3.1.3函数的奇偶性第2课时学案2020年新人教B版

1、第2课时函数奇偶性的应用【教材分析】课程标准：会利用函数的奇偶性研究函数的定义域、值域、解析式、单调性等.教学重点：函数奇偶性的应用.教学难点：函数的奇偶性和单调性的综合应用.【情境导学】通过上节课的学习，我们知道函数的奇偶性描述了函数图像具有的对称性，这节课我们 就来学习如何应用函数的奇偶性来解决问题.【知识导学】知识点一函数奇偶性的应用如果知道一个函数是奇函数或是偶函数，那么其定义域能分成关于原点对称的两部分， 得出函数在其中一部分上的性质和图像，就可得出这个函数在另一部分上的性质和图像.知识点二偶函数的性质如果y=f(x)是偶函数，那么其在x>0与XVo时的单调性相反.知识点三奇函

2、数的性质如果y=f(x)是奇函数，那么其在x>0与x<0时的单调性相同.【课堂自测】1.判一判(正确的打“”，错误的打“X”)(1) 偶函数的图像一定与y轴相交.()(2) 奇函数的图像一定通过原点.()若函数y= f(x)是偶函数，且在1,2上单调递增，那么该函数在2，- 1上也单调递增.()若函数y= f(x)是奇函数，且在(0,3)上单调递减，那么该函数在(3,0)上单调递增.()答案××××2 .做一做(1) 函数 y= f(x)，x 1, a(a>- 1)是奇函数，贝U a等于()A . 1B . 0 C. ID.无法确定2

3、1(2) 已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x) = X2 + 一，则f( 1) =.(3) 如果奇函数f(x)在区间2,5上是减函数，且最大值为8,最小值为3,那么f(x)在5,一 2上是 数，最大值是 最小值是.答案(I)C (2) 2 减一3 8【典型例题】题型一利用函数的奇偶性求值或求参数1例1 (1)已知函数f(x) = X3+ ax2+ bx+ C是定义在2b 5,2b 3上的奇函数，贝U f的值为()1a3C . 1D .无法确定已知 f(x) = x7 ax5+ bx3+ cx+ 2,若 f( 3)= 3,则 f(3) =已知函数f(x)= (x+ a)(x+

4、b)(a, b R)为R上的偶函数. 求a, b的关系式； 求关于X的方程f(x) = 0的解集.解析(1)奇函数的定义域关于原点对称，2b 5= (2b 3)= 2b+ 3.解得 b= 2.f(x)是定义在1,1上的奇函数，f(0) = C= 0, f( 1)= f(1).即一1 + a 2= (1 + a + 2). a= 0.f(x) = x3+ 2x.11 3119f 2 = 2 + 2×2 = 8+ 1= 8.令 g(x) = x7 ax5 + bx3+ ex,贝U g(x)为奇函数.f( 3)= g( 3)+ 2= g(3) + 2.又 f( 3)= 3,g(3) = 5

5、.又 f(3) = g(3)+ 2,f(3) = 5+ 2= 7.因为 f(x) = (x+ a)(x+ b) = X2+ (a+ b)x+ ab 是偶函数，所以 f( x) = f(x)对于 x R 恒 成立，所以(一x)2 (a+ b)x+ ab= x2+ (a+ b)x+ ab,即2(a+ b)x= 0对于x R恒成立，所以 a+ b = 0,即 b= a.由可知，f() = x2 a2.当 a = 0 时，f(x) = X2 = 0 ,解得 X= 0;当 a0 时，f(x) = x2 a2= 0,解得 X= ÷a.综上所述，当a = 0时，方程f(x) = 0的解集为0;当a

6、0时，方程f(x)= 0的解集为 a， a.答案(I)B (2)7 (3)见解析【典例分析】利用奇偶性求参数的常见类型及策略(1) 定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为a，b,根据定义域关于原点对称，利用a+ b = 0求参数.解析式含参数：根据f( x)= f(x)或f( X)= f(x)列式，比较系数即可求解.2x+ 1, x<0,【跟踪训练】(1)设函数f(x)=若f(x)是奇函数，贝U g(2)的值是()g X , x>0,A . 3B . 5C . 5D . 3(2) 若f(x)= ax2+ bx+ b+ 1是定义在a 1,2a上的偶函数，贝U a+ b的值为()A

7、1C1A. 3B311C . 2DQ答案(1)A(2)B2x+ 1, x<0,解析 函数 f(x)=且 f(x)是奇函数， g(2) = f(2) = f( 2)=(g X , x>0,2× 2+ 1) = 3.故选 A.(2) Tf(X) = ax + bx+ b+ 1 是定义在a 1,2a上的偶函数，° a 1 = 2a, f( x) = a« bx2 1 1+ b+ 1 = f(x) = ax2 + bx+ b+ 1；a=3, b = 0；a+ b=3故选 B.题型二利用函数的奇偶性求解析式例2 若f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，

8、f(x) = x(1 x),求当x0时，f(x)的解析式.解T 当 x<0 时，f(x) = x(1 x),设 x>0,则x<0.f(x) = x(1 + x),又 f(x)是奇函数， f( x)= f(x),f(x) = x(1 + x).当 X= 0 时，f(0) = f(0),即 f(0) = 0.当 x 0 时，f(x) = x(1 + x).【典例分析】利用函数奇偶性求解析式的方法注意求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量x,然后把X转化为一X为另一已知区间上的解析式中的变量，通过互化，求得所求区间上的解析式.【跟踪训练】已知f(x)是定义在R上的奇函数，并且当

9、x>0时f(x) = X3+ x+ 1,求f(x)的 解析式.解T 当 x>0 时，f() = X3 + x+ 1,设 x<0,-x>0.f(X)= (x)3+ ( x) + 1 = X3 x+ 1.又 f(x)是奇函数，f(0) = 0, f( x)= f(x) ° f(x) = X x + 1,即卩 f(x) = X + X 1.3X + x+ 1 x>0 ,故 f(x) = 0 X= 0 ,X3+ x 1 x<0 .题型三函数的奇偶性与单调性的综合应用例3 (1)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，在2,6上是减函数，试比较f( 5)与

10、 f(3)的大小；设定义在2,2上的奇函数f(x)在区间0,2上单调递减，若f(m)+ f(m 1)>0,求实数m 的取值范围.解(1)因为f(x)是偶函数，所以f( 5) = f(5),因为f(x)在2,6上是减函数，所以 f(5)<f(3),所以 f( 5)<f(3).(2)由 f(m) + f(m 1)>0,得f(m)> f(m 1),即 f(1 m)<f(m).又f(x)在区间0,2上为减函数且f(x)在2,2上为奇函数，f(x)在2,2上为减函数.2 1 m 2, 故m的取值范围为一1, 2 .【典例分析】 m 3， 2 m 2,即奇偶性与单调性综

11、合问题的两种类型(1)比较大小：看自变量是否在同一单调区间上. m 2， 解得一1 mV©11 m>m,mv. 在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； 不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利 用单调性比较大小.(2)解不等式 利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(Xl)vf(X2)或f(i)>f(X2)的形式; 根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，脱掉不等 式中的“”专化为简单不等式求解.【跟踪训练】(1)已知函数f(x)在5,5上是偶函数，f(x)在0,5上是单调函数，且f(4)

12、<f(- 2),则下列不等式一定成立的是()A . f( 1)<f(3)B . f(2)<f(3)C . f( 3)<f(5)D . f(0)>f(1)设函数f(x)在R上是偶函数，在(-> 0)上单调递减，若f(a综上，实数a的取值范围是, 3 .-2a+ 3)>f(a2 + a+ 1)， 求实数a的取值范围.答案(I)D (2)见解析解析(1)因为函数f(x)在5,5上是偶函数，所以f( 4)<f( 2)? f(4)<f(2).又f(x)在0,5上是单调函数.所以f(x)在0,5上单调递减， 从而 f(0)>f(1).(2)由题意

13、，知f(x)在(0,+)上是增函数.又 a2 2a+ 3= (a 1)2 + 2>0，21 2 3a + a+ 1= a + ? + 4>°，且 f(a? 2a+ 3)>f(a? + a+ 1)，2所以 a? 2a + 3>a? + a + 1 ,即卩 3a<2， a<3.【随堂测验】1. 若函数f(x)= X为奇函数，贝U a等于()2x 十 1 X aA 1m 2a2b33C.4D.1答案 A1解析 函数f(x)的定义域为X x -2，且xa .又f(x)为奇函数，定义域应关于原点对称，.a=22. 若函数f(x)= ax2+ (2+ a)x+

14、 1是偶函数，贝U函数f(x)的单调递增区间为()A . (- 0B . 0，+)C . (-+ )D . 1，+)答案 A解析 因为函数f(x)为偶函数，所以a + 2 = 0，a=-2,即该函数f(x)= 2x2+ 1,所以函数在(-, 0上单调递增.故选A.3设f(x)是R上的偶函数，且在0，+)上单调递增，则f(-2)，f(- ) f(3)的大小顺序是()A . f(- )>(3)>f( 2)B . f(- )>( 2)>f(3)C . f(3)>f( 2)>f(- )D . f(3)>f(- )>(-2)答案 A解析Vf(X)是R上的偶函数， f( 2) = f(2)，f(- =f( ,)又f(x)在0,+)上单调递增，且 2<3< f( f(3)>f(2),即 f( - )f>3)>f(- 2).4. 奇函数f(x)在区间3,6上是增函数，在区间3,6上的最大值是4,最小值是一1，则2f(-6) + f( - 3) =.答案 7解析Vf(X)是奇函数，且在3,6上是增函数，f(3) =- 1, f(6) = 4. 2f( - 6) + f( - 3)=- 2f(6) - f(3) = -2×