《中考课件初中数学总复习资料》专题29第5章相似三角形之三等角的相似备战2021中考数学解题方法系统训练（全国通用）（解析版）

1、29第5章相似三角形之三等角的相似一、单选题1直线l1l2l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点a，b，c恰好分别落在三条直线上，ac与直线l2交于点d，则线段bd的长度为（ ）abcd【答案】d【解析】分别过点a、b、d作afl3，bel3，dgl3，先根据全等三角形的判定定理得出bceacf，故可得出cf及ce的长，在rtacf中根据勾股定理求出ac的长，再由相似三角形的判定得出cdgcaf，故可得出cd的长，在rtbcd中根据勾股定理即可求出bd的长【解答】如图，分别过点a、b、d作afl3，bel3，dgl3，abc是

2、等腰直角三角形，acbc，ebc+bce90°，bce+acf90°，acf+caf90°，ebcacf，bcecaf，在bce与acf中，cbeacf（asa）cfbe，ceaf，l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，cfbe3，ceaf3+14，在rtacf中，af4，cf3，ac5，afl3，dgl3，cdgcaf， ，在rtbcd中，bc5，所以故答案为：d【点睛】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键2如图，正方形abcd边长为4，边bc上有一点e，以de为边作矩形edfg，使fg过点a，则矩形

3、edfg的面积是（）a16b8c8d16【答案】d【解析】先利用等角的余角证明adfedc，再根据相似三角形的判定方法证明adfcde，然后利用相似比计算df与de的关系式，最后根据矩形的面积公式求得矩形的面积便可.【解答】解：四边形abcd为正方形，adcd4，adcc90°，四边形edfg为矩形，edff90°，adf+ade90°，ade+edc90°，adfedc，adfcde，即 ，df，矩形edfg的面积为：dedfde16故选：d【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，根据矩形的性质求面积是解题重要一步3如图，已知矩形的顶点分别落在轴轴上，

4、ab=2bc则点的坐标是（ ）abcd【答案】d【解析】过c作cex轴于e，根据矩形的性质得到cd=ab，abc=90°，根据余角的性质得到bce=abo，进而得出bceabo，根据相似三角形的性质得到结论【解答】解：过c作cex轴于e，四边形abcd是矩形，cd=ab，abc=90°，abo+cbe=cbe+bce=90°，bce=abo，bceabo，ab=，ab=2bc，bc=ab=4，ce=2，be=2oe=4+2c（4+2，2），故选：d【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，正确的作出辅助线是解题的关键4如图，矩形纸片ab

5、cd中，ab=6，bc=8，e是边cd上一点，连接ae折叠该纸片，使点a落在ae上的g点，并使折痕经过点b，得到折痕bf，点f在ad上若de=4，则af的长为（   ） a   b4     c3     d2【答案】c【解析】由矩形的性质可得ab=cd=6，ad=bc=8，bad=d=90°，通过证明abfdae，可得，即可求解【解答】解：矩形abcd， bad=d=90°，bc=ad=8 bag+dae=90°

6、折叠该纸片，使点a落在ae上的g点，并使折痕经过点b，得到折痕bf， bf垂直平分ag abf+bag=90° dae=abf， abfdae 即 解之：af=3 故答案为：c【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握翻折变换和矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键5如图，为的边上一点，则的长为（ ）abcd【答案】a【解析】根据已知证明adbabc,利用代值求解即可【解答】，a=c，dbc=bdc，dbc=2a，bdc=a+abd=2a，abd=a=c，adbabc，ad=bd，设bd=ad=x，则，即，解得：（不符题意，舍去），故选：a【点睛】本题考

7、查等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键二、填空题6如图，在矩形中，点是边上一点，连结，将沿对折，点落在边上点处，与对角线交于点，连结若，则_【答案】【解析】由折叠的性质可得bcm=bfm，bc=bf，再由fmcd，可得bfm=abf，从而得abfbca，由相似三角形的性质求得ab，进而由勾股定理可求解【解答】解：四边形是矩形，abc=bad=90°，abcd，fmab，bfm=abf，由折叠的性质可得：bcm=bfm，bc=bf=4，abf=acb，abfbca，即，；故答案为【点睛】本题主要考查矩形的性质、相似三

8、角形的性质与判定、勾股定理及折叠的性质，关键是证明三角形的相似，进而根据相似三角形的性质进行求解7如图，点d是等边abc边ab上的一点，且ad：db2：3，现将abc折叠，使点c与d重合，折痕为ef，点e，f分别在ac和bc上，则ce：cf_【答案】【解析】借助翻折变换的性质得到de=ce，设ad=2k，db=3k得到ab=5k，根据aedbdf即可解决问题【解答】解：设ad=2k，则db=3k，ab=5k，abc为等边三角形，ab=ac=5k，a=b=c=edf=60°，eda+fdb=120°，又eda+aed=180°-a=180°-60°

9、;=120°，fdb=aed，aedbdf，由折叠得ce=de，cf=dfaed的周长为ad+ae+ed=ad+ac=2k+5k=7k，bdf的周长为db+df+bf=db+bc=3k+5k=8k，由相似三角形的周长比等于相似比可知，aed与bdf的相似比为7：8ce：cf=de：df=7：8，故答案为：7：8【点睛】主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是借助相似三角形的判定与性质（用含有k的代数式表示）；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求8如图，四边形abcd中，abcd，c90°，ab1，cd2，bc3，点p为bc边上一动点，若apdp，则bp的

10、长为_【答案】1或2【解析】设bp=x，则pc=3-x，根据平行线的性质可得b=90°，根据同角的余角相等可得cdp=apb，即可证明cdpbpa，根据相似三角形的性质列方程求出x的值即可得答案【解答】设bp=x，则pc=3-x，abcd，c90°，b=180°-c=90°，b=c，apdp，apb+dpc=90°，cdp+dpc=90°，cdp=apb，cdpbpa，ab1，cd2，bc3，解得：x1=1，x2=2，bp的长为1或2，故答案为：1或2【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的对应边成比例列方程是解题

11、的关键9如图，点为外一点，过点作的切线、，点、为切点连接并延长交的延长线于点，过点作，交的延长线于点已知，则的长为_【答案】【解析】连接ob，在中应用勾股定理求得的半径为3，再根据，对应线段成比例即可求解【解答】解：连接ob，、为的切线，设的半径为r，则，在中，即，解得，即，故答案为：【点睛】本题考查切线长定理、相似三角形的性质与判定、勾股定理的应用等内容，作出合适的辅助线是解题的关键10在直角坐标系中，已知圆的圆心坐标为，半径为5，点和点是圆上两个不同的点，其中与均不为0过点分别作圆的切线与轴和分别相交于两点，则_【答案】25【解析】根据圆的圆心坐标为，半径为5，可得圆与y轴相切于点o，则有

12、：ao=ab，bp=bd，可得，有，可证，得到，化简即可得到结果【解答】解：如图示，ab、bd与圆相切于点p，d，ab、bd相交于点b，圆的圆心坐标为，半径为5，圆与y轴相切于点o，则有：ao=ab，bp=bd，od是圆的直径，又p是切点，即：，故答案为：25【点睛】本题考查了圆的切线和相似三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键三、解答题11如图，在中，于，于，试说明：（1）（2）【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）直接根据相似三角形的判定证明即可；（2）首先根据相似三角形的性质得出，进而证明adeacb，最后根据相似三角形的性质即可证明【解答】解：（1）cdab于d，beac于e

13、，aeb=adc=90°，在abe和acd中abeacd；（2）abeacd，在ade和acb中，adeacbad·bc=de·ac【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键12如图，是的角平分线，延长至点使得求证：【答案】证明见解析【解析】先根据角平分线的定义可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定即可得证【解答】是的角平分线又【点睛】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键13如图，在中，是上一点，是上一动点，连接，作，射线交线段于.

14、（1）求证：；（2）当是线段中点时，求线段的长；【答案】（1）见解析；（2）长为2或3【解析】（1）由三角形外角性质可得ced=b+bde，结合def=b可推出bde=cef，再加上b=c可证明dbeecf；（2）由dbeecf可得对应边成比例，设，则，建立方程求解即可.【解答】（1）证明：，；，.（2）（已证）.；为的中点，.设，则；又，解得或3.故长为2或3.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，此图形可作为“一线三等角”模型记住证明方法，第（2）题由相似得到对应边成比例，建立方程是解题的关键.14如图，在中，点为边上一点，且，点为中点，（1）求的长（2）求证：【答案】（1）5；（2）证

15、明见解析；【解析】（1）先证明出，得出，假设bd为x，则dc=15-x，代入分式方程求出bd的长；（2）由（1）可知，推出，得出结果；【解答】（1），为中点，设，则，即：，解得：，（2）由（1）可知，在和中，【点睛】本题考查三角形全等的性质，三角形相似的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质并灵活运用15如图，在中，是高，平分，分别与，相交于点，（1）求证：（2）求证：（3）若，求的长【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】（1）由题意易得，进而可知，然后有，进而问题得证；（2）由题意易得，进而有，进而问题得证；（3）如图，作于，从而易得，进而可得，然后由可进行求解【解答】证明：

16、（1）为边上的高，是的平分线，；（2），；（3）如图，作于，由，由【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键16已知，如图，在矩形abcd中，e为ad的中点，交ab于f，连结fc（ab>ae）（1）求证： （2）与是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由（3）设，是否存在这样的值，使得与相似？若存在，证明你的结论并求出的值；若不存在，说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）相似，理由见解析；（3）存在，k=【解析】（1）根据直角三角形两锐角互余和等角的余角相等可得dec=afe，再根据a=d=90°可证得结论；（

17、2）延长fe与cd的延长线交于g，证明rtaefrtdeg（asa）由全等三角形的性质可得出ef=eg证明rtefcrtegc（sas）得出afe=egc=efc则可证得结论；（3）分两种情况讨论，当afe=bcf时根据一个三角形最多有一个直角排除，当afe=bfc，设bc=a，则ab=ka，由aefbcf，得出af=ka，bf=ka，再借助aefdce即可证明【解答】解：（1）efec，fec=90°，即aef+dec=90°，四边形abcd为矩形，a=d=90°，aef+afe=90°，dec=afe，a=d=90°，aefdce；（2）a

18、efecf证明如下：延长fe与cd的延长线交于g，e为ad的中点，ae=de，aef=ged，a=edg，rtaefrtdeg（asa）ef=egce=ce，fec=ceg=90°，rtefcrtegc（sas）afe=egc=efc又a=fec=90°，aefecf；（3）存在k值，使得aef与bfc相似理由如下：假定aef与bfc相似，则有两种情况：当afe=bcf，则有afe与bfc互余，于是efc=90°，因此此种情况是不成立的；当afe=bfc，使得aef与bfc相似，设bc=a，则ab=ka，aefbcf，af=ka，bf=ka，aefdce，即，解得

19、，k=【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理，能正确识图是解题的关键17已知在中，为边上的一点过点作射线，分别交边、于点、（1）当为的中点，且、时，如图1，_：（2）若为的中点，将绕点旋转到图2位置时，_；（3）若改变点到图3的位置，且时，求的值【答案】（1）2；（2）2；（3）【解析】（1）由为的中点，结合三角形的中位线的性质得到 从而可得答案；（2）如图，过作于 过作于结合（1）求解再证明利用相似三角形的性质可得答案；（3）过点分别作于点，于点，证明,可得 再证明，利用相似三角形的性质求解 同法求解

20、从而可得答案【解答】解：（1）为的中点， 故答案为： （2）如图，过作于 过作于 由（1）同理可得 ： 故答案为： （3）过点分别作于点，于点，同理可得：【点睛】本题考查的是矩形的性质，三角形中位线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键18如图，在矩形中，、分别为、边上的点，当时，证明：【答案】见解析【解析】过点作于点，过点作于点，先根据余角的性质证明，再证明即可证明结论成立【解答】证明：如解图，过点作于点，过点作于点，且四边形为矩形，又，又，【点睛】本题考查了余角的性质，矩形的性质，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键19关于x的

21、方程和一元二次方程中，k，m均为实数，方程的根为非负数（1）求k的取值范围；（2）当k为最小整数时，方程有两根分别为和，求m的值；（3）在（2）的条件下，若直线y=kx+1与x轴，y轴分别交于点a，b，点c是双曲线在第一象限图像上一动点，作cdy轴交线段ab于点e，作cfx轴交线段ab于点g，坐标原点为o按要求补全图形并完成：bg·ae_；求eog的度数【答案】（1）k-1且k2；（2）m=4；（3）1；eog=45°【解析】（1）先解方程，根据方程的根为非负数及一元二次方程的定义即可得答案；（2）由（1）可知k-1，根据k为最小整数可知k=-1，可得方程为，利用一元二次方

22、程根与系数的关系即可得答案；（3）根据（2）可得直线ab和双曲线的解析式，根据题意作出图形，过点e作epx轴于p，过g作gqy轴于q，设点c坐标为（t，），由直线ab解析式可得a、b两点坐标，可得aob是等腰直角三角形，进而可得bqg和epa是等腰直角三角形，可得bg=qg，ae=pe，即可得答案；如图，连接oe、og，由得bg·ae=1，oa=ob=1，oba=oab=45°，可得，即可证明bogaeo，可得ogb=eoa，根据外角性质及角的和差关系可得eog=oab=45°【解答】（1），x=，方程的根为非负数，方程是一元二次方程，0，2-k0，解得：k-1且

23、k2（2）由（1）可知k-1，k为最小整数，k=-1，方程为，方程有两根分别为和，+()=，即-m=-4，解得：m=4（3）根据题意补全图形如下，过点e作epx轴于p，过g作gqy轴于q，由（2）可知k=-1，m=4，直线ab解析式为y=-x+1，双曲线的解析式为，直线y=kx+1与x轴，y轴分别交于点a，b，a（1，0），b（0，1），oa=ob=1，oba=oab=45°，aob是等腰直角三角形，epx轴，gqy轴，bqg和epa是等腰直角三角形，bg=gq，ae=pe，cdy轴，cfx轴，gq=cd，pe=cf，设点c坐标为（t，），则cd=t，cf=，bg·ae=t×·=1如图，连接oe、og，由得bg·ae=1，oa=ob=1，oba=oab=45°，bg=，bogaeo，ogb=eoa，ogb=goa+oab，eoa=eog+goa，eog=oab=45°【点睛】本题考查一元二次方程的定义、根与系数的关系；等腰直角三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，如果两个三角形的两组对应边成比例，且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似；如