安徽省长丰县实验高级中学人教版高中数学四教案：1.2.1任意角的三角函数第2课时

1、学必求其心得，业必贵于专精1.2.1 任意角的三角函数项目内容课题1.2。1 任意角的三角函数（共2 课时）修改与创新教学目标1。通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义,理解三角函数是以实数为自变量的函数，并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域 ,理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号 .2.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同角的同一三角函数值相等.3.正确利用与单位圆有关的有向线段,将任意角的正弦、余弦、正切函数值表示出来,即用正弦线、余弦线、正切线表示出来.4.能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题 .教学重、教学重点：任意角的正

2、弦、余弦、正切的定义,终边相同的角的同一三角函数值相等。教学难点 :用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数；三角函数符号；利用与单位圆有关的有向线段,学必求其心得，业必贵于专精难点将任意角 的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示.教学准备多媒体课件教学过程教学过程第 2课时导入新课我们研究了三角函数在各象限内的符号,学习了将任意角的三角函数化成0 360 角的三角函数的一组公式 ,前面还分析讨论了三角函数的定义域,这些内容的研究 ,都是建立在任意角的三角函数定义之上的，这些知识在以后我们继续学习“三角”内容时，是经常、反复运用的，请同学们务必在理解的基础上要加强记忆 .由三角函数的定义我们知道，

3、对于角 的各种三角函数我们都是用比值来表示的,或者说是用数来表示的,今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法几何表示法。我们知道 ,直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关。因此自然产生一个想法是以坐标轴的方向来规定有向线段的方向，以使它们的取值与点的坐标联系起来。学必求其心得，业必贵于专精提出问题问题：回忆上节课学习的三角函数定义并思考：三角函数的定义能否用几何中的方法来表示,应怎样表示呢？问题：回忆初中学过的线段,若加上方向会怎样呢?什么是有向线段？活动 :指导学生在平面直角坐标系内作出单位圆，设任意角的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点p(x,y） ，

4、x 轴的正半轴与单位圆相交于a（1，0)，过 p 作 x 轴的垂线，垂足为 m;过 a 作单位圆的切线， 这条切线必平行于y 轴(垂直于同一条直线的两直线平行),设它与角 的终边或其反向延长线交于点t.教师点拨学生观察线段的方向与点 p的坐标 .显然,线段 om 的长度为 |x ,线段 mp 的长度为 |y ,它们都只能取非负值 .当角 的终边不在坐标轴上时 ,我们可以把 om、mp 都看作带有方向的线段：如果 x0,om 与 x轴同向， 规定此时 om 具有正值 x；如果 x0,om 与 x 轴正向相反（即反向） ,规定此时om 具有负值 x，所以不论哪一种情况 ,都有 om=x.如果 y

5、0， 把 mp 看作与 y 轴同向 ,规定此时 mp具有正值 y；如果 y0，把 mp 看作与 y 轴反向，规定此时 mp 具有负值 y,所以不论哪一种情况，都有学必求其心得，业必贵于专精mp=y。引导学生观察om、mp 都是带有方向的线段 ,这种被看作带有方向的线段叫做有向线段。于是，根据正弦、余弦函数的定义,就有sin =ry=1y=y=mp,cos =rx=1x=x=om.这两条与单位圆有关的有向线段mp、om 分别叫做角 的正弦线、余弦线。类似地 ,我们把 oa、 at 也看作有向线段 ,那么根据正切函数的定义和相似三角形的知识，就有tan =xy=oaat=at 。这条与单位圆有关的

6、有向线段at,叫做角 的正切线 .讨论结果 :能。被看作带有方向的线段叫做有向线段.提出问题问题：怎样把三角函数线与有向线段联系在一起？问题：正弦线、余弦线、正切线在平面直角坐标系中是怎样规定的 ?当角 的终边变化时，它们有什么变化 ?活动：师生共同讨论，最后一致得出以下几点：（1）当角 的终边在 y 轴上时，余弦线变成一学必求其心得，业必贵于专精个点，正切线不存在 .(2）当角 的终边在 x 轴上时 ,正弦线、正切线都变成点。(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段 ,所以作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆 .（4)线段有两个端点 ,在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时 ,

7、要先写起点字母 ,再写终点字母，不能颠倒；或者说，含原点的线段,以原点为起点 ,不含原点的线段 ,以此线段与 x 轴的公共点为起点 .（5）三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致,三种有向线段的数量与三种三角函数值相同。正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线.讨论结果 :略。略.示例应用例 1 如图 7, , 的终边分别与单位圆交于点p,q,过 a（1，0)作切线 at，交图 7射线 op 于点 t,交射线 oq 的反向延长线于t , 点p、q 在 x 轴上的射影分别为点m、n,则学必求其心得，业必贵于专精sin = _ ,cos =_，tan = _ ,sin=_,cos = _ ,tan=

8、_.活 动 ： 根 据 三 角 函 数 线 的 定 义 可 知 ，sin =mp,cos =om ， tan =at,sin =nq,cos =on ， tan =at.答案:mp om at nq on at点评： 掌握三角函数线的作法，注意用有向线段表示三角函数线时,字母的书写顺序不能随意颠倒。变式训练利用三角函数线证明|sin +|cos | 1.解:当 的终边落在坐标轴上时 ,正弦(或余弦 )线变成一个点 ,而余弦（或正弦）线的长等于r,所以sin |+ cos =1.当角 终边落在四个象限时，利用三角形两边之和大于第三边有sin + cos |=om|+ mp1， sin + cos

9、 1.例 2 在单位圆中画出适合下列条件的角的终边或终边所在的范围，并由此写出角 的集合：(1)sin=21;学必求其心得，业必贵于专精（ 2)sin21。活动:引导学生画出单位圆 ,对于(1）,可设角 的终边与单位圆交于a(x，y） ，则 sin =y，所以要作出满足 sin =21的终边 ,只要在单位圆上找出纵坐标为21的点 a，则 oa 即为角 的终边；对于（ 2）,可先作出满足 sin =21的角的终边 ,然后根据已知条件确定角的范围。图 8解： （1)作直线 y=21交单位圆于 a 与 b 两点，连结oa，ob,则 oa 与 ob 为角 的终边，如图 8 所示.故满足条件的角的集合为

10、 =2k +6或 =2k +65， k z.（2)作直线 y=21交单位圆于 a 与 b 两点，连结oa,ob,则 oa 与 ob 围成的区域 (如图中的阴影部分 )即为角 的终边所在的范围 .故满足条件的角 的集合为 |2k +6 2k +65， k z 。点评：在解简单的特殊值 (如21，22等)的等式或不等式时，应首先在单位圆内找到对应的终边(作学必求其心得，业必贵于专精纵坐标为特殊值的直线与单位圆相交,连结交点与坐标原点作射线），一般情况下 ,用（0， 2 ) 内的角表示它，然后画出满足原等式或不等式的区域,用集合表示出来。变式训练已知 sin 21，求角 的集合。解 : 作 直 线y=21交 单 位 圆 于 点p,p , 则sin pox=sin p ox=21， 在 0 ， 2） 内 pox=6, p px=65.满足条件的集合为 |2k +6 2k +65,k z.课堂小结本节课我们学习了有向线段的定义,正弦线、余弦线、正切线的定义，这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段 ,其之所以特殊，一是其与坐标轴平行(或重合 )，二是其与单位圆有关， 这些线段分别都可以表示相应三角函数的值，所以说它们是三角函数的一种