《中考课件初中数学总复习资料》2020年中考数学一轮复习培优训练：《圆》

1、2020年中考数学一轮复习培优训练：圆1如图，在abc中，点o为bc边上一点，o经过a、b两点，与bc边交于点e，点f为be下方半圆弧上一点，feac，垂足为d，bef2f（1）求证：ac为o切线（2）若ab5，df4，求o半径长2如图，a，b，c，d在o上，abcd经过圆心o的线段efab于点f，与cd交于点e（1）如图1，当o半径为5，cd4，若efbf，求弦ab的长；（2）如图2，当o半径为，cd2，若oboc，求弦ac的长3（1）已知等边abc内接于o点p为上的一个动点，连结pa、pb、pc如图1，当线段pc经过点o时，试写出线段pa，pb，pc之间满足的等量关系，并说明理由；如图2，

2、点p为上的任意一点（点p不与点a、点b重合），试探究线段pa，pb，pc之间满足的等量关系，并证明你的结论；（2）如图3，在abc中，ab4，ac7，bac的外角平分线交abc的外接圆于点p，peac于e，求ae的长4感知定义在一次数学活动课中，老师给出这样一个新定义：如果三角形的两个内角与满足+290°，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”尝试运用（1）如图1，在rtabc中，c90°，bc3，ab5，bd是abc的平分线证明abd是“类直角三角形”；试问在边ac上是否存在点e（异于点d），使得abe也是“类直角三角形”？若存在，请求出ce的长；若不存在，请说明理由类

3、比拓展（2）如图2，abd内接于o，直径ab10，弦ad6，点e是弧ad上一动点（包括端点a，d），延长be至点c，连结ac，且cadaod，当abc是“类直角三角形”时，求ac的长5已知：ab是o直径，点e、f是弦ad、cd延长线上的点，fbad；（1）求ef与ac的位置关系（2）连接ce交o于g，连接bd，若2cae+dagabd，求证：acce（3）在（2）的条件下，延长ab、ef交于k，ek2ac，ak10，aek的面积18，求线段ek的长度6如图，直线ab经过o上的点c，直线ao与o交于点e和点d，ob与o交于点f连接df、dc已知oaob，cacb（1）求证：直线ab是o的切线；（

4、2）求证：fdcedc；（3）已知：de10，df8，求cd的长7（2019秋如皋市期中）如图，ab是o的切线，切点为b，oa交o于点c，过点c的切线交ab于点d若bao30°，cd2（1）求o的半径；（2）若点p在上运动，设点p到直线bc的距离为x，图中阴影部分的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围8如图：已知adc内接于o，ao是o的半径点e是cd上一点，连接ae，daecao（1）求证：aecd；（2）如图2，延长ao交cd于点g，交o于点b，过b作bfcd于f求证：cfde；（3）如图3，m是弧cd的中点，连接cm交ab于点h，连接am交cd于点n，连

5、接dm若cndm，ad，tancgb，求o的半径9已知，如图abc中，abac，d是边bc上一点，bddc，过点a、d、c三点的o交ab于点f，点e在上，连接df、ae、de、ce（1）求证：bdf是等腰三角形；（2）若，请用题意可以推出的结论说明命题：“一组对边相等，且一组对角相等的四边形是平行四边形”是假命题10如图1，在o中，弦ab与半径oc交于点e，连接ac、ob，boe2oeb（1）求证：acec；（2）如图2，过点c作cdab交o于点d，垂足为m，连接cb，求证：cdcb；（3）如图3，在（2）的条件下，连接do并延长do交ab于点f，连接cf、bd，过点m作mpdb于点p，交df

6、于点q，连接op，若dfc90°，qo1时，求线段op的长度11已知：如图，ab为o的直径，弦cdab，点e为弧ac上一点，连接be（1）如图1，求证：cebdeb；（2）如图2，若弦cd经过圆心o，过点a作afae交de于，求证：cedf；（3）如图3，在（2）的条件下，连接ac交ed、eb于点h、g，连接bf，若cg2，ah3，求bf的长12已知，abc内接于o，abac，连接ao并延长交bc于点d（1）如图1，求证：adbc；（2）如图2，过点b作ac的垂线，交ad于点e，交o于点f，垂足为点g，连接cf，求证：cf+fgbg；（3）如图3，在（2）的条件下，p为弧ac上一点，

7、弧pf弧cf，连接pa、pb、pc，pb交ad于点m，交ac于点n，若pb16，pc10，求amn的面积13如图，rtabc中，abc90°，a30°，ac的垂直平分线交ac边于点d，交ab边于点o，以点o为圆心，ob的长为半径作圆，与ab边交于点e（1）求证：ac是o的切线；（2）若点p为o上的动点（含点e，b），连接bd、bp、dp当点p只在be左侧半圆上时，如果bcdp，求bdp的度数；若q是bp的中点，当be4时，直接写出cq长度的最小值14如图，ab是o的直径，ce是o切线，c是切点，ea交弦bc于点d、交o于点f，连接cf：（1）如图1，求证：ecbf+90&#

8、176;；（2）如图2，连接cd，延长ba交ce于点h，当odbc、hahe时，求证：abce；（3）如图3，在（2）的条件k在ef上，ehfk，sado，求we的长15如图，在o中，ab是o的直径，cd是o的弦且与ab交于点e（e不与o重合），cede，点f在弧ad上，连接ad、cf、df，cf交ab于点h，交ad于点g（1）如图1，求证：cfd2bad；（2）如图2，过点b作bncf于点n，交o于点m，求证：fncn+df；（3）如图3，在（2）的条件下，延长cf至点q，连接qa并延长交bm的延长线于点p，若qadf，hebe，aq2dg10，求线段pn的长参考答案1（1）证明：连结oa，

9、aoe2f，bef2f，aoebef，aodf，dfac，oaac，ac为o切线；（2）解：连接of，bef2f，设afe，则bef2，bafbef2，bafe，baob，oafbao，oaof，afooaf，aboafo（aas），abaf5，df4，ad3，be是o的直径，bae90°，baefda，bafd，abedfa，be，o半径2解：（1）如图1中，连接ob，oc设bfefx，ofycefcefabcd，efab，efcd，afbfx，deec2，根据勾股定理可得：，解得或（舍弃），bf4，ab2bf8（2）如图2中，作chab于hoboc，aboc45°，ah

10、ch，ach是等腰直角三角形，acch，abcd，efab，efcd，cefefhchf90°，四边形efhc是矩形，chef，在rtoec中，ec，oc，oe2，eoc+oce90°，eoc+fob90°，fobeco，oboc，ofbceo（aas），ofec，chef3，acef63解：（1）pa+pbpc，理由如下：线段pc经过点o，pc是o的直径，pacpbc90°，abc是等边三角形，abcbac60°，acpbcp30°，papc，pbpc，pa+pbpc；pa+pbpc，理由如下：在pc上截取pdpa，连接ad，如图2

11、所示：abc是等边三角形，abac，abcbac60°，apdabc60°，pdpa，apd是等边三角形，adappd，pad60°bac，dacpab，在acd和abp中，acdabp（sas），dcpb，pa+pbpd+dcpc；（2）在ac上截取edae连接pd并延长交圆o于g连接cg，如图3所示：peac，deae，papd，padpdacdgpadgcdgg，cgcd，又pa平分fac，bac180°2pad180°（pad+pda）apg，abcgacabaccdad2ae，即2aeacab743，ae4（1）证明：如图1中，bd是

12、abc的角平分线，abc2abd，c90°，a+abc90°，a+2abd90°，abd为“类直角三角形”如图1中，假设在ac边设上存在点e（异于点d），使得abe是“类直角三角形”在rtabc中，ab5，bc3，ac4，aebc+ebc90°，abe+2a90°，abe+a+cbe90°acbe，abcbec，ce，（2）ab是直径，adb90°，ad6，ab10，bd8，如图2中，当abc+2c90°时，作点d关于直线ab的对称点f，连接fa，fb则点f在o上，且dbfdoa，dbf+daf180°，

13、且cadaod，cad+daf180°，c，a，f共线，c+abc+abf90°cabf，fabfbc，即，ac如图3中，由可知，点c，a，f共线，当点e与d共线时，由对称性可知，ba平分fbc，c+2abc90°，cadcbf，cc，dacfbc，即，cd（ac+6），在rtadc中，（ac+6）2+62ac2，ac或6（舍弃），综上所述，当abc是“类直角三角形”时，ac的长为或5解：（1）如图1，延长fe，ac交于点h，连接bd，ab是直径，adb90°，dab+abd90°，四边形abdc是圆内接四边形，hcdabd，且fbad，hcd

14、+f90°，h90°，acef；（2）如图2，延长fe，ac交于点h，连接bd，四边形abdc是圆内接四边形，hcdabd，2cae+dagabd，且hcdcae+adc，cae+adc2cae+dag，adccae+dag，且agcadc，且agcaec+gad，cae+daggad+aec，aeccae，acce；（3）如图3，过点k作kmae，过点e作enak，过点a作apce，交ec的延长线于p，hamk90°，aehmef，haemke，且haecea，ceamke，paae，haecea，cpacap，pcac，且acce，pe2ac，且ek2ac，p

15、eek，且paekme90°，ceamke，paeemk（aas）aemk，ak10，aek的面积18，ak×en×10×en18， ae×mk×ae218，en，ae6，an，knakan，ek26（1）证明：连接ocoaob，accb，ocab，点c在o上，ab是o切线（2）证明：oaob，accb，aocboc，odof，odfofd，aobodf+ofdaoc+boc，bocofd，ocdf，cdfocd，odoc，odcocd，adccdf（3）解：作ondf于n，延长df交ab于mondf，dnnf4，在rtodn中，on

16、d90°，od5，dn4，3，ocm+cmn180°，ocm90°，ocmcmnmno90°，四边形ocmn是矩形，oncm3，mnoc5，在rtcdm中，dmc90°，cm3，dmdn+mn9，cd37解：（1）连结ob，如图，ab、cd是o的切线，dbdc2，obab，cdoa，aboacd90°，bao30°，ad2cd2bd，ad4，abad+bd6，obab2，即o的半径为2；（2）bao30°，boc60°，点p到直线bc的距离为x，pbc的面积为×2×xx，弓形bc的面积

17、扇形cob的面积cob的面积2，yx+2，当点p到bc的垂线经过圆心o时，其值最大，即2+3，自变量x的取值范围是0x2+38（1）证明：如图1中，延长ao交o于m，连接cmam是直径，acm90°，cam+m90°，caodae，dm，dae+d90°，aed90°，aecd（2）证明：如图2中，连接bc，延长ae交o于h，连接dhcaodae，dhbc，bfcd，bfc90°acb，acd+bcf90°，bcf+cbf90°，acdcbf，hacd，hcbf，dehbfc90°，bfched（aas），cfde

18、（3）解：如图3中，作gmad于m，作njab于j，连接bccgbage，aecd，tancgbtanage，设ae4k，eg3k，则ag5k，dmcm，dammac，cndm，acnamd，acnamd（aas），anad，aedn，deen，daenaecabmab，neae，njab，nenj，enegk，dnk，dgk，adk，adgmdgae，gm，amk，gamcae，amgaec90°，aecamg，ack，acbaed，ab10，o的半径为59解：（1）abac，bc，四边形afdc是圆内接四边形，afd+cbfd+afd180°，bfdc，bfdb，bdd

19、f，bdf是等腰三角形；（2）如图，已知abde，be，则四边形abde是平行四边形是假命题；，deac，abac，abde，abac，bc，ce，be，aecdbd，但四边形abde不是平行四边形，“一组对边相等，且一组对角相等的四边形是平行四边形”是假命题10（1）证明：如图1中，延长co交o于t，连接btotob，tobt，eobt+obt2t，eob2oeb2aec，taec，at，aaec，cace（2）证明：如图2中，作ohbc于h，ofcd于focob，ohbc，cohboh，eob2oeb2cem，cohcem，cem+ocf90°，och+och90°，o

20、chocf，ofcd，ohcb，ofoh，ococ，ofcohc90°，rtcofrtcoh（hl），cfch，dfcf，chbh，cdcb（3）延长co交bd于t，连接tf，tmcdcb，dcobco，ctbd，dtbt，ocod，fdctcd，dfcctd90°，cddc，cdtdcf（aas），dtcf，tdcfcd，dfct，tdffct，tdffct（sas），dftctf，docfot，ocdotf，cdtf，btfbdcfcm，cfbt，cmftfb，cmftfb（aas），ftcm，四边形ftmc是平行四边形，teec，emef，dfct，odoc，otof

21、，otfoft，otf+fet90°，oft+ofe90°，oefofe，oeofot，oemo，efem，oqof1，etec2，odoc3，dq2，qpot，pq，dp，dt2，ptdtdp2，op11解：（1）如图1中，cdab，ab是直径，cebdeb（2）如图2中，连接ac、ad，abcd，ocod，acad，cd是直径，cad90°，aeaf，eafaod45°，eaf90°，aeaf，eafcad，eacfad，aceadf（sas），cedf（3）过点a作asce交ce的延长线于s，ated于t，过点e作enac于nab是直径，

22、aeb90°，aed+deg90°，sea+ceb90°，cegdeg，aesaed，ases，atet，asat，同法可证，设hgx，x1，ac6，taneca，taneac，ae，ef，bebf12解：（1）如图1中，abac，ad经过圆心o，adbc（2）如图2中，设bf交ad于h，连接chabac，adbc，bddc，hbhc，bfac，aghbdh90°，hag+ahg90°，dbh+bhd90°，ahgbhd，hagdbh，gafdbh，gafgah，gah+ahg90°，gaf+afg90°，ahga

23、fg，ahaf，acfh，ghfg，chcfbh，bgbh+ghcf+fg（3）如图3中，作mkab于k，mjac于j，pbfcbf，pbc2pbf2cad，abac，adbc，bac2cad，bpcbac，bpc2dac，cbpcpb，cbcp10，bcncbacbn+abn，cnbabn+ban，bancbn，bcnbnc，bnbc10，pb16，pn16106，bcnbca，cbncab，cbncab，设cnx，ac，abnpcn，anbpnc，anbpnc，可得anncbnpn，（x）10×6，x2（负根已经舍弃），cn2，acab5，an3，在rtadc中，ad15，sab

24、cadbc75，an：cn3：2，sabn×7545，mjac，mkab，mabmac，mjmk，samn×4513（1）证明：如图1中，连接ocabc90°，a30°，acb60°，od垂直平分线段ac，oaoc，aoca30°，ocbocd30°，odcobc90°，ococ，odcobc（aas），odob，ac是o的切线（2）解：如图1中，dpbc，pdbdbc，abc90°，addc，bddcad，dcb60°，bdc是等边三角形，dbc60°，bdp60°解：如图

25、2中，连接op，取ob的中点j，连接jqbe4，oboeodop2，jojb1，obc90°，ocb30°，bcob2，jc，qpqb，jojb，jqop1，cqjcjq，cq1，cq的最小值为114解：（1）证明：如图1，连接oc，obococbbfbocbfce是o切线，occeoce90°ecbocb+oceecbf+90°；（2）证明：如图2，过点c作cgef于g，连接bf，则cgecgd90°ab是o的直径，afb90°cgecgdodbcbdcd在bdf和cdg中，bdfcdg（aas）bfcghaheeahebafeahbafe在abf和ecg中，abfecg（aas）abce；（3）如图3，过点c作cgef于g，连接ac，oc，of，bf，由（2）知：abce，bafeoaococaoa