《初中数学总复习资料》必备数学第一部分第四章第4节

1、第一部分教材梳理第第4节等腰三角形与等边三角形节等腰三角形与等边三角形第四章图形的认识（一）第四章图形的认识（一）知识梳理知识梳理概念定理概念定理 1. 等腰三角形等腰三角形（1）定义：两边相等两边相等的三角形叫做等腰三角形. （2）性质性质定理：等腰三角形的两个底角相等两个底角相等（简称：等边对等角）. 推论：等腰三角形顶角的平分线平分线、底边上的中线中线及底边上的高线高线互相重合（简称：三线合一三线合一）. （3）其他性质等腰直角三角形的两个底角相等且等于相等且等于4545.等腰三角形的底角只能为锐角锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底

2、边长为b，则_.等腰三角形的三角关系：设顶角为a，底角为b，c，则a=_，b=c=_.180180-2-2b b（4）判定定义法：有两条边相等有两条边相等的三角形是等腰三角形. 判定定理：有两个角相等有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）. 2. 等边三角形（1）定义：三边相等三边相等的三角形叫做等边三角形. （2）性质性质定理：等边三角形的三个内角都相等三个内角都相等_，并且每个角都等于6060. 等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有所有性质性质，它的每一个内角的角平分线都与其对边的中线和高线重合. （3）判定定义法：三条边都相等三条边都相等的三角形是等边三角形

3、. 判定定理1：三个角都相等三个角都相等的三角形是等边三角形. 判定定理2：有一个角等于6060的等腰等腰三角形是等边三角形. 方法规律方法规律 中考考点精讲精练中考考点精讲精练考点等腰三角形、等边三角形的性质和判定考点等腰三角形、等边三角形的性质和判定5年2考：2014年(选择题)、2017年(解答题)考点精讲考点精讲1. 如图1-4-4-1，在abc中，abc和acb的平分线交于点e，过点e作mnbc交ab于点m，交ac于点n，若bm+cn=9，则线段mn的长为 ( )a. 6 b. 7 c. 8 d. 9d解：解：(1)abe=acd.在在abe和和acd中，中，abeacd.abe=a

4、cd.(2)ab=ac，abc=acb.由由(1)可知可知abe=acd，fbc=fcb.fb=fc.ab=ac，点点a,f均在线段均在线段bc的垂直平分线上，即直线的垂直平分线上，即直线af垂直平分线段垂直平分线段bc.2. (2017连云港)如图1-4-4-2，已知等腰abc中，ab=ac，点d,e分别在边ab,ac上，且ad=ae，连接be,cd，交于点f. (1)判断abe与acd的数量关系，并说明理由；(2)求证：过点a,f的直线垂直平分线段bc.3. (2006平凉)如图1-4-4-3所示，abc为等边三角形，d,e,f分别在边bc,ca,ab上，且ae=cd=bf，则def为_三

5、角形.4. 如图1-4-4-4，点c是线段ab上除点a,b外的任意一点，分别以ac,bc为边在线段ab的同旁作等边acd和等边bce，连接ae交dc于点m，连接bd交ce于点n，连接mn. (1)求证：ae=bd；(2)求证：mnab. 等边等边证明：证明：(1)acd和和bce是等边三角形，是等边三角形，ac=dc，ce=cb，dca=60，ecb=60. dca+dce=ecb+dce，即即ace=dcb.在在ace与与dcb中，中， ac=dc, ace=dcb, ce=cb，acedcb.ae=bd.(2)由由(1),得得ace dcb，cam=cdn. acd=ecb=60，而，而a

6、,c,b三点共线，三点共线，dcn=60. 在在acm与与dcn中，中， mac=ndc, ac=dc, acm=dcn=60，acmdcn(asa). mc=nc.mcn=60，mcn为等边三角形为等边三角形. nmc=dcn=60. nmc=dca. mnab.考点演练考点演练5. 如图1-4-4-5，abc中，ab=ac=15，ad平分bac，点e为ac的中点，连接de，若cde的周长为21，则bc的长为( )a. 16 b. 14 c. 12 d. 6c6. 如图1-4-4-6，在abc中，已知bac=90，adbc，ad与abc的平分线交于点e，试说明aef是等腰三角形的理由.解：解

7、：bf平分平分abc，abf=dbf. 又又bac=90，adbc，afe=90-abf，deb=90-dbf. afe=deb.又又deb=aef，aef=afe. aef是等腰三角形是等腰三角形. 7. 如图1-4-4-7，p,q是abc的边bc上的两点，且bp=pq=qc=ap=aq，则abc的大小等于_度. 30308. 如图1-4-4-8，等边abc中，点p在abc内，点q在abc外，且abp=acq，bp=cq，问apq是什么形状的三角形？试说明你的结论. 解：解：apq为等边三角形为等边三角形. 理由如下：理由如下：abc为等边三角形，为等边三角形，ab=ac.在在abp与与ac

8、q中，中， ab=ac, abp=acq, bp=cq，abpacq(sas). ap=aq，bap=caq. bac=bap+pac=60，paq=caq+pac=60. apq是等边三角形是等边三角形. 考点点拨：考点点拨：本考点是广东中考的高频考点，题型一般为选择题或者解答题，难度中等. 解答本考点的有关题目，关键在于掌握等腰三角形的基本性质. 注意以下要点：(1)等腰三角形的基本性质；(2)对等腰三角形的性质的理解和掌握;(3)对等边三角形的性质的理解和掌握. 广东中考广东中考1. (2014广东)一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为 ( )a. 17 b. 15 c. 1

9、3 d. 13或172. (2012深圳)如图1-4-4-9，已知：mon=30，点a1,a2,a3在射线on上，点b1,b2,b3在射线om上，a1b1a2,a2b2a3,a3b3a4均为等边三角形，若oa1=1，则a6b6a7的边长为 ( )a. 6 b. 12c. 32 d. 64ac3. (2014广州)如图1-4-4-10，将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形abcd，转动这个四边形，使它形状改变，当b=90时，如图，测得ac=2，当b=60时，如图，ac= ( )a. b. 2 c. d.2a2624. (2010东莞)已知两个全等的直角三角形纸片abc，def，如图1

10、-4-4-11放置，点b,d重合，点f在bc上，ab与ef交于点g,c=efb=90，e=abc=30，ab=de=4求证：egb是等腰三角形.证明：证明：c=efb=90，e=abc=30，ebf=60.ebg=ebf-abc=60-30=ege=gb.则则egb是等腰三角形是等腰三角形.5. (2012梅州)如图1-4-4-12，已知线段ab的长为2a，点p是ab上的动点(p不与a，b重合)，分别以ap,pb为边向线段ab的同一侧作正apc和正pbd.(1)当apc与pbd的面积之和取最小值时，ap=_；(直接写结果)(2)连接ad,bc，相交于点q，设aqc=，那么的大小是否会随点p的移动而变化？请说明理由.a a解：解：(2)(2)的大小不会随点的大小不会随点p p的移动而变化的移动而变化. . 理由：理由：apcapc是等边三角形，是等边三角形，pa=pcpa=pc，apc=60apc=60. . bdpbdp是等边三角形，是等边三角形，pb=pdpb=pd，bpd=60bpd