现代控制理论(第四章)

1、4.2 李雅普诺夫第一法4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义4.3 李雅普诺夫第二法4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用4.5 李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用系统稳定性的定义与李雅普诺夫方法 控制系统本身处于平衡状态。受到扰动，产生偏差。扰动消失后，偏差逐渐变小，能恢复到原来的平衡状态，则稳定。偏差逐渐变大，不能恢复到原来的平衡状态，则不稳定。李雅普诺夫第一法：求解微分方程，根据解的方法判断稳定性李雅普诺夫第二法：构造李雅普诺夫标量函数判定稳定性，在最优控制、滤波、自适应控制等方面有广泛应用。4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义4.1.1 系统状态的运动及平衡状态设所研究系统的齐次状态方程

2、为（1） 式中， 为 维状态矢量； 为与 同维的矢量函数，它是x的各元素 和时间 的函数。一般地，为时变的非线性函数。如果不显含 ，则为定常的非线性系统。设方程式(1)在给定初始条件 下，有唯一解：（2）式中， 为表示 在初始时刻 时的状态； 是从开始观察的时间变量。 式(2)实际上描述了系统式(1)在n 维状态空间中从初始条件 出发的一条状态运动的轨迹，简称系统的运动或状态轨线状态轨线。 若系统式(1)存在状态矢量 ，对所有 ，都使：成立，则称 为系统的平衡状态平衡状态。（3） 对于一个任意系统，不一定都存在平衡状态，有时即使存在也未必是唯一的，例如对线性定常系统： 当A A为非奇异矩阵时，

3、满足 的解 是系统唯一存在的一个平衡状态。而当A A为奇异矩阵时，则系统将有无穷多个平衡状态。（4） 对非线性系统，通常可有一个或多个平衡状态。它们是由方程式(3)所确定的常值解例加系系统：就有三个平衡状态： 稳定性都是相由于平衡点而言，任意一个已知的平衡状态，都可以通过坐标变换将其 移到坐标原点 处。所以今后将只讨论系统在坐标原点处的稳定性就可以了。 若用 表示状态矢量 与平衡状态 的距离，用点集 表示以 为中心 为半径的超球体，那么 ，则表示：（5）式中， 为欧几里德范数。在n维状态空间中，有：（6） 当 很小时，则称 为 的邻域。因此，若有 ，则意味着 同理，若方程式(1)的解 位于球域

4、 内，便有：4.1.2 稳定性的几个定义（7） 式(7)表明齐次方程式(1)内初态 或短暂扰动所引起的自由响应是有界有界的。李雅普诺夫根据系统自由响应是否有界把系统的稳定性定义为四种情况。1李雅普诺夫意义下稳定2渐近稳定3大范围渐近稳定4不稳定00 ttexx 设系统设系统对于任意选定的对于任意选定的 ，都对应的存在另一实数，都对应的存在另一实数 使当使当0),(0t000 ,),;(ttttexxx则称系统的平衡则称系统的平衡 状态状态 在在李雅普诺夫意义下稳定。李雅普诺夫意义下稳定。-简称为稳定简称为稳定ex如果如果 与初始时间无关，称为与初始时间无关，称为一致稳定一致稳定。其中其中 与与

5、 有关，一般情况下也与有关，一般情况下也与 有关。有关。1 1、李雅普诺夫意义下稳定、李雅普诺夫意义下稳定0时，从任意初始状态出发的解都满足时，从任意初始状态出发的解都满足0t几何意义：几何意义： 初始状态初始状态有界有界，随时间推移，状，随时间推移，状态向量距平衡点的距离可以维持在一态向量距平衡点的距离可以维持在一个确定的数值内，而到达不了平衡点。个确定的数值内，而到达不了平衡点。 任给一个任给一个从球域从球域 ，出发的若存在一个球域出发的若存在一个球域 使得当使得当 时，从时，从 出发的轨迹不离开出发的轨迹不离开 ，则称系统的平衡状态是，则称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下李雅普诺夫意义下

6、的的稳定。稳定。)( St)(S)(S)( S1x2xex)(S)( S 设系统初始状态位于以设系统初始状态位于以平衡状态平衡状态 为球心，为球心， 为半径的闭球域为半径的闭球域 内，即内，即)(S ex00 ttexx0),;(lim00etttxxx则称系统的平衡状态则称系统的平衡状态 是是渐近稳定渐近稳定的的。ex若系统方程的平衡状态若系统方程的平衡状态 不仅具有李雅普诺夫意义下的稳定性，且有不仅具有李雅普诺夫意义下的稳定性，且有ex2 2、渐近稳定、渐近稳定几何意义：几何意义：初始状态有界，随时间推移，初始状态有界，随时间推移，状态向量距平衡点的距离可状态向量距平衡点的距离可以无限接近

7、，直至到达平衡以无限接近，直至到达平衡点后停止运动。点后停止运动。1x2xex)(S)( S当当 时，从时，从 出发的轨迹不仅不超出出发的轨迹不仅不超出 ，而且最终收敛于，而且最终收敛于 ，则，则称系统的平衡状态是称系统的平衡状态是渐近稳定渐近稳定的。的。)( S)(Stex初始状态在整个状态空间时，平衡状态都渐近稳定。初始状态在整个状态空间时，平衡状态都渐近稳定。 当初始条件扩展到整个状态空间，且平衡状态均具有渐近稳定性时，称此平当初始条件扩展到整个状态空间，且平衡状态均具有渐近稳定性时，称此平衡状态是衡状态是大范围渐近稳定大范围渐近稳定的。的。3 3、大范围渐近稳定、大范围渐近稳定几何意义

8、：几何意义： 当当 时，从状态空间任意一点出发的轨迹都时，从状态空间任意一点出发的轨迹都收敛于收敛于 。tex初始状态有界，随时间推初始状态有界，随时间推移，状态向量距平衡点越移，状态向量距平衡点越来越远。来越远。4 4、不稳定、不稳定几何意义：几何意义： 如果对于某个实数如果对于某个实数 和任一个实数和任一个实数 ，不管这，不管这 有多小，在有多小，在 内内 出发的状态轨迹，至少有一个轨线超出出发的状态轨迹，至少有一个轨线超出 ， 则称则称此平衡状态此平衡状态 是是不稳定不稳定的。的。0)(S)( S0ex1x2xex)(S)( S注：在经典控制理论中，渐近稳定系统才称作稳定系统，而李雅普诺

9、夫意义下的注：在经典控制理论中，渐近稳定系统才称作稳定系统，而李雅普诺夫意义下的稳定但不是渐近稳定的系统（临界稳定），在工程上属于不稳定系统。稳定但不是渐近稳定的系统（临界稳定），在工程上属于不稳定系统。4.2 李雅普诺夫第一法4.2.1 线性系统的稳定判据线性定常系统（1） 平衡状态 渐近稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部。 以上讨论的都是指系统的状态稳定性状态稳定性，或称内部稳定性。但从工程意义上看，往往更重视系统的输出稳定性输出稳定性。 如果系统对于有界输入 所引起的输出 是有界的，则称系统为输出输出稳定稳定。 线性定常系统 输出稳定的充要条件是其传递函数：的极点全部位于s的

10、左半平面。（2）4.2.2 非线性系统的稳定性设系统的状态方程为：（3） 为其平衡状态； 为与 同维的矢量函数，且对工具有连续的偏导数。 为讨论系统在 处的稳定性，可将非线性矢量函数 在 邻域内展成泰勒级数，得：（4）例4-1说明传递函数在未出现零极点对消的现象时，矩阵A的稳定性与传递函数表现出的稳定性一致。式中， 为级数展开式中的高阶导数项。而（5）称为雅可比(Jacohian)矩阵。 若令 ，并取式(4)的一次近似式，可得系统的线性化方程： （6） 在一次近似的基础上，李雅普诺夫给出下述结论： 1)如果方程式(6)中系数矩阵A的所有特征值都具有负实部，则原非线性系统式(3)在平衡状态 ，是

11、渐近稳定的，而且系统的稳定性与 无 关。 2)如果 A A 的特征值，至少有一个具有正实部，则原非线性系统的平衡状态 是不稳定的。 3)如果 A A 的特征值，至少有一个的实部为零。系统处于临界情况，那么原非线性系统的平衡状态 的稳定性将取决于高阶导数项 ，而不能由A A的特征值符号来确定。4.3 李雅普诺夫第二法 李雅普诺夫第二法又称直接法。它的基本思路不是通过求解系统的运动方程，而是借助于一个李雅普诺夫函数来直接对系统平衡状态的稳定性做出判断。它是从能量观点进行稳定性分析的。不必不必求解微分方程，求解微分方程，直接直接判断系统稳定性。判断系统稳定性。系统运动需要能量。系统运动需要能量。在非

12、零初始状态作用下的运动过程中，若能量随时间在非零初始状态作用下的运动过程中，若能量随时间衰减以致最终消失，则系统迟早会达到平衡状态，即系统衰减以致最终消失，则系统迟早会达到平衡状态，即系统渐近稳定渐近稳定。反之，反之，系统则系统则不稳定不稳定。若能量在运动过程中不增不减，则称为若能量在运动过程中不增不减，则称为李雅普诺夫意义下的稳定李雅普诺夫意义下的稳定。 设 为由 维矢量 所定义的标量函数， ，且在 处恒有 。4.3 李雅普诺夫第二法4.3.1 预备知识1.标量函数的符号性质所有在域 中的任何非零矢量 ，如果：2二次型标量函数 二次型函数在李雅普诺夫第二方法分析系统的稳定性中起着很重要的作用

13、。设 为n个变量，定义二次型标量函数为：（8）矩阵 P P 的符号性质定义如下：设P P 为 实对称方阵， 为由P P 所决定的二次型函数。3希尔维斯特判据设实对阵矩阵： 由此可见，矩阵P P 的符号性质与由其所决定的二次型函数 的符号性质完全一致。因此，要判别 的符号只要判别P P 的符号即可。而后者可由P的特征值（正定的充要条件为全为正实）或希尔维斯特(Sylvester)判据进行判定。（9）为其各阶顺序主子行列式：（10）矩阵 定号性的充要条件是：4.3.2 几个稳定性判据用李雅普诺夫第二法分析系统的稳定性，可概括为以下几个稳定性判据。平衡状态为。 设系统的状态方程为：（11）如果存在一

14、个标量函数 ，它满足：2) 是正定的，即当 。 3) 沿状态轨迹方向计算的时间导数 分别满足下列条件： 若 为半负定，那么平衡状态 为在李雅普诺夫意义下稳定。此称稳定判据。 若 为负定；或者虽然 为半负定但对任意初始状态 来说，除去 外，对 不恒为零。那么原点平衡状态是渐近稳定的（个别点与特定曲面相切）。如果进一步还 ，则系统是大范围渐近稳定的。此称渐近稳定判据。1) 对所有z都具有连续的一阶偏导数。若 为正定，那么平衡状态 是不稳定的。此称不稳定判据。例例4 4- -4 4：分析下列系统平衡状态的稳定性。：分析下列系统平衡状态的稳定性。)()(22212122221121xxxxxxxxxx

15、解：解：0 xfx),(t0, 021eexx0ex选取：选取：2221)(xxVx0正定正定 0)(222)(222212211xxxxxxVx负定负定)(,xxV0ex大范围（一致）渐近稳定大范围（一致）渐近稳定2221)(xxVx0)(2)(22221xxVx几何意义：几何意义：)(xV表示系统状态表示系统状态 到空间原点的距离。到空间原点的距离。x)(xV表示状态表示状态 趋向原点的速度。趋向原点的速度。x2 22 2取取V( (x)=)=x1 1 + +x2 2x1 1x2 2x1 1x2 2()0,0Vxx()0,0VxxV增大的方向增大的方向例例4-5 4-5 选取不同的李雅普诺

16、夫函数确定是否为渐近稳定选取不同的李雅普诺夫函数确定是否为渐近稳定例例4-6 4-6 闭环结构不稳定系统的李雅普诺夫方法分析：李雅普闭环结构不稳定系统的李雅普诺夫方法分析：李雅普诺夫意义的稳定，但在经典控制理论中不稳定。诺夫意义的稳定，但在经典控制理论中不稳定。例例4-7 4-7 局部稳定的情况。局部稳定的情况。例例4-8 4-8 不稳定的情况。不稳定的情况。4.3.3 对李雅普诺夫函数的讨论 1) 是满足稳定性判据条件的一个正定的标量函数，且对x应具有连续的一阶偏导数。 2)对于一个给定系统，如果 是可找到的，那么通常是非唯一的，但这并不影响结论的一致性。3) 的最简单形式是二次型函数：P为

17、实对称方阵，其元素可以定常，也可以时变；且不一定是二次型。4)如果 为二次型，且可表示为： 6)由于构造 函数需要较多技巧，因此，李雅普诺夫第二法主要用于确定那些使用别的方法无效或难以判别其稳定性的问题。例如高阶的非线性系统或时变系统。 5) 函数只表示系统在平衡状态附近某邻域内局部运动的稳定情况，丝毫不能提供域外运动的任何信息。V(x）=Ck表示以空间原点为中心的超球面。V(x）则代表状态变量离开原点的距离。 V(x）对时间的偏导则表明了系统相对于原点运动的速度。（12）4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用4.4.1 线性定常连续系统渐近稳定判据设线性定常连续系统为： 则平衡状态 为大范

18、围渐近稳定的充要条件是：A的特征根均具有负实部。（1）0PAPAT命题：命题：如果A的特征根均具有负实部，则存在对称矩阵P，使得设线性定常连续系统设线性定常连续系统选取选取正定正定二次型二次型函数为函数为李雅普诺夫函数李雅普诺夫函数Axx 0 ,)0(0txx0A原点是唯一的平衡状态原点是唯一的平衡状态PxxxTV)(xPxPxxxTTV)(PAxxPxAxTTTxPAPAxTTAxPxPxAxTTQxxxTV)(令令QPAPAT线性定常连续系统线性定常连续系统渐近稳定渐近稳定给定给定0P存在存在0Q满足满足李雅普诺夫矩阵代数方程李雅普诺夫矩阵代数方程QPAPAT线性定常连续系统线性定常连续系

19、统渐近稳定渐近稳定QPAPAT给定给定0P存在存在0Q满足满足李雅普诺夫矩阵代数方程李雅普诺夫矩阵代数方程判别步骤：判别步骤：(2)(2)求解求解QPAPAT(1)(1)选取选取 为为正定正定实实对称对称矩阵（对角阵或单位阵）；矩阵（对角阵或单位阵）；Q(3)(3)若若P P为为正定正定实实对称对称矩阵，则系统渐近稳定。矩阵，则系统渐近稳定。若若 可选取可选取 为为正半定正半定实实对称对称矩阵矩阵Q0)( 0,xxV例：机械位移系统例：机械位移系统 状态方程状态方程21221xmxmkxxx)(),(txtx22121211ppppP21211110 xxxx解法一解法一 选取选取IQ 设设Q

20、PAPAT1001111011102212121122121211pppppppp15 . 05 . 05 . 1PP P正定，故系统平衡状态正定，故系统平衡状态 状态空间原点状态空间原点渐近稳定渐近稳定。22121211ppppP解法二解法二 选取选取1000Q设设QPAPAT1000111011102212121122121211pppppppp5 . 0005 . 0PP P正定，故系统平衡状态正定，故系统平衡状态 状态空间原点状态空间原点渐近稳定渐近稳定。负半定，且不恒为零负半定，且不恒为零PxxxTV)(QxxxTV)(222121xx 正定正定22x同一个系统的李雅普诺夫函数选择同

21、一个系统的李雅普诺夫函数选择不唯一不唯一。例例4-94-9；例例4-104-10解法原理类似。解法原理类似。4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用4.4.2 * 线性时变连续系统渐近稳定判据设线性时变连续系统状态方程为：（2） 则系统在平衡点 处大范围渐近稳定的充要条件为：对于任意给定的连续对称正定矩阵 ，必存在一个连续对称正定矩阵 ，满足：（3）而系统的李雅普诺夫函数为：（4）证明 设李雅普诺夫函数取为：式中， 为连续的正定对称矩阵。取V（x,t）对时间的全导数，得：即（5）式中 由稳定性判据可知，当 为正定对称矩阵时，若 也是一个正定对称矩阵，则 是负定的，于是系统的平衡点便是渐近稳定的

22、。 式(3)是黎卡提黎卡提(Riccati)(Riccati)矩阵微分方程矩阵微分方程的特殊情况，其解为：特别地，当取 时，则得： 式中， 为系统式(2)的状态转移矩阵； 为矩阵微分方程式(3)的初始条件。（6）（7） 式(7)表明，当选取正定矩阵 时，可由函 计算出 ；再根据 是否具有连续、对称、正定性来判别线性时变系统的稳定性。4.4.3 线性定常离散时间系统渐近稳定判据设线性定常离散时间系统的状态方程为：（8）4.4.4 线性时变离散系统渐近稳定判据设线性时变离散系统的状态方程为：（9） 则平衡状态 为大范围渐近稳定的充要条件是，对于任意给定的正定实对称矩阵 ，必存在一个正定的实对称矩阵 ，使得：