长线于g2acabq，o是ac边的中点，abocoa由（ 1）有abfcoe，abfcoe，bfoe90baddacq，90dababddacabd ，又90bacaog，aboaabcoag，2ogacabogoaq，abog，abfgof，ofogbfab，2ofofogoebfab解法二：902bacacabadbcq ，于d，rtrtbadbca2adacbdab设1ab，则252acbcbo，21155525adbdad，90

23、bdfboebdfboeq ，bdbodfoe由（ 1）知bfoe，设oebfx，1525dfx，10 xdf在dfb中2211510 xx，23x2422233ofobbf4232223ofoe（3）ofnoe9（09 湖北武汉） 25（本题满分12 分）如图，抛物线24yaxbxa经过( 10)a，、(0 4)c，两点，与x轴交于另一点b（1）求抛物线的解析式；（2）已知点(1)d mm，在第一象限的抛物线上，求点d关于直线bc对称的点的坐标；（3）在（ 2）的条件下，连接bd，点p为抛物线上一点，且45dbp，求点p的坐标y b a d e c o f g b a d e c o f 2

24、5解：（ 1）q抛物线24yaxbxa经过( 1 0)a，(0 4)c，两点，4044.abaa，解得13.ab，抛物线的解析式为234yxx（2）q点(1)d mm，在抛物线上，2134mmm，即2230mm，1m或3mq点d在第一象限，点d的坐标为(3 4)，由（ 1）知45oaobcba，设点d关于直线bc的对称点为点e(0 4)cq，cdab，且3cd，45ecbdcb，e点在y轴上，且3cecd1oe，(0 1)e，即点d关于直线bc对称的点的坐标为（0，1）（3）方法一：作pfab于f，debc于e由（ 1）有：445obocobc，45dbpcbdpbaq ，(0 4)(3 4)

25、cdq，cdob且3cd45dcecbo，3 22dece4obocq，42bc，5 22bebcce，3tantan5depbfcbdbey x o a b c d e p f y x o a b c d e 设3pft，则5bft，54oft，( 54 3 )ptt，pq点在抛物线上，23( 54)3( 54)4ttt，0t（舍去）或2225t，2 665 25p，方法二：过点d作bd的垂线交直线pb于点q，过点d作dhx轴于h过q点作qgdh于g45pbdqddbq ，qdgbdh90，又90dqgqdg，dqgbdhqdgdbh，4qgdh，1dgbh由（ 2）知(3 4)d，( 13

26、)q，(4 0)bq，直线bp的解析式为31255yx解方程组23431255yxxyx，得1140 xy，；222566.25xy，点p的坐标为2 665 25，10（ 09 湖北天门） 24(本题满分10 分)如图所示，在abc 中， d、e 分别是 ab、ac 上的点， debc，如图，然后将ade 绕 a 点顺时针旋转一定角度，得到图，然后将bd、ce 分别延长至m、n，使 dm 21bd，en21ce，得到图，请解答下列问题：(1)若 abac，请探究下列数量关系：在图中， bd 与 ce 的数量关系是 _；在图中，猜想am 与 an 的数量关系、man 与 bac 的数量关系，并证

27、明你的猜想；(2)若 abkac(k1)，按上述操作方法，得到图，请继续探究：am 与 an 的数量关系、man 与 bac的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明y x o a b c d p q g h cecde11（09 湖北天门） 25(本题满分12 分)如图，直角梯形abcd 中， adbc， abc90 ，已知 adab3，bc4， 动点 p 从 b 点出发，沿线段 bc 向点 c 作匀速运动；动点 q 从点 d 出发， 沿线段 da 向点 a 作匀速运动 过q 点垂直于 ad 的射线交ac 于点 m，交 bc 于点 np、q 两点同时出发，速度都为每秒1 个单位长度当q点运动到a

28、 点， p、q 两点同时停止运动设点q 运动的时间为t 秒(1)求 nc，mc 的长 (用 t 的代数式表示)；(2)当 t 为何值时，四边形pcdq 构成平行四边形(3)是否存在某一时刻，使射线qn 恰好将abc 的面积和周长同时平分若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；(4)探究： t 为何值时，pmc 为等腰三角形12（09 湖北襄樊） 26（本小题满分13 分）如图 13，在梯形abcd中，24adbcadbc，点m是ad的中点，mbc是等边三角形（1）求证：梯形abcd是等腰梯形；（2）动点p、q分别在线段bc和mc上运动， 且60mpq保持不变 设pcxmqy，求y与x的

29、函数关系式；（3）在（ 2）中：当动点p、q运动到何处时，以点p、m和点a、b、c、d中的两个点为顶点的四边形是平行四边形并指出符合条件的平行四边形的个数；当y取最小值时，判断pqc的形状，并说明理由abcdqmnp(第 25 题图 )a d c b p m q 60图 13 26（ 1）证明：mbc是等边三角形60mbmcmbcmcb， 1 分m是ad中点ammdadbc60ambmbc，60dmcmcbambdmc 2 分abdc梯形abcd是等腰梯形 3 分（2）解：在等边mbc中，4mbmcbc，60mbcmcb，60mpq120bmpbpmbpmqpcbmpqpc 4 分bmpcqppccqbmbp 5 分pcxmqy，44bpxqcy， 6 分444xyx2144yxx 7 分（3）解：当1bp时，则有bpambpmd，则四边形abpm和四边形mbpd均为平行四边形211333444mqy 8 分当3bp时，则有pcampcmd，则四边形mpcd和四边形apcm均为平行四边形1131 1444mqy 9 分当1314bpmq，或1334bpmq，时，以 p、m 和 a、b、c、d 中的两个点为顶点的四边形是平