第二次：数列的极限

1、 第一章 二二 、收敛数列的性质、收敛数列的性质 一、数列极限的定义一、数列极限的定义 第二节第二节机动 目录 上页 下页 返回 结束 数列的极限数列的极限数学语言描述:r一一 、数列极限的定义、数列极限的定义引例引例. 设有半径为 r 的圆 ,求圆面积。na逼近圆面积 s .当 n 无限增大时, na无限逼近 s, s就叫做这列数的极限,0,n正整数当 n n 时,san用其内接正 n 边形的面积总有刘徽 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义: 自变量取正整数的函数称为数列,记作)(nfxn或.nxnx称为通项(一般项) .若数列nx及常数 a 有下列关系 :,0,n正数当 n n 时,

2、总有记作此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 .几何解释 :aaa)(axan)(nn 即),(axn)(nn axnnlim或)(naxn1nx2nxaxn则称该数列nx的极限为 a ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,1,43,32,21nn1nnxn)(1n,) 1(,43,34,21,21nnnnnxnn1) 1()(1n,2,8,4,2nnnx2)(n,) 1( ,1,1,11n1) 1(nnx趋势不定收 敛发 散机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 已知,) 1(nnxnn证明数列nx的极限为1. 证证: 1nx1) 1(nnnn1,0欲使,1nx即,1n只要1

3、n因此 , 取, 1n则当nn 时, 就有1) 1(nnn故1) 1(limlimnnxnnnn机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 已知,) 1() 1(2nxnn证明.0limnnx证证:0nx0) 1() 1(2nn2) 1(1n11n, ) 1 ,0(欲使,0nx只要,11n即n取, 11n则当nn 时, 就有,0nx故0) 1() 1(limlim2nxnnnn,0111nnnx故也可取1n. 11n 与 有关, 但不唯一.不一定取最小的 n .说明说明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 设,1q证明等比数列,112nqqq证证:0nx01nq, ) 1 ,0(

4、欲使,0nx只要,1nq即,lnln) 1(qn亦即因此 , 取qnlnln1, 则当 n n 时, 就有01nq故0lim1nnq.lnln1qn的极限为 0 . 1nq机动 目录 上页 下页 返回 结束 23baab22abnabax二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质证证: 用反证法.axnnlim及,limbxnn且. ba 取,2ab因,limaxnn故存在 n1 , ,2abnax从而2banx同理, 因,limbxnn故存在 n2 , 使当 n n2 时, 有2banx1. 收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.使当 n n1 时, 2ba2ab2ab假设22abnabbxnba

5、x223ab,2abnbx从而2banx矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当 n n 时, ,max21nnn 取故假设不真 !nx满足的不等式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 证明数列),2, 1() 1(1nxnn是发散的. 证证: 用反证法.假设数列nx收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .取,21则存在 n ,2121axan但因nx交替取值 1 与1 , ),(2121aa内,而此二数不可能同时落在21a21aa长度为 1 的开区间 使当 n n 时 , 有因此该数列发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 收敛数列一定有界收敛数列一定有界.证证: 设,limaxn

6、n取,1,n则当nn 时, 从而有nxaaxna1取 ,max21nxxxma1则有. ),2,1(nmxn由此证明收敛数列必有界.说明说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如,1)1(n虽有界但不收敛 .aaxn)(, 1axn有数列机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 收敛数列的保号性收敛数列的保号性.若,limaxnn且0a,nn则nn 当时, 有0nx, )0(. )0(证证: 对 a 0 , 取,2a,nn则,时当nn axn2anx02aaax2a2a推论推论: 若数列从某项起0nx,limaxnn且0a则)0(. )0(用反证法证明)机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,axkn4. 收敛数列与其子数列间的关系：收敛数列与其子数列间的关系：,a证证: 设数列knx是数列nx的任一子数列 .若,limaxnn则,0,n当 nn 时, 有axn现取正整数 k =n, 于是当kk 时, 有knknk 从而有由此证明 .limaxknk机动 目录 上页 下页 返回 结束 如果数列如果数列 收敛于收敛于 则它的任一子数列也收则它的任一子数列也收敛，且极限也是敛，且极限也是 a .nx内容小结内容小结1. 数列极限的 “ n ” 定义及应用2. 收敛数列的性质:唯一性 ; 有界性 ; 保号