半角旋转模型

1、.内容：半角旋转模型，三垂直模型，以及旋转相似模型探究：（ 1）如图 1，在正方形 ABCD 中， E、 F 分别是 BC 、 CD 上的点，且 EAF 45°，试判断 BE、DF 与 EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；（2）如图2，若把 (1) 问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB AD ， B D 180°，E、F 分别是边BC、CD上的点，且EAF=1 BAD” ，则（ 1）问中的结论是否仍然成立？若2成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）在（ 2）问中，若将 AE F 绕点 A 逆时针旋转，当点分别 E、 F 运动到 BC、 CD 延长线

2、上时，如图 3 所示，其它条件不变，则（ 1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明 .小伟遇到这样一个问题：如图1，在正方形 ABCD 中，点 E、 F 分别为 DC、 BC 边上的点，EAF =45°，连结 EF ，求证： DE+BF=EFyDADADADC小伟是这样思考的： 要想解决这个问题， 首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段AEEE上他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题他的方法是将OBxBFCG BFCBCADE 绕点 A 顺时针旋转 90 °得到 ABG（如图 2），此时 GF 即是 DE+BF图 4图 1图 2

3、图 3y请回答：在图 2 中， GAF 的度数是DADADAD参考小伟得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图CEEE3，在直角梯形 ABCD 中， AD BC（ AD BC），AD =90°， AD=CD=10 ， E 是 CD 上一点，若 BAE=45°，OBxBFCG BFCBCyDE =4，则BE=图 4图 1图 2轴上一图 3D（ 2）如图4，在平面直角坐标系xOy 中，点 B 是 xC1 / 7AOBx图4动点，且点A（3 ，2），连结 AB 和 AO，并以 AB 为边向上作正方形 ABCD ，若 C（ x， y），试用含x 的代数式表示y，则 y=

4、已知：正方形ABCD 中，MAN45 ，绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N（ 1）如图 1，当MAN 绕点 A 旋转到 BMDN 时，有 BMDNMN 当MAN绕点 A 旋转到 BMDN 时，如图 2，请问图 1 中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（ 2）当MAN 绕点 A 旋转到如图3 的位置时，线段BM， DN 和 MN 之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明24如图1，在等腰直角 ABC 中， BAC=90 °，AB=AC =2，点 E 是 BC 边上一点， DEF =45 °且角的两边分别

5、与边 AB ，射线 CA 交于点 P， Q.（ 1）如图 2，若点 E 为 BC 中点，将 DEF 绕着点 E 逆时针旋转， DE 与边 AB 交于点 P，EF 与 CA 的延长线交于点Q.设 BP 为 x，CQ 为 y，试求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（ 2）如图 3，点 E 在边 BC 上沿 B 到 C 的方向运动（不与B， C 重合），且 DE 始终经过点 A,EF 与边 AC 交于 Q 点探究：在 DEF 运动过程中， AEQ 能否构成等腰三角形，若能，求出 BE 的长；若不能，请说明理由海淀 25如图 1，两个等腰直角三角板 ABC 和 DEF 有一条边在

6、同一条直线 l 上，DE 2 ， AB 1 将直线 EB 绕点 E 逆时针旋转 45 ，交直线 AD 于点 M 将图 1 中的三角板 ABC 沿直线 l 向右平移，设 C 、 E 两点间的距离为 k 2 / 7图 1图 2图 3解答问题：（1）当点 C 与点 F 重合时，如图2 所示，可得AM 的值为；AM 的值为DM在平移过程中，（用含 k 的代数式表示） ；DM（2）将图 2 中的三角板 ABC 绕点 C 逆时针旋转， 原题中的其他条件保持不变. 当点 A落在线段 DF 上时，如图 3 所示，请补全图形，计算AM 的值；DM（3）将图 1 中的三角板 ABC 绕点 C 逆时针旋转度， 0

7、90 ，原题中的其他条件保持不变 . 计算 AM 的值（用含k 的代数式表示） DM昌平 22.阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图 1，在正三角形ABC 内有一点P，且 PA=3 ，PB=4 ，PC=5，求 APB 的度数 .小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造AP C ，连接 PP ，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决AADCP'PPPBCBCAB图 1图 2图 3图 4EDFCPAB请你回答：图1 中 APB 的度数等于.参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：（ 1）如图 3，在正方形ABCD 内有一点P，且 PA= 22 ，PB =1，PD =17 ，则

8、 APB 的3 / 7度数等于，正方形的边长为；（ 2）如图 4，在正六边形ABCDEF 内有一点 P，且 PA= 2 ，PB=1，PF=13 ，则 APB 的度数等于，正六边形的边长为通州 24.（ 9 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，点 B(0， 3)，点 C 是 x 轴正半轴上一点，连结 BC ，过点 C 作直线 CP y 轴 .（ 1）若含 45°角的直角三角形如图所示放置其中，一个顶点与点O 重合，直角顶点D在线段 BC 上，另一个顶点E 在 CP 上求点C 的坐标；（ 2）若含 30°角的直角三角形一个顶点与点O 重合，直角顶点 D 在线段 BC 上，另一个

9、顶点 E 在 CP 上，求点 C 的坐标(西城 19)如图所示，在平面直角坐标系yxOy 中，正方形 PABC 的边长为1，将其沿x轴的正yy方向连续滚动， 即先以顶点A 为旋转中心将正方形顺时针旋转 90°得到第二个正BPBPABCBD90°得到第三个正方形， 依此方形，再以顶点 D 为旋转中心将第二个正方形顺时针旋转方法继续滚动下去得到第四个正方形，第 n 个正方形设滚动过程中的点P 的坐标为 ( x, y) ECx OxOxOP 的坐标；（ 1）画出第三个和第四个正方形的位置，并直接写出第三个正方形中的点第24题图备用图备用图x（ 2）画出点P( x, y) 运动的曲

10、线（0 4），并直接写出该曲线与x 轴所围成区域的面积东城 24. 问题 1：如 图1，在等腰梯形ABCD 中 ，AD BC，AB =BC=CD，点 M，N 分别在 AD，CD 上，若 MBN= 1 ABC，试探2究线段 MN ， AM， CN 有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明；问题 2：如图2，在四边形 ABCD 中， AB=BC， ABC + ADC =180 °，点 M， N 分别在1DA， CD 的延长线上，若MBN =2 ABC 仍然成立，请你进一步探究线段MN ，AM ，CN 又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明.昌平 24在 ABC 中， AB=4

11、， BC=6， ACB=30°，将 ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转，得到 A1BC1（ 1）如图 1，当点 C1 在线段 CA 的延长线上时，求 CC1A1 的度数；（2）如图 2，连接 AA1， CC1若 CBC 1 的面积为3，求 ABA1 的面积；（ 3）如图 3，点 E 为线段 AB 中点，点方向旋转的过程中，点 P 的对应点是点P 是线段 AC 上的动点，在 ABC 绕点 B 按逆时针P1，直接写出线段 EP1 长度的最大值与最小值4 / 7C1AP1C1AC1AA1A1ECPBBCBCA1图 1图 2图 3朝阳 24在 Rt ABC 中， A=90°， D

12、、E 分别为 AB、 AC 上的点（ 1）如图 1，CE=AB，BD=AE，过点 C 作 CF EB，且 CF=EB，连接 DF 交 EB 于点 G，连接 BF ，请你直接写出EB 的值；DC（ 2）如图 2， CE=kAB， BD =kAE， EB1 ，求 k 的值DC2AAEE西城 24在 Rt ABC 中， ACB=90°， ABC =，点 P 在 ABC 的内部D=_ ，(1) 如图 1，AB=2AC， PB=3 ，点 M、N 分别在 AB、 BC 边上，则 cosDGPMN 周长的最小值为 _；BCB， PB=10C(2) 如图 2，若条件 AB=2AC 不变，而 PA=2

13、， PC=1，求 ABC 的面积；(3) 若 PA= m ， PB = n ， PC= k ，且 kmcosnsin，直接写出 APB 的度数F门头沟图 1图 2是 AB 边上一点，点24已知：在 ABC 中， AB AC，点 D 为 BC 边的中点，点 FE 在线段 DF 的延长线上，点M 在线段 DF 上，且 BAE BDF ， ABE DBM （ 1） 如图 1，当 ABC 45°时，线段 DM与 AE 之间的数量关系是；（ 2） 如图 2，当 ABC 60°时，线段 DM与 AE 之间的数量关系是；（3） 如图 3，当 ABC（0 << 90）时，线段D

14、M 与 AE 之间的数量关系是； 在（ 2）的条件下延长BM 到 P，使 MP BM ，连结 CP，若 AB 7，AE 2 7 ，求 sin ACP 的值ABCD 上，A使三角板的直角顶点与正方形 ABCD顺义24如图 ，将三角板放在正方形E1的顶点 A 重合三角板的一边交CD 于点 F ，另一边交 CB 的延长线于点 G.（1）求证： EEFEG ；EEAEAFFABCD 的对角线 AC 上，其他条件不变，（2）如图 2，移动三角板， 使顶点始终在正方形（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明M；若不成立，请说明理由；FMMABCD ”改为“矩形（3）如图 3，将（ 2）中的“正方形A

15、BCD ”，且使三角板 的一边经BDCBDEF过点 B ，其他条件不变，若ABa ， BCb ，求图 1图 2EGCBDC的值图3朝 阳5 / 722阅读下列材料：小华遇到这样一个问题，如图1, ABC 中， ACB=30o，BC=6 ， AC=5 ，在 ABC内部有一点 P，连接 PA、 PB、 PC，求 PA+PB+PC 的最小值 ADEA小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分DA离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“B两点之间，线 C PBC段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了他先后尝试了翻折、旋转、平移的方图法3

16、，图 1P2，将 CAPC 绕点 C 顺时针旋转60o，发现通过旋转可以解决这个问题他的做法是，如图B得到 EDC，连接 PD 、BE ，则 BE 的长即为所求图 2（ 1）请你写出图2 中， PA+PB+PC 的最小值为；（ 2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：如图3，菱形ABCD 中， ABC =60o，在菱形ABCD 内部有一点P，请在图3中画出并指明长度等于PA+PB+PC 最小值的线段（保留画图痕迹， 画出一条即可） ；若中菱形ABCD 的边长为4，请直接写出当PA+PB +PC 值最小时PB 的长丰台 24在 Rt ABC 中， AB=BC， B=90°，将一块等

17、腰直角三角板的直角顶点O 放在斜边 AC 上，将三角板绕点 O 旋转（ 1）当点 O 为 AC 中点时，如图 1， 三角板的两直角边分别交AB， BC 于 E、 F 两点，连接 EF ，猜想线段 AE 、CF 与 EF 之间存在的等量关系（无需证明）；如图 2， 三角板的两直角边分别交AB，BC 延长线于 E、F 两点，连接 EF，判断中的猜想是否成立若成立，请证明；若不成立，请说明理由；2）当点 O 不是 AC 中点时，如图 3,，三角板的两直角边分别交AB，BC 于 E、F 两点，若 AO1 ，AC4求 OE 的值OFAABC 中ACB90 ，CDAB于点 D，点 E 在 AC 上，BE 交朝阳期末 25 已知：在AACD 于点 G， EFBE交 AB于点 F。EO如图甲，当 ACBC 时，且CEEA 时，则有 EFEG ；OEAC2BC 时，且 CEO（ 1）如图乙，当EA 时，则线段 EF 与 EG 的数量关系是：EF _EG；AC2BCCE2EACEFEG（ 2）如图乙，当时，