机械振动——简谐运动的基本概念

1、）,它是一个理想化的模型。0点，加速度为零，速度最大; C点，加速度最大，速度为零;0点，加速度为零，速度最大; B点，加速度最大，速度为零。取平衡位置0点为坐标原点，水平向右为X轴 物体m （可视为质点）在坐标为x （即相对于0点的k/A/VWvLAAA/VW 丿简谐运动在一切振动中，最简单和最基本的振动称为简谐运动，其运动量按正弦函 数或余弦函数的规律随时间变化。任何复杂的运动都可以看成是若干简谐运动 的合成。本节以弹簧振子为例讨论简谐运动的特征及其运动规律。一、简谐运动的基本概念：|'1弹簧振子：轻质弹簧（质量不计）一端固定， 另一端系一质量为 m的物体，置于光柑滑的水平面上。物

2、体所受的阻力忽略 不计。设在 0点弹簧没有形变，此处 物体所受的合力为零，称0点为平衡位置。系统一经触发，就绕平衡位置 作来回往复的周期性运动。这样的运 动系统叫做弹簧振子（harm on ic Oscillator 2 弹簧振子运动的定性分析：考虑物体的惯性和作用在物体上的弹性力: B t O弹性力向左，加速度向左，加速， 0 t C:弹性力向右，加速度向右，减速， C t O弹性力向右，加速度向右，加速， 0 t B：弹性力向左，加速度向左，减速， 物体在B、C之间来回往复运动。结论：物体作简谐运动的条件：物体的惯性一一阻止系统停留在平衡位置 作用在物体上的弹性力一一驱使系统回复到平衡位置

3、、弹簧振子的动力学特征:1线性回复力分析弹簧振子的受力情况。 的正方向。由胡克定律可知， 位移）的位置时所受弹簧的作用力 为f=-kx式中的比例系数 k为弹簧的劲度 系数（Stiffness）,它反映弹簧的固 有性质，负号表示力的方向与位移 的方向相反，它是始终指向平衡位置的。离平衡位置越远，力越大；在平衡位 置力为零，物体由于惯性继续运动。这种始终指向平衡位置的力称为回复力。2 动力学方程及其解根据牛顿第二定律，f=ma可得物体的加速度为 机械振动简谐振动的基本概念对于给定的弹簧振子， m和k均为正值常量，令2 k-=m则上式可以改写为a2xdt28空 +<0 2x = 0dt2这就是

4、简谐运动的微分方程。三、简谐运动的运动学特征：1简谐振动的表达式（运动学方程）简谐运动的微分方程的解具有正弦、余弦函数或指数形式。我们采用余弦 函数形式，即x = Acos（，t 亠 '）这就是简谐运动的运动学方程，式中A和$是积分常数。说明：1） 简谐运动不仅是周期性的，而且是有界的，只有正弦函数、 余弦函数或 它们的组合才具有这种性质，这里我们采用余弦函数。2） 考虑三角函数与复数的关系 e旧= cos+isi n日,则x = Ae'3福。用 复数表示简谐运动，其优点是运算比较简单。t2 简谐振动物体的速度和加速度 将简谐运动的运动学方程分别对 时间求一阶和二阶导数，可得简

5、谐运 动的速度和加速度为dxAsi n（t ） dt醴2-"叭边® t+半）d2说明:物体在简谐运动时，其位移、速度、加速度都是周期性变化的。简谐运动不仅是周期性的，而且是有界的一一只有正弦函数、余弦函数或它们的组合才具有这种性质一一采用余弦函数。二、简谐运动的特点：1 .从受力角度来看动力学特征合外力f=-kx与物体相对于平衡位置的位移成正比，方向与位移的方向相 反，并且总是指向平衡位置的。此合外力又称为线形回复力或准弹性力。2. 从加速度角度来看一一运动学特征加速度a =x与物体相对于平衡位置的位移成正比，方向与位移的方 向相反，并且总是指向平衡位置的。3. 从位移角度

6、来看：位移x = Acos（ t ）是时间的周期性函数。说明：1) 要证明一个物体是否作简谐运动，只要证明上面三个式子中的一个即可，且由其中的一个可以推出另外两个；2) 要证明一个物体是否作简谐运动最简单的方法就是受力方析，得到物体所受 的合外力满足回复力的关系。例题：一个轻质弹簧竖直悬挂，下端挂一质量为m的物体。今将物体向下拉一段距离后再放开，证明物体将作简谐运动。证明：取物体平衡位置为坐标原点，竖直向下为x轴的正方向，如图所示。物体在平衡位置时所受的合力为零，即mg-kl=O(1)其中mg为物体的重力，I为物体平衡时弹簧的伸长量。在任一位置x处，物体所受的合力为F=mg-k(x+l)(2)

7、比较、(2)可得F=-kx(3)可见物体所受的合外力与位移成正比，而方向相反，所以该物体将作简谐运动。简谐运动的振幅、周期和相位Amplitude , Period and Frequency , Phase of Simple harmonic Vibration现在我们讨论简谐振动运动学方程x=Acos( 31+ $中的A、3、31+ $ $的物理意义。它们分别是描述谐振动的特征量：振幅、频率和周期、相位和初相。振幅、周期和相位等都是描述简谐运动的物理量。一、振幅A(Amplitude)反映振动幅度的大小引入：在简谐运动的表达式中，因为余弦或正弦函数的绝对值不能大于1,所以物体的振动范围为

8、 +A与-A之间。定义：作简谐运动的物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。说明：(1)A恒为正值，单位为米(m);(2)振幅的大小与振动系统的能量有关，由系统的初始条件确定。二、周期 T(Period)与频率(Frequency)反映振动的快慢1 .周期 Period定义：物体作一次完全振动所需的时间，用T表示，单位为秒(s)。x = Acos( t 川)=Acos (t T)川:订考虑到余弦函数的周期性，有T=2二厂十亠2兀因而有T =2. 频率 Frequency定义：单位时间内物体所作的完全振动的次数，用v表示，单位为赫兹(Hz)。1 = 二T2兀3. 圆频率 Angular Freque

9、ncy定义：物体在2n秒时间内所作的完全振动的次数，用3表示，单位为弧度/秒(rad. s-1 或 s-1)。2兀-2 T说明：1) 简谐运动的基本特性是它的周期性；2) 周期、频率或圆频率均有振动系统本身的性质所决定，故称之为固有周期、 固有频率或固有圆频率。k1km3) 对于弹簧振子，=.,T =2二。 m2兀 V mV k4) 简谐运动的表达式可以表示为x = Ac o s (t :) = Aco 彳 t J = Ac o 2(凉 t)三、相位(Phase)反映振动的状态1.相位质点在某一时刻的运动状态可以用该时刻的位置和速度来描述。对于作简 谐运动的物体来说，位置和速度分别为 x=Ac

10、osC t+ )和v=- 3 Asin( t+ ;:),当振幅A和圆频率3给定时，物体在t时刻的位置和速度完全由4+来确定。即 4+ ；： 是确定简谐运动状态的物理量，称之为相位。相位（wt+ 0）是决定谐振子运动状态的重要物理量3 t+右和A, 3 起决定t时刻物体运动状态，即位移X,速度V,和加速度a.在一次全振动中，谐振子有不同的运动状态，分别与02兀内的一个相位值对应。例如：txV0A00T/40一蛍AT/2-A0TA02兀2 初相位在t=0时，相位为 0称为初相位，简称初相，它是决定初始时刻物体运 动状态的物理量。对于一个简谐运动来说，开始计时的时刻不同，初始状态就 不同，与之对应的

11、初相位就不同，即初相位与时间零点的选择有关。结论：对于一个简谐运动，若A、3、$已知，就可以写出完整的运动方程，即掌握了该运动的全部信息。因此，我们把A、3、$叫做描述简谐运动的三个特征量。3.相位差：定义：两个振动在同一时刻的相位之差或同一振动在不同时刻的相位之差。对于同频率简谐运动、同时刻的相位差% = A1 cos（- t 1）x2 二 A2 cos（ t 2）相位差 L i =（ t ：2）- t '） = 2即两个同频率的简谐运动在任意时刻的相位差是恒定的。且始终等于它们的初 始相位差。说明：A ：0 质点2的振动超前质点1的振动<0 质点2的振动落后质点1的振动2）

12、二 一2k二,k 二 0,1,2,., 同相（步调相同）申=±（2k +1）%k =0,1,2, .反相（步调相反）小结：对于一个简谐运动，若振幅、周期和初相位已知，就可以写出完整的运 动方程，即掌握了该运动的全部信息，因此我们把振幅、周期和初相位叫做描 述简谐运动的三个特征量。四、积分常数A和$的确定：简谐运动运动学方程为x=AcosC t+ ）其中圆频率是由系统本身的性质确定的，积分常数A和$是求解简谐运动的微分方程是引入的，其值有初始条件（即在 t=0时物体的位移与速度）来确 定。将t=0代入位移和速度的公式，即得物体在初始时刻的位移X0和初速度V0：x0 二 Acos ：v0

13、 = -A、sin -：由此可解得V。说明：1）一般来说 $的取值在一n和n （或0和2n ）之间；3）常用方法：由A =求A,然后由丿2） 在应用上面的式子求$时，一般来说有两个值，还要有初始条件来判断应 该取哪个值；冷=Acos ,两者的共同v0 - - A、sin部分求$。例1 :一弹簧振子系统，弹簧的劲度系数为k=0.72N/m，物体的质量为 m=20g。今将物体从平衡位置沿桌面向右拉长到0.04m处释放。求振动方程。解：要确定弹簧振子系统的振动方程，只要确定A、3和$即可。由题可知，k=0.72N/m , m=20g=0.02kg , x°=0.04m , V0= 0, 代入公式可得=6rad s m 0.022 020.04 "2 = 0.04mV0= 0，可得=0x = 0.04cos(6t) (m)22 . V。x02 _又因为x0为正，初速度因而简谐运动的方程为：（0例2 .已知某质点作简谐运动， 试根据图中数据写出振动表达式。 解：设振动表达式为x =