南充高中2017年初升高素质技能邀请赛(外地生考试)数学试题

1、南充高中 2017 年素质技能邀请赛数 学 试 题（考试时间：120 分钟试卷总分：150 分）一、选择题（每小题 5 分，共计 30 分.下列各题只有一个正确的选项，请将正确选项的番号填入答题卷的相应位置）1.已知 y £ 1且 2 x + y = 1，则 2 x 2 + 16 x + 3 y&#

2、160;2 的最小值为A.19                                27B. 3             

3、;   C.                D.132                             

4、0;   7A.  -  22. AE, CF 是锐角三角形 ABC 的两条高，如果 AE : CF = 3: 2 ，则 sin A :sin C 等于A. 3：2B. 2：3C. 9：4D.4：93.关于 x 的方程 ax 2 + (a + 2)&

5、#160;x + 9a = 0 有两个不等的实数根 x , x ，且 x < 1 < x ，那么 a 的取值范围是12122222< a <B. a >C. a < -D. -< a < 07557114.在某种浓度的盐水中加入“一杯水”后，得到新的盐水，它的浓度为

6、60;20，又在新盐水中加入与前述“一杯水”的重量相等的纯盐后，盐的浓度变为3313，那么原来盐水的浓度为A.23B.25C. 30D.325.已知是两个连续自然数 (m < n) ，且 q = mn ，设 p =q + n + q - m ，则 pA.总是奇数B.总是偶数C.有时是奇数有时是偶数D.有时是有理数有时是无理数6. P 为正三角形 ABC 内部一点

7、， PD  BC 于 D , PE  AC 于 E , PF  AB 于 F ，则A. PA + PB + PC 的值不变B. PA · PB · PC 的值不变C. PD + PE + PF 的值不变D. P

8、D · PE · PF 的值不变二、填空题（每小题 5 分，共计 50 分，请将你的答案填到答题卷的相应位置处）A7.若  123321111+= 5,+= 7 ，则+=xyzxyzxyzBDE        C8.关于 x, y 的二次式 x2 + 7 xy + my

9、 2 - 5x + 43 y - 24 可以分解为两个一次因式的乘积，则 m 的值是9.如图ABC 中，ACAB，AB=4，AC=x，AD 平分BAC，BDAD 于 D，点 E 是 BC 的中点，DE=y，则 y 关于 x的函数关系式为10.袋中装有 3 个红球，一个白球，它们除了颜色以外都相同，随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中充分摇匀后，再随机摸出一球

10、，两次都摸到红球的概率为11.光线如图示的角度照射到平面镜上，然后在两平面镜之间来回反射，已知a = 600 , b = 500 ，则 g =1aAabg第 1 页共 10 页2010  的坐标为12.在平面直角坐标系中，已知 P 的坐标 (1,0 ) ，将其绕着原点按逆时针方向旋转300 得到 P ，延长 OP 到 P 使12

11、23OP = 2OP ，再将 P 绕原点按逆时针方向旋转 300 得到 P ，延长 OP 到 P 使 OP = 2OP ,如此继续下去，32344554则点 P13. 一圆周上有三点 A, B, C ， ÐA 的平分线交边 BC 于 D ，交圆于 E ，已知 BC

12、60;= 2, AC = 3, AB = 4，则AD · DE =14.在锐角 DABC 中，高 BD, CE 交于点 F ， ÐA = 450 , DDEF 的面积为 S ，则 DBFC 的面积为15.方程 x + 2 x - 1 +x&

13、#160;- 2 x - 1 = x - 1 的解为216.下列命题：若 x2 = 2010 ´ 2012 + 1 ，则 x = 2011 ；若 xy < 0 ，且 a - 2y + 1+ ( x+ 1) =0，则 a &g

14、t; -1 ；若一直角梯形的两条对角线的长分别为 9 和 11，上、下两底长都是整数，则该梯形的高为6 2 ；已知方程1ax 2 + bx + c = 0(a > b > c) 的一个根为 1，另一个根的取值范围是 -2 < a < -.2其中正确的命题的序号为三、解答题：（本大题共 6 个小题,共

15、60;70 分,解答应写出必要的说明,证明过程和推演步骤)17.(本小题 10 分)设 abc = 1，求a        b        c+        +ab + a + 1 bc + b + 1&#

16、160;ac + c + 1的值.18. (本小题 12 分)已知 DABC 的两边 AB, AC 的长是关于 x 的一元二次方程x2 - (2k + 3) x + k 2 + 3k + 2 = 0 的两个实数根，第三边长为 5.（1） k 为何值时， DABC

17、0;是以 BC 为斜边的直角三角形（2） k 为何值时， DABC 是等腰三角形，并求 DABC 的周长第 2 页共 10 页19. (本小题 12 分)在平行四边形 ABCD 中， P 为 CD 边上一点， AP 与 BP 分别为 ÐDAB 和 ÐCBA 的平分线（1）判断 D

18、APB 是什么三角形，并证明你的结论；（2）比较 DP 与 PC 的大小；A5,8（3）以 AB 为直径的 O交 AD 于点 E ，连接 BE 与 AP 交于 F ，若 D = AP=，求证：DAEF  DAPB ,并求 tan ÐAFE 的值DPCAB20. (本小题 12 分)已知&#

19、160;DABC 是 O的内接三角形， BT 为 O的切线， B 为切点， P 为直线 AB 上一点，过点 P 做 BC 的平行线交直线 BT 于点 E ，交直线 AC 于点 F（1）当点 P 在线段 AB 上时求证: PA × PB = PE × 

20、PF（2）当点 P 为线段 BA 延长线上一点时，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请证明，否则说明理由；，求 O的半径（3）若 AB = 4 2,cos ÐEBA =13                 AF.POCEBT第 3 页共 10 页,21. (

21、本小题 12 分)如图所示，已知 A B两点的坐标分别为(28,0)和（0,28），动点 P从点 A开始，在线段 AO 上以每秒 3 个长度单位的速度向原点O运动，动直线 EF从 x轴开始，以每秒 1 个长度单位的速度向上移动（即 EF x轴），且分别与 y 轴、线段 AB交于点 E, F，连接 FP，设动点 P与动直线 EF同时出发，运动时间为ts（1）当

22、 t =1s时，求梯形 OPFE的面积， t 为何值时，梯形 OPFE的面积最大？最大面积是多少？（2）当梯形 OPFE的面积等于三角形 APF的面积时，求线段 PF的长；（3）设t 的值分别取 t ,t 时（t ¹t ），所对应的三角形分别为DAFP和 DAFP ，判断这两个三角形是否相似，请1 2121 12 2证明你的结论.yBEFxOPAy,A,22. (本小题

23、0;14 分)如图，已知点 B (-2,0) C (-4,0)，过点 B C的 M与直线 x =-1相切于点 （ A在第二象限）点 A关于 x轴的对称点是 A，直线 AA与 x轴相交点 P11（1）求证：点 A在直线 MB上1（2）求以 M为顶点且过 A的抛物线的解析式；1（3）设过点 A且平行于 x轴的直线与（2）中的抛物线的另一交点为 D，当&

24、#160;D与 M 相切时，求 D的半1径和切点坐标CM    AB P OxDA1第 4 页共 10 页南充高中 2017 年素质技能邀请赛数 学 试 题（考试时间：120 分钟试卷总分：150 分）第卷（答题卷）一、选择题答案：(每小题 5 分，共计 30 分)题号答案1B2B3D4B5A6C9._y=  x二、填空题答案：(每小题&

25、#160;5 分，共计 50 分)7.38. _-18_9- 2 _10_21611_ 40 0 _12_(0,-21004 )_13_4849_           14_2S_15_5_16.三、解答题：（本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出必要的说明,证明过程和推演步骤)17.(本小题 10 分)设 a

26、bc = 1，求a        b        c+        +ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1的值.   ca1解： 

27、;ab + a + 1 = ab + a + abc = a(b + 1 + bc)=ab + a + 1b + 1 + bc而 ac + c + 1 = ac + c + abc = c(a + 1 

28、;+ ba) = ac(b + 1 + bc)1=ac + c + 1a(b + 1 + bc) 原式=1        b         1       a + ab 

29、;+ 1+        +           =           = 1bc + b + 1 bc + b + 1 a(bc + b +

30、60;1)  a(b + 1 + bc)18. (本小题 12 分)已知 DABC 的两边 AB, AC 的长是关于 x 的一元二次方程x2 - (2k + 3) x + k 2 + 3k + 2 = 0 的两个实数根，第三边长为 5.（1） k 为何值时，&

31、#160;DABC 是以 BC 为斜边的直角三角形（2） k 为何值时， DABC 是等腰三角形，并求 DABC 的周长解：（1）因为 AB, AC 是方程 x2 - (2k + 3) x + k 2 + 3k + 2 = 0 的两个实数根，所以 AB + AC = 2

32、k + 3, AB · AC = k 2 + 3k + 2又因为 DABC 是以 BC 为斜边的直角三角形，且 BC = 5第 5 页共 10 页所以 AB 2 + AC 2 = BC 2 ,所以 ( AB + AC )

33、2 - 2 AB · AC = 25 ,即 (2 k + 3)2 - 2(k 2 + 3k + 2) = 25 ，所以 k 2 + 3k - 10 = 0 所以 k = -5, k = 212当 k 

34、= 2 时，方程为 x2 - 7 x + 12 = 0 ，解得 x = 3, x = 412当 k = -5 时，方程为 x2 + 7 x + 12 = 0 ，解得 x = -3, x = -4 （不合题意，舍去）12所以当

35、60;k = 2 时， DABC 是以 BC 为斜边的直角三角形。（2）若 DABC 是等腰三角形，则有 AB = AC  AB = BC  AC = BC三种情况。因为 D = (2k + 3)2 - 4(k 2 + 3k + 2) = 1 >

36、; 0 ，所以 AB ¹ AC ，故第种情况不成立。所以当AB = BC 或AC = BC 时,5 是 x2 - (2k + 3) x + k 2 + 3k + 2 = 0 的根，所以 25 - 5(2k + 3) + k

37、0;2 + 3k + 2 = 0, k 2 - 7k + 12 = 0 ，解得 k = 3, k = 412当 k = 3 时， x2 - 9 x + 20 = 0 所以 x = 4, x = 5&#

38、160;，所以等腰 DABC 的三边长分别为 5、5、4，周长是 1412当 k = 4 时， x2 - 11x + 30 = 0 所以 x = 5, x = 6 ，所以等腰 DABC 的三边长分别为 5、5、6，周长是 16.1219. (本小题 12 分)在平行四边形 ABCD

39、0;中， P 为 CD 边上一点， AP 与 BP 分别为 ÐDAB 和 ÐCBA 的平分线（1）判断 DAPB 是什么三角形，并证明你的结论；（2）比较 DP 与 PC 的大小；5,（3）以 AB 为直径的 O 交 AD 于点 E ，连接 BE 与 AP 交于 F&#

40、160;，若 AD = AP8= ，求证：DAEF  DAPB ,并求 tan ÐAFE 的值DPC解：（1）AD  BCРDAB + ÐCBA = 1800A                    

41、;      B又 AP 与 BP 分别为 ÐDAB 和 ÐCBA 的平分线РPAB + ÐPBA = 900 ,РAPB = 900 ,D APB 是直角三角形。（2）DC  AB ,ÐBAP = ÐDPA

42、8;DAP = ÐPAB,РDAP = ÐDPA, DA = DP同理， CP = CB, DP = PC(3)AD = 5, AP = 8, AB = DC = DP + PC = 2 AD = 10因为 AB 为 O

43、0;直径， ÐAPB = 900 , PB =AB2 - AP2 = 102 - 82 = 6又ÐAEB = ÐAPB = 900 , ÐEAF = ÐPAB D AEF  DAPB第 6 页共 10 页РAFE =&

44、#160;ÐABP  tan ÐAFE = tan ÐABP =AP  4=PB  3（3）若  ab = 4  2,cos ÐEBA =，求 O的半径.20. (本小题 12 分)已知 DABC 是 O的内接三角形， BT 为 O的切线， B 为切

45、点， P 为直线 AB 上一点，过点 P 做 BC 的平行线交直线 BT 于点 E ，交直线 AC 于点 F（1）当点 P 在线段 AB 上时求证: PA × PB = PE × PF（2）当点 P 为线段 BA 延长线上一点时，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请证明，否则说

46、明理由；13A解（1）证明：BT 切 O于点 B,РEBA = ÐC,FEF  BC ,ÐAFP = ÐEBPÐAPF = ÐEPB,D PFA  DPBEEPO        CPAPF=, PA × PB = PE 

47、5; PFPEPBBT(2) 当点 P 为线段 BA 延长线上一点时，第（1）题的结论任成立BT 切 O于点 B,РEBA = ÐC,EP  BC ,ÐPFA = ÐC ,FPA.CРPFA = ÐPBE,ÐFPA = ÐBPEEODPFA  DPBE ,

48、PF  PA=PB  PE, PA × PB = PE × PFB      HT(3)作直径 AH ，连接 BHРABH = 900BT 切 O于点 B,РEBA = ÐAHB11cos ÐEBA =, cos&#

49、160;ÐAHB =33sin 2 ÐAHB + cos2 ÐAHB = 1又因为 ÐAHB 为锐角,  sin ÐAHB =2 23sin ÐAHB =   AB在直角 DABH 中，AB, AB = 4 2, AH =   &

50、#160;     = 6AH                 sin ÐAHB即 O的半径为 3.,21. (本小题 12 分)如图所示，已知 A B两点的坐标分别为(28,0)和（0,28），动点 P从点 A开始，在线段 AO 上以每秒

51、 3 个长度单位的速度向原点O运动，动直线 EF从 x轴开始，以每秒 1 个长度单位的速度向上移动（即 EF x轴），且分别与 y 轴、线段 AB交于点 E, F，连接 FP，设动点 P与动直线 EF同时出发，运动时间为ts（1）当 t =1s时，求梯形 OPFE的面积， t 为何值时，梯形 OPFE的面积最大？最大面积是多少？（2）当梯形 OPFE的面积等于三角形&

52、#160;APF的面积时，求线段 PF的长；（3）设t 的值分别取 t ,t 时（t ¹t ），所对应的三角形分别为DAFP和 DAFP ，判断这两个三角形是否相似，请1 2121 12 2第 7 页共 10 页yB梯形OPFE=     =     =26证明你的结论.解：（1）当 t =1s时， 

53、;OE=1,AP=3,OP=28-3=25,OA=OBEF OAEF= EB=28-1=27（OP+EF)OE(25+27)´1S22ttt2S = (28-3 +28-t)t =-2t2 +28 =-2( -7) +98,2t =7s，梯形 OPFE的面积最大，最大面积是 98梯形OPFE=DAFP =（2） St(56-4t)t     3 2,S2  

54、      2梯形OPFE= SDAFP时，有2    2当St(56-4t)t 3 2t=  , =8,t =0（舍去）1 2过点作 FH AO，垂足为 HÐOAB = 450 , AH = FH = 8, PH = 3 ´ 8 

55、;- 8 = 16在 RtDFHP 中， FP =(3)相似，下面证明FH 2 + PH 2 = 82 + 162 = 8 5分别过点 F , F ，作 F H  AP , F H  AP ，垂足分别为 H , H1211122212ÐOA

56、B = 450 , AH = F H = t , AH = F H = t11112222yBAF2                                  E AF =2t , AF =2t .&