例谈恒成立不等式的求解策略

1、解法 1：设 /(x) = x + l - %-2 ,则 f(x) = <m-pbpa -pb当点p在点4的左侧时,当点p在点a的右侧时,=-3；3;例谈含参不等式恒成立问题的求解策略含参数不筹式恒成立问题是不等式中的重要题型，也是各类考试的热点.这类问题既含 参数乂含变量，学牛往往难以下手，怎样处理这类问题呢？转化是捷径.通过转化能使恒成 立问题得到简化，而转化过程中往往包含着多种数学思想的综合运用.下而就其常见类型及 解题策略举例说明.一、可化为一次不等式恒成立的问题例1对于满足4的一切实数，不等式x2+px>4x+/;-3m成立，试求兀的 取值范围.分析：习惯上把兀当作自变量

2、，记函数y = x2 +(p-4)x + 3- /?,于是问题转化为： 当p g 0,4时，y>0恒成立，求兀的取值范围.解决这个等价的问题需要应用二次函数以 及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的.解：设函数/(卫)=(兀_l)p +(兀2 _4兀+ 3),显然xh1,则/(p)是卩的一次函数， 要使.f(p)> 0恒成立，当且仅当/(0)>0 ,且/(4) > 0时，解得兀的取值范围是 (-oo,-l) u (3,+8).点评：本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，把它化归为关于p的一次 函数，利用一次函数的单调性求解，解题的关键是转换变量角色.二

3、、二次不等式恒成立问题例2.已知关于x的不等式(加2 + 4m - 5)x2 - 4(m 1)兀+ 3 > 0对一切实数兀恒成立, 求实数加的取值范围.分析：利用二次项系数的正负和判别式求解，若二次项系数含参数时，应对参数分类讨 论.解：(1)当m2 +4/71-5 = 0时 即加=1或加=一5,燃 加=1时，符合条件，m = -5 不符合条件；(2)当m2+4m-50时，由二次函数对一切实数恒为止数的充要条件，得m2 +4/?-5 >0,亠,0,解得l<m<i9a = 16(/7：-l)2+ 4m -5) < 0综合(1) (2)得，实数的取值范围为1,19).

4、三、绝对值不等式恒成立问题例3对于任意实数x,不等式|x + 1|-|x-2|<6z恒成立，求实数。的取值范围.分析1：把左边看作x的函数关系，就可利用函数最值求解.3, x s 12x-l,-l<x<2, /./max(x) = 3 ,3,x > 2:.a>3.分析2：利用绝对值的儿何意义求解.解法2：设兀、1、2在数轴上对应点分别是p、a. b，则 x-l-x-2 = pa-pb-3<pa -pb 53;当点p在线段abk时，恒成立，即对于任意实数兀，不等式x + -x-2<a恒成立时，实数a的取值范围为 (3,+co) 分析3:利用绝对值不等式a

5、 -b <a±b<问+问求解f(x) = |x + l|-|x-2|的最大 值.解法 3：设于(兀)=|x4-1| - x-2|. x4-1|- x-2| < |(x4-1)-(x-2)| = 3 且兀=2 时等 式成立,/max (兀)=3, a >3四、含对数、指数、三角函数的不等式恒成立问题1 .例4.当兀w(0,_)时，不等式x2 < log, x恒成立，求d的取值范围.2分析：注意到函数/(x) = x2, g(x) = ogax都是我们熟悉的函数，运用数形结合思想，可知要使对一切xg(0»), f(x)<g(x)恒成立，只要在

6、(0,丄)内，g(x) = oga x的 2 2图象在fm = x2图象的上方即口 j.显然0 vdv 1,再运用函数思想将不筹式转化为函数的 最值问题，即/(-)>g(-).2 29 1解：设 f(x) = x2, g(x) = logux，贝ij要使对一切 xe(0,-), /(x)<g(x)恒成立，由图象可知ovavi,并且/(-)>.?(-),故有log“丄n丄，2224/. tz > ,又/ 0 < tz < 1/. < 6( < 116 16点评：通过上述的等价转化，使恒成立的解决得到了简化，其中也包含着函数思想和数 形结合思想的综合

7、运用.此外，从图彖上直观得到()<a< 1后还需考杳区间(0,丄)右端点 2 x二丄处的函数值的大小.2五、形如 /(兀)”型不等式形如“ a > /(x) ”或“ a w /(%) ”型不等式，是恒成立问题中最基木的类型，它的理 论基础是 “ a > /(x)在 xed 上恒成立，则 a > /(x)max (xg£>)；6z< /(x)在 xg£>±恒成立，则a<f(x)m.n许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型.例5.已知二次函数f (%) = ax2 + x ,若兀w 0,1时，恒有5 1,求g的

8、取值范围. 解：|/(x)| < 1,-1 < ax2 + x < 1 ,即一 1 一 无 w ax2 <- x(1) 当x = 0时，不等式isaxosi显然成立，:.aer(2) 当 0 <兀51 时，山一1 兀 < cix s 1 兀得sa 5 .x x x x- = (- x x/. a <0.又丄一- = -+ -)2+-<-2,x2 x x 24ci>-2.:.-2<a<0.综上得，a的取值范围为一2 s a s 0 六、形如“ /(坷)</u) < /(心)”型不等式例 6.设 a>0,函数f (

9、x) =x+ , g (x) =x - lnx ,若对任意的 x, x2曰 1, e,x都有f (xi)>g(x2>成立，则a的取值范鬧为e2, +8)解：求导函数，可得 g' (x) =1 - , x曰 1, e,(x) no, .g (x) max=g (e) =e - 1xf7 (x)二 1 -予令 f (x) =0,xta>0, x=±va当 0<a<l, f (x) 1, e上单调增，f (x) min=f(1)=l+ane-1, aa>e - 2；当l<a<e2, f (x)在1,匹上单调减，f (x)在匹，e上单调

10、增，.*.f (x) min=f (va) = 2va>e - 1 恒成立；当a>e2时f (x)在1, e上单调减，°f (x) min=f (e) =e4->e - 1恒成立 e综上a>e - 2故答案为:e - 2, +°°)七、形如“ /(乞竺)> 小)+心2)”型不等式2 2例 7.在 y = 2' , y = log2 x , y = x2, y = cosx这四个函数中，当 0 < 坷 v x? v 1 时，使心)+心2)恒成立的函数的个数是()2 2(a) 0(b) 1(0) 2(d) 3解：本题实质就是

11、考察函数的凸凹性，即满足条件/(")+/(工2)的函2 2数应是凸函数的性质，画草图即知y-log?兀，y = cosx符合题意，故此题选(c).八、形如“ /(%) < g(x) ”型不等式例 8.已知函数/(x) = lg(x + l), g(x) = lg(2兀+ f),档 x g 0,1时，/(x)wg(x) 恒成立，求实数/的取值范围.解：/(x)< g(x)在 x g 0,1恒成立，即 7% + 1 -2x-t 5 0 在无 g 0,1恒成立 o j7二i-2x-t在0,1上的最大值小于或等于零.令 f(x) = vx + l -2x-t. fx) = / _

12、 2 = -+ "2 j x + 12v x +1 xg0,1,.fx)< 0即f(x)在0,l±单调递减，f(0)是最大值. /(x)<f(0) = l-r<0,即4 1.九、形如a f(x)<g(x2),型不等式4o y -4-(、例 9.已知函数 f(x) = -x3-x2 -3x + - , g(x) =- ,若 对任意3 3x1?x2 e -2,2,都有/(x) < g(x2),求 c 的范围.解：对任意 xt,x2 g-2,2,都有 /(%!)< (x2)成立，/'(qlax vlgoohin t fr(x) = x2

13、 - 2x-3 ,令 ff(x) > 0得兀 > 3或 x v 1; /'(x)v 0得一 1 v 兀 v 3 ./(x)在-2-1为增函数，在-1,2为减函数.1 q i /(-1) = 3,/. /(x)max =3.3 v -一,"v-24-rh±nj-知解含参不等式恒成立问题的基本解题思想是转化为函数的最值或值域问题，解 决的基本方法有三，一个是分离参数(当然是能够分离作为前提)；笫二是通过数形结合、以 形助数布列关于参数的不等式；第三是利川导数解决(d.分离参数法：当不等式中的参数(或关于参数的代数式)能够与其它变量完全分离出來，冃分离后不等式另一边的函数(或代数式)的最值可求时，常用分离参数法.(2).数形结合法:如果不等式小涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时，可 通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围.(3)导数法:即先利用导数求出不等式一边的函数