《中考课件初中数学总复习资料》专题09 动态几何定值问题（解析版）

1、玩转压轴题，争取满分之备战2020年中考数学解答题高端精品专题九 动态几何定值问题【考题研究】数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要 “以静制动”，即把动态问题，变为静态

2、问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。【解题攻略】动态几何形成的定值和恒等问题是动态几何中的常见问题，其考点包括线段（和差）为定值问题；角度（和差）为定值问题；面积（和差）为定值问题；其它定值问题。解答动态几何定值问题的方法，一般有两种：第一种是分两步完成 ：先探求定值. 它要用题中固有的几何量表示.再证明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明.第二种是采用综合法，直接写出证明.【解题类型及其思路】在中考中，动态几何形成的定值和恒等问题命题形式主要为解答题。在中考压轴题

3、中，动态几何之定值（恒等）问题的重点是线段（和差）为定值问题，问题的难点在于准确应用适当的定理和方法进行探究。【典例指引】类型一 【线段及线段的和差为定值】 【典例指引1】已知：abc是等腰直角三角形，bac90°，将abc绕点c顺时针方向旋转得到abc，记旋转角为，当90°180°时，作adac，垂足为d，ad与bc交于点e（1）如图1，当cad15°时，作aec的平分线ef交bc于点f写出旋转角的度数；求证：ea+ecef；（2）如图2，在（1）的条件下，设p是直线ad上的一个动点，连接pa，pf，若ab，求线段pa+pf的最小值（结果保留根号）【答

4、案】（1）105°，见解析；（2）【解析】（1）解直角三角形求出acd即可解决问题，连接af，设ef交ca于点o，在ef时截取em=ec，连接cm首先证明cfa是等边三角形，再证明fcmace（sas），即可解决问题（2）如图2中，连接af，pb，ab，作bmac交ac的延长线于m证明aefaeb，推出ef=eb，推出b，f关于ae对称，推出pf=pb，推出pa+pf=pa+pbab，求出ab即可解决问题【详解】解：由cad15°，可知acd=90°-15°=75°，所以aca=180°-75°=105°即旋转角为

5、105°证明：连接af，设ef交ca于点o在ef时截取emec，连接cmcedace+cae45°+15°60°，cea120°，fe平分cea，ceffea60°，fco180°45°75°60°，fcoaeo，focaoe，focaoe，coefoa，coefoa，faooec60°，acf是等边三角形，cfcaaf，emec，cem60°，cem是等边三角形，ecm60°，cmce，fcamce60°，fcmace，fcmace（sas），fmae，

6、ce+aeem+fmef（2）解：如图2中，连接af，pb，ab，作bmac交ac的延长线于m由可知，eafeab75°，aeae，afab，aefaeb，efeb，b，f关于ae对称，pfpb，pa+pfpa+pbab，在rtcbm中，cbbcab2，mcb30°，bmcb1，cm，abpa+pf的最小值为【名师点睛】本题属于四边形综合题，考查旋转变换相关，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质以及三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题，难度较大【举一反三】如图（1），已知,点为射线

7、上一点，且，、为射线和上的两个动点（），过点作，垂足为点，且，联结（1）若时，求的值； （2）设，求与之间的函数解析式，并写出定义域；（3）如图(2)，过点作的垂线，垂足为点，交射线于点，点、在射线和上运动时，探索线段的长是否发生变化？若不发生变化，求出它的值。若发生变化，试用含x的代数式表示的长【答案】（1）；（2）(x>2)；（3）oq的长度等于3.【解析】（1）根据有两对角相等的三角形相似可证明capcob，由相似三角形的性质可知：，在由已知条件可求出ob的长，由正切的定义计算即可；（2）作aepc于e，易证paepca，根据相似三角形的性质：对应边的比值相等，再利用平行线的性质即

8、可得到 ，所以，整理即可得到求y与x之间的函数解析式，并写出定义域即可；（3）点b、c在射线om和on上运动时，探索线段oq的长不发生变化，由pahpba得：，即pa=phpb，由phqpob得：即pqpo=phpb，所以pa=pqpo，再由已知数据即可求出oq的长【详解】（1）acp=ocb cap=o=90° capcob ap=2 在rtobp中， （2）作aepc，垂足为e，易证paepca mon=aec=90° aeom 整理得(x>2) （3）线段oq的长度不会发生变化 由pahpba 得 即由phqpob 得 即pa=2 po=4 pq=1 oq=3即

9、oq的长度等于3.【点睛】此题考查相似形综合题，解题关键在于作辅助线类型二 【线段的积或商为定值】 【典例指引2】如图，矩形中，将绕点从处开始按顺时针方向旋转，交边（或）于点，交边（或）于点.当旋转至处时，的旋转随即停止.（1）特殊情形：如图，发现当过点时，也恰好过点，此时是否与相似？并说明理由；（2）类比探究：如图，在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（3）拓展延伸：设时，的面积为，试用含的代数式表示；在旋转过程中，若时，求对应的的面积；在旋转过程中，当的面积为4.2时，求对应的的值.【答案】（1）相似；（2）定值，；（3）2，.【解析】（1）根据“两角相等

10、的两个三角形相似”即可得出答案；（2）由得出，又为定值，即可得出答案；（3）先设结合得出将t=1代入中求解即可得出答案；将s=4.2代入中求解即可得出答案.【详解】（1）相似理由：，又，；（2）在旋转过程中的值为定值，理由如下：过点作于点，四边形为矩形，四边形为矩形，即在旋转过程中，的值为定值，；（3）由（2）知：，又，即：；当时，的面积，当时，解得：，（舍去）当的面积为4.2时，；【名师点睛】本题考查的是几何综合，难度系数较高，涉及到了相似以及矩形等相关知识点，第三问解题关键在于求出面积与ae的函数关系式.【举一反三】如图1,已知直线ya与抛物线交于a、b两点(a在b的左侧),交y轴于点c(

11、1)若ab4,求a的值(2)若抛物线上存在点d(不与a、b重合),使,求a的取值范围(3)如图2,直线ykx2与抛物线交于点e、f,点p是抛物线上的动点,延长pe、pf分别交直线y2于m、n两点,mn交y轴于q点,求qm·qn的值。图1 图2【答案】（1）；（2）；（3）8【解析】（1）将两个函数解析式联立，解一元二次方程求得a、b的横坐标，进而表示出ab，即可解答；（2）由（1）可得cd=ab=，设d ，过点d作dhy轴于点h，利用勾股定理可知，进而得到，得到，根据函数图象可知，即可求得a的取值范围；（3）设e（），f（），p（），分别表示ep和fp的解析式，当时，求得，联立和yk

12、x2，得到，利用一元二次方程根与系数的关系得到，代入即可解答.【详解】（1）联立，解得： （2）由（1）知ab=，cd=ab= 设d 过点d作dhy轴于点h，则 又 又 （3）设e（），f（），p（）ep解析式为 将p，e代入可得： 当时，可求，同理可求fp的解析式为又联立得： 【点睛】本题为二次函数与一次函数综合题，难度大，主要考查二次函数与一次函数交点问题，还涉及了一元二次方程和勾股定理等知识，熟练掌握一次函数与二次函数的性质和相关知识点是解题关键.类型三 【角及角的和差定值】 【典例指引3】如图，在abc中，abc60°，bac60°，以ab为边作等边abd（点c、d

13、在边ab的同侧），连接cd（1）若abc90°，bac30°，求bdc的度数；（2）当bac2bdc时，请判断abc的形状并说明理由；（3）当bcd等于多少度时，bac2bdc恒成立 【答案】（1）30°；（2）abc是等腰三角形，理由见解析；（3）当bcd=150°时，bac=2bdc恒成立.【解析】（1）证明ac垂直平分bd，从而可得cd=bc，继而得bdc=30°；（2）设bdc=x，则bac=2x，证明acd=adc，从而得ac=ad，再根据ab=ad可得ab=ac，从而得abc是等腰三角形；（3）如图， 作等边bce，连接de，证明b

14、cdecd后可得到bde=2bdc，再通过证明bdebac得到bac=bde，从而得bac=2bdc.【详解】（1）abd为等边三角形，bad=abd=60°，ab=ad，又bac=30°，ac平分bad，ac垂直平分bd，cd=bc，bdc=dbc=abc-abd=90°-60°=30°； （2）abc是等腰三角形，理由：设bdc=x，则bac=2x，有cad=60°-2x，adc=60°+x，acd=180°-cad-adc=60°+x，acd=adc，ac=ad，又ab=ad，ab=ac，即abc是

15、等腰三角形；（3）当bcd=150°时，bac=2bdc恒成立，如图， 作等边bce，连接de，bc=ec，bce=60°.bcd=150°，ecd=360°-bcd-bce=150°，dce=dcb.又cd=cd，bcdecd.bdc=edc，即bde=2bdc.又abd为等边三角形，ab=bd，abd=cbe=60°，abc=dbe=60°+dbc.又bc=be，bdebac.bac=bde，bac=2bdc.【名师点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握和运用相关性质、结合图形正确添加辅助线

16、是解题的关键.【举一反三】如图1，抛物线的顶点为点，与轴的负半轴交于点，直线交抛物线w于另一点，点的坐标为 （1）求直线的解析式；（2）过点作轴，交轴于点，若平分，求抛物线w的解析式；（3）若，将抛物线w向下平移个单位得到抛物线，如图2，记抛物线的顶点为，与轴负半轴的交点为，与射线的交点为问：在平移的过程中，是否恒为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由【答案】（1）；（2）；（3）恒为定值【解析】（1）由抛物线解析式可得顶点a坐标为（0，-2），利用待定系数法即可得直线ab解析式；（2）如图，过点作于，根据角平分线的性质可得be=bn，由bnd=ced=90°，bnd=cde可

17、证明，设be=x，bd=y，根据相似三角形的性质可得ce=2x，cd=2y，根据勾股定理由得y与x的关系式，即可用含x的代数式表示出c、d坐标，代入y=ax2-2可得关于x、a的方程组，解方程组求出a值即可得答案；（3）过点作于点，根据平移规律可得抛物线w1的解析式为y=x2-2-m，设点的坐标为（t，0）（t0），代入y=x2-2-m可得2+m=t2，即可的w1的解析式为y=x2-t2，联立直线bc解析式可用含t的代数式表示出点c1的坐标，即可得，可得，根据抛物线w的解析式可得点d坐标，联立直线bc与抛物线w的解析式可得点c、a坐标，即可求出cg、dg的长，可得cg=dg，cdg=，即可证明

18、，可得，由cdg=45°可得bf=df，根据等腰三角形的性质可求出df的长，利用勾股定理可求出cd的长，即可求出cf的长，根据三角函数的定义即可得答案【详解】（1）抛物线w：的顶点为点，点，设直线解析式为，b（1，0），解得：，抛物线解析式为：（2）如图，过点作于，平分，设，则，点，点，点，点是抛物线w：上的点，x0，解得：(舍去)，抛物线解析式为：（3）恒为定值，理由如下：如图，过点作轴于h，过点作轴g，过点作于点，a=，抛物线w的解析式为y=x2-2，将抛物线w向下平移m个单位，得到抛物线，抛物线的解析式为：，设点的坐标为，抛物线的解析式为：，抛物线与射线的交点为，解得：，(不合

19、题意舍去)，点的坐标，且轴，与轴交于点，点，与交于点，点，解得：或，点，a（0，-2），且轴，点，点，恒为定值【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数的图象的平移、相似三角形的判定与性质及三角函数的定义，难度较大，属中考压轴题，熟练掌握相关的性质及判定定理是解题关键类型四 【三角形的周长为定值】 【典例指引4】如图，现有一张边长为的正方形abcd，点p 为正方形 ad 边上的一点（不与点 a、点d 重合），将正方形纸片折叠，使点 b 落在 p 处，点 c 落在 g 处，pg 交dc 于h，折痕为 ef，连接 bp，bh.（1）求证：；（2）求证：；（3）当点p在边ad上移动时，p

20、dh的周长是否发生变化？不变化，求出周长，若变化，说明理由；（4）设ap为x，四边形efgp的面积为s，求出s与x的函数关系式.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）周长固定，周长为.（4）【解析】（1）根据折叠的性质，对应边相等，即能解决问题.（2）根据折叠的性质和问题（1）的结论即能解决问题.（3）通过证明过b点向pg作垂线，垂足为q，通过分别证明 和，将pdh的周长问题转化成两固定边长之和，即能解决问题，【详解】（1）证明：四边形epgf由四边形efcb折叠而来，eb与ep重叠ep = ebepb = ebp（2）证明四边形epgf由四边形efcb折叠而来，eb与ep重叠，pg与bc重叠

21、epg = ebc又epb = ebpepg - epb = ebc - ebp，即bph = pbc adbc,apb = pbc, apb = bph（3）解：pdh的周长不发生变化.如图所示，过点b作bq丄pg于点q.在bpa和bpq中， ， qh=hcpdh的周长为：为固定值，固定不变.如图，过点f作fm垂直ab于点m. 在abp和mfe中 在aep中，根据勾股定理，可得： 解得： ，即 即s关于x的关系式为：【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理、三角形全等，二次函数、综合性较强，解决本题的关键是熟练掌握折叠的性质、直角三角形各边长之间关系及三角形全等的判定方法.【举一反三】如图，在

22、等腰直角三角形abc中，c90°，ab8，点o是ab的中点.将一个边长足够大的rtdef的直角顶点e放在点o处，并将其绕点o旋转，始终保持de与ac边交于点g，ef与bc边交于点h.(1)当点g在ac边什么位置时，四边形cgoh是正方形.(2)等腰直角三角abc的边被rtdef覆盖部分的两条线段cg与ch的长度之和是否会发生变化，如不发生变化，请求出cg与ch之和的值：如发生变化，请说明理由.【答案】(1)点g在ac的中点时，四边形cgoh是正方形；(2)cg与ch的和不会发生变化，cg+ch8.【解析】(1)由三角形中位线定理可得ogbc，ogbc，可证四边形cgoh是矩形，由等腰

23、直角三角形的性质可得acocog45°，可得cggo，可得结论；(2)由“asa”可证gochob，可得cgbh，即可得cg+chhb+chbc8.【详解】解：(1)当点g在ac的中点时，四边形cgoh是正方形，连接co，o为ab的中点，点g是ac中点，ogbc，ogbc，cgoc90°，gof90°，四边形cgoh是矩形，acbc，acb90°，aobo，aco45°，且cgo90°，acocog45°，cggo，矩形cgoh是正方形；(2)cg与ch的和不会发生变化，理由如下：连接oc，abc是等腰直角三角形且点o为中点

24、gcob45°，cob90°，cobodof90°cob，gochob，且cobo，gcob45°，gochob(asa)hbgc，cg+chhb+chbcab8，bcac8cg+ch8.【点睛】此题考查的是中位线的性质、矩形的判定、正方形的判定、全等三角形的判定及性质和等腰直角三角形的性质，掌握中位线的性质定理、正方形的判定定理和用asa证明两三角形全等是解决此题的关键.类型五 【三角形的面积及和差为定值】 【典例指引5】综合与实践：矩形的旋转问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动具体要求：如图1，将长与宽都相等的两

25、个矩形纸片abcd和efgh叠放在一起，这时对角线ac和eg互相重合固定矩形abcd，将矩形efgh绕ac的中点o逆时针方向旋转，直到点e与点b重合时停止，在此过程中开展探究活动操作发现：（1）雄鹰小组初步发现：在旋转过程中，当边ab与ef交于点m，边cd与gh交于点n，如图2、图3所示，则线段am与cn始终存在的数量关系是 （2）雄鹰小组继续探究发现：在旋转开始后，当两个矩形纸片重叠部分为四边形qmrn时，如图3所示，四边形qmrn为菱形，请你证明这个结论（3）雄鹰小组还发现在问题（2）中的四边形qmrn中mqn与旋转角aoe存在着特定的数量关系，请你写出这一关系，并说明理由实践探究：（4）

26、在图3中，随着矩形纸片efgh的旋转，四边形qmrn的面积会发生变化若矩形纸片的长为，宽为，请你帮助雄鹰小组探究当旋转角aoe为多少度时，四边形qmrn的面积最大？最大面积是多少？（直接写出答案）【答案】（1）结论：amcn，理由见解析；（2）证明见解析；（3）结论：mqnaoe，理由见解析；（4）aoe45°或135°时，四边形qmrn面积最大为【解析】(1)先证明aokaoj(asa)，推出okoj，akcj，aokajo，再证明ekmgjn(asa)即可的解；(2)过点q作qkef，qlcd，垂足分别为点k，l、先证明四边形qmrn是平行四边形，再证明qmqn即可的解

27、；(3)由三角形的外角的性质以及平行线的性质即可解决问题；(4)如图3-2中，连接bd，在dc上取一点j，使得djad，则aj2，通过解直角三角形求出boc的度数，再结合图象即可得解.【详解】（1）结论：amcn理由：如图2中，设ab交eg于k，cd交eg于j四边形abcd是矩形，四边形efgh是矩形，abcd，efeg，oaocoeog，mekjgn，oakoaj，aokaoj，aokaoj（asa），okoj，akcj，aokajo，ekjg，ekmako，gjncjo，ekmgjn，ekmgjn（asa），kmjn，aman（2）证明：过点q作qkef，qlcd，垂足分别为点k，l由题可

28、知：矩形abcd矩形efgh，adeh，abcd，efhg，四边形qmrn为平行四边形，qkef，qlcd，qkeh，qlad，qkmqln90°，qkql，又abcd，efhg，kmqmqn，mqnlnq，kmqlnq，qkmqln（aas），mqnq四边形qmrn为菱形（3）结论：mqnaoe理由：如图31中，qnd1+2，aoe1+3，又由题意可知旋转前2与3重合，23，qndaoe，abcd，mqnqnd，mqnaoe（4）如图32中，连接bd，在dc上取一点j，使得djad，则aj2，cd2+，cjaj2，jcajac，ajd45°jca+jac，acj22.5&

29、#176;，ocod，ocdodc22.5°，boc45°，观察图象可知，当点f与点c重合或点g与点d重合时，四边形qmrn的面积最大，最大值，aoe45°或135°时，四边形qmrn面积最大为【名师点睛】本题考查矩形的性质、菱形的性质和判定，解直角三角形和全等三角形等知识，解题的关键是能正确找到全等三角形.【举一反三】如图1，矩形abcd中，e是ad的中点，以点e直角顶点的直角三角形efg的两边ef，eg分别过点b，c，f30°.（1）求证：bece（2）将efg绕点e按顺时针方向旋转，当旋转到ef与ad重合时停止转动.若ef，eg分别与ab

30、，bc相交于点m，n.（如图2）求证：bemcen；若ab2，求bmn面积的最大值；当旋转停止时，点b恰好在fg上（如图3），求sinebg的值.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；2；.【解析】（1）只要证明baecde即可；（2）利用（1）可知ebc是等腰直角三角形，根据asa即可证明；构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；如图3中，作ehbg于h设ng=m，则bg=2m，bn=en=m，eb=m利用面积法求出eh，根据三角函数的定义即可解决问题.【详解】（1）证明：如图1中，四边形abcd是矩形，ab=dc，a=d=90°，e是ad中点，ae=de，baecde，b

31、e=ce（2）解：如图2中，由（1）可知，ebc是等腰直角三角形，ebc=ecb=45°，abc=bcd=90°，ebm=ecn=45°，men=bec=90°，bem=cen，eb=ec，bemcen；bemcen，bm=cn，设bm=cn=x，则bn=4-x，sbmn=x（4-x）=-（x-2）2+2，-0，x=2时，bmn的面积最大，最大值为2解：如图3中，作ehbg于h设ng=m，则bg=2m，bn=en=m，eb=meg=m+m=（1+）m，sbeg=egbn=bgeh，eh=m，在rtebh中，sinebh=【点睛】本题考查四边形综合题、矩形

32、的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题【新题训练】1已知在平行四边形abcd中，ab=6，bc=10，bad=120°，e为线段bc上的一个动点（不与b，c重合），过e作直线ab的垂线，垂足为f，fe与dc的延长线相交于点g，（1）如图1，当aebc时，求线段be、cg的长度（2）如图2，点e在线段bc上运动时，连接de，df，bef与ceg的周长之和是否是一个定值，若是请求出定值，若不是请说明理由（3）如图2，设be=x，def的面积为y，试求出y关于

33、x的函数关系式【答案】（1）be=3，eg =；（2）是定值，为15+5；（3）y=x2+（0x10）【解析】（1）先求出be，ae，进而求出bf，ef，再用平行四边形的面积求出fg，即可得出结论；（2）先求出bh，ah，再用相似表示出bf，ef，进而得出cg，eg，即可得出结论；（3）利用三角形的面积公式即可得出结论【详解】（1）四边形abcd是平行四边形，adbc，abcd，bad+b=180°，bad=120°，b=60°，aebc于e，在rtabe中，bae=30°，ab=6，be=3，ae=3，efab，bfe=90°，在rtbef中

34、，bef=30°，bf=be=，ef=，sabcd=bc×ae=ab×fg，10×3=6fg，fg=5，eg=fgef=；（2）如图2，过点a作ahbc于h，b=60°，bh=3，ah=3，ahb=bfe=90°，b=b，abhebf，设be=a，bf=a，ef=a，abcd，befceg，cg=（10a），eg=（10a），cbef+cceg=be+bf+ef+ce+cg+eg=a+a+a+10a+（10a）+（10a）=10+5+5=15+5；（3）同（2）的方法得，ef=x，cg=（10x），dg=cd+cg=6+5x=11x，

35、sdef=ef×dg=×x×（11x）=x2+（0x10）【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理、二次函数的应用，运用相似三角形的性质是解决第（2）小题的关键2如图，边长为8的正方形oabc的两边在坐标轴上，以点c为顶点的抛物线经过点a，点p是抛物线上点a、c间的一个动点（含端点），过点p作pfbc于点f，点d、e的坐标分别为（0，6），（4，0），连接pd，pe，de（1）求抛物线的解析式；（2）小明探究点p的位置是发现：当点p与点a或点c重合时，pd与pf的差为定值，进而猜想：对于任意一点p，pd与pf的差为定值，请你判定该猜

36、想是否正确，并说明理由；（3）请直接写出pde周长的最大值和最小值【答案】（1）yx2+8；（2）正确，d|pdpf|为定值2；理由见解析；（3）pde周长的最大值是2+14，最小值是2+10【解析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可；（2）首先表示出p，f点坐标，再利用两点之间距离公式得出pd，pf的长，进而求出即可；（3）过e作efx轴，交抛物线于点p，求得cpdeedpepdedpepf2ed2（pepf），当p、e、f三点共线时，pepf最小；当p与a重合时，pepf最大；即可解答【详解】（1）边长为8的正方形oabc的两边在坐标轴上，以点c为顶点的抛物线经过点a，c（0，8），

37、a（8，0），设抛物线解析式为：yax2+c，则，解得：抛物线解析式为yx2+8（2）设p（x，x2+8），则f（x，8），则pf8（x2+8）x2pd2x2+6（x2+8）2x4+x2+4（x2+2）2pdx2+2，d|pdpf|x2+2x2|2d|pdpf|为定值2；（3）如图，过点e作efx轴，交抛物线于点p，由d|pdpf|为定值2，得cpdeed+pe+pded+pe+pf+2ed+2+（pe+pf），又d（0，6），e（4，0）decpde2+2+（pe+pf），当pe和pf在同一直线时pe+pf最小，得cpde最小值2+2+82 +10设p为抛物线ac上异于点a的任意一点，过p作

38、pmx轴，交ab于点m，连接me，如图2由于e是ao的中点，易证得mepe（当点p接近点a时，在pme中，显然mpe是钝角，故mepe，与a重合时，等号成立），而meae+am，所以peae+am所以当p与a重合时，pe+pf最大，ae844，pd10得cpde最大值2+4+102+14综上所述，pde周长的最大值是2+14，最小值是2+10【点睛】此题主要考查了二次函数综合以及两点距离公式以及配方法求二次函数最值等知识，利用数形结合得出符合题意的答案是解题关键3如图，四边形abcd中，adbc，abc=90°(1)直接填空：bad=_°.(2)点p在cd上，连结ap，am

39、平分dap，an平分pab，am、an分别与射线bp交于点m、n设dam=°求ban的度数(用含的代数式表示)若anbm，试探究amb的度数是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请用的代数式表示它【答案】(1)90；(2)ban=(45-)°；amb=45°.【解析】(1)依据平行线的性质，即可得到bad的度数；(2)根据am平分dap，dam=°，即可得到bap=(90-2)°，再根据an平分pab，即可得到ban=(90-2)°=(45-)°；根据am平分dap，an平分pab，即可得出man=map+pan=

40、45°，再根据anbm，即可得到amb的度数为定值【详解】解：(1)adbc，abc=90°，bad=180°-90°=90°故答案为：90；(2)am平分dap，dam=°，dap=2°，bad=90°，bap=(90-2)°，an平分pab，ban=(90-2)°=(45-)°；am平分dap，an平分pab，pam=pad，pan=pab，man=map+pan=pad+pab=90°=45°，anbm，anm=90°，amb=180°-9

41、0°-45°=45°【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补4将在同一平面内如图放置的两块三角板绕公共顶点a旋转，连接bc，de探究sabc与sadc的比是否为定值（1）两块三角板是完全相同的等腰直角三角板时，sabc：sade是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由（图）（2）一块是等腰直角三角板，另一块是含有30°角的直角三角板时，sabc：sade是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由（图）（3）两块三角板中，bae+cad180°，aba，aeb，acm，adn（a，b，m，n为常数

42、），sabc：sade是否为定值？如果是，用含a，b，m，n的式子表示此定值（直接写出结论，不写推理过程），如果不是，说明理由（图）【答案】（1）结论：sabc：sade1，为定值理由见解析；（2）sabc：sade，为定值，理由见解析；（3）sabc：sade，为定值理由见解析.【解析】（1）结论：sabc：sade=定值如图1中，作dhae于h，cgba交ba的延长线于g首先证明dae=cag，利用三角形的面积公式计算即可（2）结论：sabc：sade=定值如图1中，作dhae于h，cgba交ba的延长线于g首先证明dae=cag，利用三角形的面积公式计算即可（3）结论：sabc：sade

43、=定值如图1中，作dhae于h，cgba交ba的延长线于g首先证明dae=cag，利用三角形的面积公式计算即可【详解】（1）结论：sabc：sade定值理由：如图1中，作dhae于h，cgba交ba的延长线于gbaecad90°，bac+ead180°，bac+cag180°，daecag，abaeadac，1（2）如图2中，sabc：sade定值理由：如图1中，作dhae于h，cgba交ba的延长线于g不妨设adc30°，则adac，aeab，baecad90°，bac+ead180°，bac+cag180°，daecag

44、，（3）如图3中，如图2中，sabc：sade定值理由：如图1中，作dhae于h，cgba交ba的延长线于gbaecad90°，bac+ead180°，bac+cag180°，daecag，aba，aeb，acm，adn【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，30度的直角三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型5.（解决问题）如图1，在中，于点点是边上任意一点，过点作，垂足分别为点，点（1）若，则的面积是_，_（2）猜想线段，的数量关系，并说明理由（3）（变式探究）如图2，在中，若，点是内任意一点，且，

45、垂足分别为点，点，点，求的值（4）（拓展延伸）如图3，将长方形沿折叠，使点落在点上，点落在点处，点为折痕上的任意一点，过点作，垂足分别为点，点若，直接写出的值【答案】（1）15，8；（2），见解析；（3）；（4）4【解析】解决问题（1）只需运用面积法：，即可解决问题；（2）解法同（1）；（3）连接、，作于，由等边三角形的性质得出，由勾股定理得出，得出的面积，由的面积的面积的面积的面积，即可得出答案；（4）过点作，垂足为，易证，过点作，垂足为，由解决问题（1）可得，易证，只需求出即可【详解】解：（1），的面积，且，.故答案为：15，8.（2），且，.（3）连接、，作于，如图2所示：，是等边三角形

46、，的面积，的面积的面积的面积的面积，.（4）过点作，垂足为，如图3所示：四边形是矩形，由折叠可得：，四边形是矩形，由解决问题（1）可得：，即的值为4.【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、平行线的性质与判定、等边三角形的性质、勾股定理等知识，考查了用面积法证明几何问题，考查了运用已有的经验解决问题的能力，体现了自主探究与合作交流的新理念，是充分体现新课程理念难得的好题6如图，已知锐角abc中，ab、ac边的中垂线交于点o（1）若a=（0°90°），求boc；（2）试判断abo+acb是否为定值；若是，求出定值，若不是，请说明理由【答案

47、】（1）2；（2）是定值【解析】试题分析：（1）根据线段垂直平分线的性质得到ao=bo=co，根据等腰三角形的性质得到oab=oba，oca=oac，根据周角定义即可得到结论；（2）根据等腰三角形的性质得到obc=ocb，于是得到obc=90°，根据三角形的内角和即可得到结论解：（1）ab、ac边的中垂线交于点o，ao=bo=co，oab=oba，oca=oac，aob+aoc=（180°oaboba）+（180°oacoca），aob+aoc=（180°2oab）+（180°2oac）=360°2（oab+oac）=360°

48、;2a=360°2，boc=360°（aob+aoc）=2；（2）abo+acb为定值，bo=co，obc=ocb，oab=oba，oca=oac，obc=（180°2a）=90°，abo+acb+obc+a=180°，abo+acb=180°（90°）=90°【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，周角的定义，三角形的内角和，等腰三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键7o的直径ab15cm，有一条定长为9cm的动弦，cd在弧ab上滑动（点c和a、点d与b不重合），且cecd交ab于e，dfcd交ab于f（1）求

49、证：aebf（2）在动弦cd滑动过程中，四边形cdfe的面积是否为定值，若是定值，请给出证明，并求这个定值，若不是，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）四边形cdfe面积是定值，证明见解析.【解析】（1）要证：ae=bf，就要从点o向cd作垂线，然后利用垂径定理和平行线等分线段定理可知ae=bf；（2）是定值，要求四边形的面积就要分析这个四边形是什么形状的，从图中可以看出是梯形，那就要利用梯形的计算公式计算，即（上底+下底）×高÷2，从图中给出的数量关系可知，上底加下底是定值，高也是定值，所以面积是定值【详解】（1）如图，过o作ogcd于g，则g为cd的中点,又eccd

50、，fdcd,ecogfd,o为ef的中点，即oe=of,又ab为o的直径,oa=ob,ae=bf（等式性质）, (2)四边形cdfe的面积是定值,理由如下：过点o作ogcd于g，连接od.则 在ogd中, 根据勾股定理得 则gd=4.5cm.od、dg是定值，og是定值,ceogdf，g为cd中点，o为ef中点，当cd与ab不平行时og为梯形cdfe的中位线，ce+df=2og=2×6=12cm，梯形的高也是定值9cm，梯形的面积是定值=12×9÷2=54cm2.当cdab时，四边形ecdf是矩形，og=ec=fd=6，矩形的面积=6×9=54cm2是定

51、值.综上所述，四边形cdfe的面积是定值.【点睛】考查了垂径定理和平行线的性质，要学会几何图形的综合应用的解法，充分利用已知条件求证结论.8如图，动点在以为圆心，为直径的半圆弧上运动（点不与点及的中点重合），连接.过点作于点，以为边在半圆同侧作正方形，过点作的切线交射线于点，连接、.（1）探究：如左图，当动点在上运动时；判断是否成立？请说明理由；设，是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；设，是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；（2）拓展：如右图，当动点在上运动时；分别判断（1）中的三个结论是否保持不变？如有变化，请直接写出正确的结论.（均不必说明理由）【答案】(1)成立，理由见解析