(完整版)三角形四心与向量.docx

1、知识点总结1.。是ABC的重心三角形“四心”向量形式的充要条件应用OAOB OC 0 ；1若。是 uuur PGS BOCAOCS AOBS ABC2. O是ABC的重心，则 uuur uuurL( pa PB3ABC的垂心ABC （非直角三角形uuurPC )OA）的垂心,故 tan AOA tan BOB3. o是 ABC的外心3G为ABC的重心.OB OB OCQ则B0Ctan C OC 0故 OAOBOC 0 ；OCAOCOA：S AOBtan Atan B tan C,2I OAI I OB I I OC I (或 OA OBOCS S S若 o 是 ABC 的外心则B0C AOC

2、AOB sin BOC sin AOC sin AOB sin2A: sin2B: sin2C故 sin 2AOA sin 2BOB sin 2C OC 04.。是内心AHC的充要条件是_.航 ac-_.豌 ctf rrOA一) OBOC) 0I AB I ACIBA I I BC II CA I I CB I引进单位向量,使条件变得更简洁。如果记AB , BC , CA的单位向量为,则刚才。是 ABC内心的充要条件可以写成OA(eie3 ) OB (eie2) OC (e2 e3) 0ABC内心的充要条件也可以是aOAb OBcOC0 。若O是ABC的内心，则S BOC S AOCS AOB

3、a： b： caOAbOBcOC 0 或 sin A OA sin BOB sin COC线）；uuur uuur I AB I PCuuur uuurIBCI PAuuur uuur rICAI PB 0P l ABC的内心；向量uuurABuuurAC1 uuur 八I AC I0）所在直线过ABC的内心（是 BAC的角平分线所在直（一）将平面向量与三角形内心结合考查例1. O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP OAAB0,则p点的轨迹一定通过 ABC的（）（A ）外心（B ）内心（C）重心（D ）垂心ABuuur解析：因为|是向量AB的单位向量设|ab|u

4、uur uuurAB与AC方向上的单位向量分别为又OP OA AP ,则原-2 -式可化为 AP （ei e2）,由菱形的基本性质知ap平分 BAC ,那么在 ABC中，ap平分 BAC ,则知选B.（二）将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2.H是a ABC所在平面内任一点，HA HB HB HC HC HA 点H是a ABC的垂心.由 HA HB HB HCHB (HC HA) 0 HB AC OHB AC ,同理HC AB , HA BC .故H是 ABC的垂心.（反之亦然（证略）例3.（湖南）P是a ABC所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA ,则P是 ABC的

5、（D ）A .外心B 内心C.重心D.垂心解析：由 PA PB PBPC 得 PAPB PB PC 。.即 PB ( PA PC) 0,即 PB CA 0则PB CA,同理PABC, PC AB所以P为 ABC的垂心.故选D.（三）将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4.G是 ABC所在平面内一点， GA GB GC =0证明 作图如右，图中 GB GC GE连结BE和CE,则CE=GB, BE=GC BGCE为平行四边形点G是a ABC的重心.D是BC的中点，AD为BC边上的中线.将GBGC GE 代入 GA GB GC =0,得GA例5.P是 ABC所在平面内任一点.G是aABC的

6、重心PG -(PA PB证明PG PA AGPB BG PC CG 3PG (AG BG CG ) (PA PB PC )/ G是a ABC的重心:.GA GB GC =0 AG BG CG =0,即 3PG PA PBPC由此可得PG_(Ta3PB PC） .（反之亦然（证略）例6若。为uuur uuurABC 内一点，OA OBuuur rOC 0 ,则O是 ABC的(夕卜心D.重心uuur解析：由OAuuurOBuuur r uuurOC 0 得 OBuuurOCuuurOA ,如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形,uuur uuur uuurOB OC OD ,由uuur平行四边形

7、性质知OE1 uuur? OD ' OA2 OE同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选EG =0 GA GE 2GD，故G是 ABC的重心.（反之亦然（证略）1（四）将平面向量与三角形外心结合考查例7若O为 ABC内一点,，则O是 ABC的（-2 -B .外心 C.垂心解析：由向量模的定义知 O到 ABC的三顶点距离相等。故 O是 ABC的外心，选b。 （五）将平面向量与三角形四心结合考查例8已知向量一, -OP1 , OP2 ， OP3 满足条件 OP1 + OP2 + OP3 =0, I OP1 1=1 OP2 1=1 OP3 1=1，求证证明 PiP2P 3是正三角形.（数

8、学第一册（下），复习参考题五B组第6题）由已知函 +OP2 =- OP3，两边平方得 OP? OP?=-,2同理OP2 OP3 = OP3 , OP1 2I P 1 P2 1=1 P2 P3 1=1 P3 P1a)= 3 ，从而aPiP2P3 是正三角形.反之，若点o是正三角形 pip2 P3的中心，则显然有op-+op-" + oF=o w 6p"i=i6F* =T6p l即O是 ABC所在平面内一点,OP1 + OP2 + OP3 =0 且 I OP1 1=1 OP2 1=1 OP3 I 点 o 是正 P1P2 P3 的中心.例9.在AABC中，已知Q、G、H分别是三角

9、形的外心、重心、垂心。求证:【证明】：以A为原点，AB所在的直线为X轴，建立如图所示的直角坐标系。设Q、G、H 三点共线，且 QG:GH=1:2 .A(0,0)、B ( x i,0 )、C(x 2,y 2) , D、E、F 分别为AB、BC、AC的中点，则有:c xX. x9D (、E( J L22uuuurGah33uuurBC (x 2 x i , y 2 )y22Y22 uuur2,由题设可设(x 2, y 4 ) QF (Y3)uuuurQ AHuuuuruuur BC uuurAH ? BC x2 (x2uuurQQFuuurX ?(X ? XI )uuuurACuuuurQF ?A

10、CuuuurQHy2XI )(X2X一，丫422x(?-12 -uuurQG (、232x, Y3 )(二X-+ , 3x 2 ( X 2X-F66y2uuuur 二十QH3x y x (x x ) y-t.-r 22y 2计，3x 2(X 2-2y 2uuuur uuur即 QH=3QG,故 Q、G、H 三点共线，且 QG： GH=1： 2例10.若OH分别是ABC的外心和垂心.求证一、OH OA OB OC证明 若 ABC的垂心为H ,外心为O,如图.连BO并延长交外接圆于D,连结AD, CD.9， . AD AB , CD BC .又垂心为 H, AH BC CH AB:.AHCD, C

11、H / AD, 四边形AHCD为平行四边形， . AH DC DO OC ,故 OH OA AH OA OB OC .著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心” 一一外心、重心、垂心的位置关系:（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线一一 “欧拉线”；（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外一一垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题_ 1例11. 设O、G、H分别是锐角 ABC的外心、重心、垂心.求证3证明 按重心定理 G是 ABC的重心 0G* - 6 OB OC）3按垂心定理0订 OA OB-OC .由此可

12、得 0G 3补充练习1.已知 A、B、C是平面上不共线的三点,O是三角形ABC的重心，动点P满足1(-2OA + 1 OB +2PC ），则点P 一定为三角形ABC的A. AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点（非重心）C .重心D.AB边的中点b取ab边的中点M,则O入OB 20M ,由0PX (loA3 2+2灰河得 3 OP 3OM 22MC ，2.3.MP- -MC3在同一个平面上有夕卜心,即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点ABC及一点o满足关系式:uuuuur2uuuuuur uuuuuurBC+OB2内心C重心垂心不过重心，故选B.uuuuur2CAuuuuuur

13、OCuuuuuurAB 2,则o为ABC已知 ABC的三个面内一uuur uuur uuurPA PB PC0 ，则p为 ABC的夕卜心B 内心C重心垂心已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足:OP OA （ AB AC），则p的轨迹一定通过a abc的A 外心B 内心 C重心 D 垂心4.已知 ABC, P为三角形所在平面上的动点，且动点 P满足:uuur uuurPA? PCuuurPA?uuurPBuuur uuurPB ? PC 0，则P点为三角形的夕卜心内心C重心垂心uuuruuurP为三角形所在平面上的一点，且点 P满足：a PAPBuuurc? PC

14、0 ,则P点为三角形的夕卜心内心重心垂心形ABC足：CACB2 AB7CPP点轨迹一定通过 ABC的：夕卜心B 内心重心D 垂心AU7.已知非零向玳AB与AC满足（IAB I IACIIAB IIAC IA.三边均不相等的三角形B.直角三角形C .等腰非等边三角形D.等边三角形uuurAB解析：非零向量与满足（玳*-I AB IuuurACuuur ) =0,即角A的平分线垂直于BC, AB=AC,又cosAuuurI AC IuuurABI AB IuuurACtlUtiTI AC I所以 ABC为等边三角形，选D.8. ABC的外接圆的圆心为o,两条边上的高的交点为H, OH m（OA O

15、B OC）,则实数m = 19.点o是三角形ABC所在平面内的一点，满足QAO&-OB O- OC au 则点 o 是ABC 的（B ）（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点（C）三条中线的交点（D）三条高的交点10.如图1,已知点G是ABC的重心，过G作直线与AB, AC两边分别交于M,N两点，且UUUUV UUUVAM xAB,UUUV UUUVAN yAC 413。证 点G是UUUV UUUVx yABC的重心,UUUVGAUUUV UUUV UUUV得 AG (AB AG) (AC AG )UUUV UUUUV于是存在，使得AG AMUUUV UUUV c

16、GBGCDUUUV 1 UUUV UUUV,有 一o AG 3(AB AC)UUUVAN (且 1),又M, N, G三点共线（A不在直线MN上），UUUV有AGUUUVUUUV 1 UUUV UUUVxAB y AC = 3( AB AC )得xy例讲三角形中与向量有关的问题教学目标：1、三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法2、向量的加法、数量积等性质3、利用向量处理三角形中与向量有关的问题4、数形结合教学重点：灵活应用向量性质处理三角形中与有关向量的问题 教学难点：针对性地运用向量性质来处理三角形中与向量有关的问题 教学过程：1、课前练习2OC ,则 O 是 ABC

17、 的（）D 、内心.2 21.1 已知。是 ABC内的一点，若 OA OBA重心 B 、垂心 C 、外心1.2 在 ABC 中，有命题 AB AC BC ； AB BC CA 0 ；若 AB AC ? AB AC 0 ,则4 ABC为等腰三角形；若 AB ? AC 0 ,则a ABC为锐角三角形，上述命题中正确的是（）A、 B 、 C 、 D、®®®2、知识回顾2.1 三角形的重心、内心、垂心、外心及简单的三角形形状判断方法2.2 向量的有关性质2.3 上述两者间的关联3、利用向量基本概念解与三角形有关的向量问题例1、已知 ABC中，有1-1工，试判断 ABC的形

18、状。2练习1、己知 ABC中，AB a , BC b , B是 ABC中的最大角，若a ? b 0 ,试判断 ABC的形状。4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题5、例2、已知O是 ABC所在平面内的一点,A、重心 B、垂心C运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题BCOBAC0CAB、内心2 2，则O是AABC的（）例3、已知P是 ABC所在平面内的一动点，且点 P满足OPOAAC0,则动点P 一定过A重心、垂心、外心、内心AB练习2、已知O为平面内一点，A、B、c平面上不共线的三点，动点满足。P OAAB - BC ,20,，则动点P的轨迹一定通过 ABC的(A、重心B、垂心、外心D、内心例4、已知O是 ABC所在平面内的一点，动点P满足OPABOAosB0,则动点P 一定过 A