《中考课件初中数学总复习资料》专题14隐圆—动点到定点之定长的轨迹类问题探究-备战2020年中考数学压轴题专题研究

1、专题十四：隐圆动点到定点之定长的轨迹类问题探究专题导例如图，在矩形abcd中，已知ab2cm，bc4cm，现有一根长为2cm的木棒ef紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒ef的中点p在运动过程中所围成的图形的面积为（）a（8）cm2b4cm2c（3+）cm2d8cm2方法剖析在一个平面内，线段 ab 绕它固定的一个端点 a 旋转一周，另一个端点 b 所形成的图形叫做圆，如图所示，从依据此定义，我们来解决一类定点+定长的动态类问题应用几何性质：三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；两点间线段最短；连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，

2、垂线段最短；定圆中的所有弦中，直径最长方法：见动点遇定点知定长转到圆定圆心现“圆”形导例解析：连接bp，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得bpef，然后判断出点p在运动过程中所围成的图形的面积为长方形的面积减去四个扇形的面积，列式计算即可得解导例答案解：如图，p是ef的中点，bpef×21（cm），ab2，点p在运动过程中所围成的图形的面积为长方形的面积减去四个扇形的面积，：又四个扇形的面积正好等于一个相同半径的圆的面积，4×2128（cm2）故选：a典例剖析类型一：隐圆之动点定长最短距离问题例1如图，在rtabc中，c=6，bc=8，点f在边ac上，并且cf=2

3、，点e为边bc上的动点，将cef沿直线ef翻折，点c落在点p处，则点p到边ab距离的最小值是 分析：cef沿直线ef翻折时，点f为定点，cf=pf，pf为定线，即动点p到定点f的距离始终不变，即点p在以f为圆心，pf长为半径的圆上运动如此一来本题就转化为圆上一点到直线的最短距离问题。类型二：隐圆之动点定长路径轨迹问题例2如图，o的半径为2，ab，cd是互相垂直的两条直径，点p是o上任意一点（p与a，b，c，d不重合），过点p作pmab于点m，pncd于点n，点q是mn的中点，当点p沿着圆周转过45°时，点q走过的路径长为 【分析】根据op的长度不变，始终等于半径，则根据矩形的性质可得

4、oq1，再由走过的角度代入弧长公式即可专题突破1如图，边长为的正方形abcd的顶点a、b在一个半径为的圆上，顶点c、d在圆内，将正方形abcd沿圆的内壁逆时针方向作无滑动的滚动当点c第一次落在圆上时，点c运动的路径长为 2如图，已知c的半径为2，圆外一点o满足oc3.5，点p为c上一动点，经过点o的直线l上有两点a、b，且oaob，apb90°，l不经过点c，则ab的最小值为（）a2b2.5c3d3.53如图，矩形abcd中，ab4，ad6，点e在边ad上，且ae：ed1：2动点p 从点a 出发，沿ab 运动到点b 停止过点e作efpe交射线bc于点f设点m是线段ef的中点，则在点p

5、运动的整个过程中，点m的运动路径长为 4如图，在边长为2的菱形abcd中，a60°，m是ad边的中点，n是ab边上的一动点，将amn沿mn所在直线翻折得到amn，连接ac，则ac长度的最小值是 5. （2019年十堰市）如图，正方形abcd和rtaef，ab5，aeaf4，连接bf，de若aef绕点a旋转，当abf最大时，sade6如图，在矩形abcd中，ab6，ad3，m是ad边的中点，n是ab边上的一动点，将amn沿mn所在直线翻折得到a'mn，连接a'c在mn上存在一动点p连接a'p、cp，则a'pc周长的最小值是 7如图，是一块含30°

6、;（即cab30°）角的三角板和一个量角器拼在一起，三角板斜边ab与量角器所在圆的直径mn恰好重合，其量角器最外缘的读数是从n点开始（即n点的读数为o），现有射线cp绕点c从ca的位置开始按顺时针方向以每秒2度的速度旋转到cb位置，在旋转过程中，射线cp与量角器的半圆弧交于e（1）当旋转7.5秒时，连接be，试说明：bece；（2）填空：当射线cp经过abc的外心时，点e处的读数是当射线cp经过abc的内心时，点e处的读数是；设旋转x秒后，e点出的读数为y度，则y与x的函数式是y8.如图，等边abc中，ab6，点d在bc上，bd4，点e从点c出发，以每秒1个单位长度的速度沿ca方向向

7、点a运动，cde关于de的轴对称图形为fde（1）当t为何值时，点f在线段ac上（2）当0t4时，求aef与bdf的数量关系；（3）当点b、e、f三点共线时，求证：点f为线段be的中点9.问题情境：如图1，p是o外的一点，直线po分别交o于点a、b，则pa是点p到o上的点的最短距离（1）探究：如图2，在o上任取一点c（不为点a、b重合），连接pc、oc试证明：papc（2）直接运用：如图3，在rtabc中，acb90°，acbc2，以bc为直径的半圆交ab于d，p是上的一个动点，连接ap，则ap的最小值是 （3）构造运用：如图4，在边长为2的菱形abcd中，a60°，m是a

8、d边的中点，n是ab边上一动点，将amn沿mn所在的直线翻折得到amn，连接ac，请求出ab长度的最小值解：由折叠知amam，又m是ad的中点，可得mamamd，故点a在以ad为直径的圆上（请继续完成解题过程）（4）综合应用：（下面两小题请选择其中一道完成）如图5，e，f是正方形abcd的边ad上两个动点，满足aedf连接cf交bd于点g，连接be交ag于点h若正方形的边长为2，则线段dh长度的最小值是 如图6，平面直角坐标系中，分别以点a（2，3），b（3，4）为圆心，以1、2为半径作a、b，m、n分别是a、b上的动点，p为x轴上的动点，则pm+pn的最小值等于 专题十四：隐圆动点到定点之定

9、长的轨迹类问题探究例1 如图，延长fp交ab于m，当fpab时，点p到ab的距离最小a=a,amf=c=90°，afmabc，afab=fmbccf=2，ac=6，bc=8，af=4，ab=10410=fm8fm=3.2pf=cf=2，pm=1.2点p到边ab距离的最小值是1.2.例2解：pmab于点m，pncd于点n，四边形onpm是矩形，又点q为mn的中点，点q为op的中点，又op2，则oq1，点q走过的路径长故答案为：专题突破1.解：如图所示：设圆心为o，连接ao，bo，ac，ae，ab，aobo，abaobo，aob是等边三角形，aoboab60°同理：fao是等边

10、三角形，fab2oab120°，eac120°90°30，gfefad120°90°30°，adab，ac2，当点c第一次落在圆上时，点c运动的路径长为+；故答案为：2解：连接op，pc，oc，opocpc3.521.5，当点o，p，c三点共线时，op最小，最小值为1.5，oaob，apb90°，ab2op，当o，p，c三点共线时，ab有最小值为2op3，故选：c3解：如图，当p与a重合时，点f与k重合，此时点m在h处，当点p与b重合时，点f与g重合，点m在n处，点m的运动轨迹是线段hn在rtaeb中，ae2，ab4，be2

11、，aebebg，bg10，bkae2，kgbgbk8，hnkg4，点m的运动路径的长为 4故答案为 44解：如图所示：ma是定值，ac长度取最小值时，即a在mc上时，过点m作mfdc于点f，在边长为2的菱形abcd中，a60°，m为ad中点，2mdadcd2，fdm60°，fmd30°，fdmd，fmdm×cos30°，mc，acmcma1故答案为：15作dhae于h，如图af4，当aef绕点a旋转时，点f在以a为圆心，4为半径的圆上，当bf为此圆的切线时，abf最大，即bfaf，在rtabf中，bf52-423，eaf90°，baf

12、+bah90°，dah+bah90°，dahbaf，在adh和abf中，ahd=afb，dah=baf，ad=ab，adhabf（aas），dhbf3，sade12aedh12×3×46故答案为66解：分两步：连接ap，则apap，a'pc周长ap+pc+acap+pc+ac，ap+pcac，当a、p、c三点共线时，ap+pc有最小值，是ac的长，所以ac与mn的交点就是点p，由勾股定理得：ac3，连接cm，accmam，当m、a、c三点共线时，ac有最小值，此时，m是ad的中点，amdm1.5，mc，由折叠得：amam1.5，acmcam1.5

13、，a'pc周长的最小值是：+3，故答案为：+37、（1）证明：连接be，如图所示：射线cp绕点c从ca的位置开始按顺时针方向以每秒2度的速度旋转当旋转7.5秒时，ace7.5×2°abe15°又cab30°，cba60°，acb90°cbe75°，bce90°15°75°，即：cbebce75°bece（2）解：当射线cp经过abc的外心时，cp经过ab的中心且此时有：coao；ocacab30°，aoe60°点e处的读数是120°当射线cp经过a

14、bc的内心时，即cp为acb的角平分线，圆周角bce°45°，圆心角为90°，点e处的读数是90°设旋转x秒后，e点出的度数为y°，由题意得：y与x的函数式是：y1804x（0x90）8. 解：（1）abc是等边三角形abc60°cde关于de的轴对称图形为fde，dfdc，efec，且点f在ac上，c60°，dcf是等边三角形，cdcfabbd2，ce1，t1s；（2）如图1，当0t1时，cde关于de的轴对称图形为fde，fc60°，fdecde，cedfed，c+cde+ced180°，c+f+cd

15、e+edf+ced+fed360°，cdf+180°+aef360°120°180°bdf+180°+aef240°，bdfaef120°；如图2，当1t4时，cde关于de的轴对称图形为fde，fc60°，fdecde，cedfed，fdc+c+f+cef360°，180°bdf+120°+180°aef360°，bdf+aef120°；（3）如图3，过点d作dgef于点g，过点e作ehcd于点h，cde关于de的轴对称图形为fdedfdc2，

16、efdc60°，efec，gdef，efd60°fg1，dgfg，bd2bg2+dg2，163+（bf+1）2，bf1bg，ehbc，c60°ch，ehhcec，gbdebh，bgdbhe90°bgdbhe，ec1，ecefbf1，点f是线段be的中点9.（1）证明：如图2，在o上任取一点c（不为点a、b），连接pc、ocpopc+oc，popa+oa，oaoc，papc，pa是点p到o上的点的最短距离；（2）解：连接ao与o相交于点p，如图3，由已知定理可知，此时ap最短，acb90°，acbc2，bc为直径，poco1，ao，ap1，故答案为：1；（3）解：如图4，由折叠知amam，又m是ad的中点，可得mamamd，故点a在以ad为直径的圆上，由模型可知，当点a在bm上时，ab长度取得最小值，边长为2的菱形abcd中，a60°，m是ad边的中点，bm，故ab的最小值为：1；（4）解：如图5：在正方形abcd中，abadcd，badcda，adgcdg，在abe和dcf中，abedcf（sas），12，在adg和cdg中，adgcdg（sas），23