九年级数学反比例函数的专项培优练习题含答案

1、九年级数学反比例函数的专项培优练习题含答案、反比例函数1.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y 的图象与一次函数 y=ax+b的图象交于点(1) 求反比例函数和一次函数的解析式；(2) 直线x=1上有一点P,反比例函数图象上有一点Q,若以A、B、P Q为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，直接写出点Q的坐标.A【答案】(1)解：I点A (- 2, 3)在反比例函数 y 的图形上，c=n /, k= 2 × 3 6 ,反比例函数的解析式为 y=-,点B在反比例函数y=-工的图形上， 2m= 6, m=3 , B ( 3, 2),点A, B在直线y=ax+b的图象上，f- 2a b

2、= 5 + b - ?'由丿 ? 一次函数的解析式为 y= x+1(2)解：以A、B、P Q为顶点的四边形是以 AB为边的平行四边形， AB=PQ, AB/ PQ,设直线PQ的解析式为y= x+c,6设点 Q (n,),6 il = n+c,直线PQ的解析式为y= - x+n -,6- P (1, n -E- 1),d 6PQ2= ( n - 1) 2+ ( n -1 + 和)2=2 ( n - 1) 2 , A (- 2, 3). B ( 3,- 2), AB2=50, AB=PQ, 50=2 (n - 1) 2 , n= - 4 或 6,Q (- 4.)或(6, - 1)【解析】

3、【分析】(1 )先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再用待定系数法求出直线解析式；(2)先判断出 AB=PQ, AB/ PQ,设出点 Q的坐标，进而得出点 P的坐标，即可求出 PQ,最后用PQ=AB建立方程即可得出结论.2.如图，点P(X,y1)与Q(X,y2)分别是两个函数图象G与C2上的任一点.当a Xb时，有-1y-y21成立，则称这两个函数在 a X上是 相邻函数”，否则称它们在 a Xb 上是 非相邻函数”.例如，点P (X, y1)与Q (X, y2)分别是两个函数 y=3x+1与y=2- 1 图象上的任一点，当-3 x 1时，y1 - y2= ( 3x+1)

4、-( 2x - 1 ) =x+2,通过构造函数y=X+2并研究它在-3 x1上的性质，得到该函数值的范围是-1 y1所以-1 y-y2l(1) 判断函数y=3x+2与y=2x+1在-2x上是否为 相邻函数”，并说明理由；(2) 若函数y=x2 - X与y=- a在0x上是 相邻函数”，求a的取值范围；(3) 若函数y=阳与y= - 2x+4在1 x上是 相邻函数”，直接写出a的最大值与最小值.【答案】(1)解：是 相邻函数”，理由如下：y1- y2= (3x+2)-( 2x+1) =x+1 ,构造函数 y=x+1, y=x+1在-2 x是随着X的增大而增大，当x=0时，函数有最大值1 ,当X=

5、 - 2时，函数有最小值-1,即-1 y 1 - 1y - y21即函数y=3x+2与y=2x+1在-2 x上是 相邻函数”(2)解：y - y2= (2- x) ( X - a) =x2 - 2x+a,构造函数 y=x2 2x+a,y=x2- 2x+a= (X- 1) 2+ (a - 1),顶点坐标为：(1, a- 1), 又抛物线y=x2-2x+a的开口向上，当x=1时，函数有最小值 a- 1 ,当x=0或x=2时，函数有最大值 a，即a- 1 y ,a .函数y=x2- X与y=- a在0x上是 相邻函数”， - 1 y- y21 即 7 J F 0 a 1(3)解：y1 - y2=工(

6、2x+4) = -I +2x- 4,构造函数 y=I +2x - 4,/ y= +2x- 4当x=1时，函数有最小值 a- 2,当x=2时，函数有最大值，即a- 2y,dT函数y= 与y=- 2x+4在1 X 上是 相邻函数”，aI 9B- - 1 y- y2 1 即 d F A JI , 1 a2 a的最大值是2, a的最小值1【解析】 【分析】(1) y1 - y2= (3x+2)-( 2x+1) =x+1 ,构造函数 y=x+1 ,因为y=x+1在-2x,0是随着X的增大而增大，所以当 x=0时，函数有最大值 1,当x=- 2时，函数有 最小值-1,即-1y,1所以-1y- y2l,即函

7、数y=3x+2与y=2x+1在-2 X上是 相邻 函数”；(2) y1 - y2= (X2- x)-( X- a) =x2- 2x+a,构造函数 y=x2- 2x+a,因为 y=x2 - 2x+a= (X- 1) 2+ (a- 1),所以顶点坐标为：(1, a - 1),又抛物线 y=x2- 2x+a的开口 向上，所以当 x=1时，函数有最小值 a- 1 ,当x=O或x=2时，函数有最大值 a, 即卩a- 1 ya因为函数 y=x2 - X与y=- a在0X2上是 相邻函数”，所以-1y- y2 1,即彳 a0 a1( 3)当x=1时，函数有最小值 a- 2,当x=2时，函数有最大值二，因为函

8、数y= 与y= - 2x+4在1 x2是 相邻函数”，-1 y - y2 1即1 a2所以a的最大值是2, a 的最小值1.3.如图，P1、P2 ( P2在P1的右侧)是y= (k> 0)在第一象限上的两点，点A1的坐标为(2, 0).AI A2X（1）填空：当点 Pi的横坐标逐渐增大时， PiOAi的面积将 （减小、不变、增大）（2 ）若厶PiOAi与厶P2A1A2均为等边三角形， 求反比例函数的解析式； 求出点P2的坐标，并根据图象直接写在第一象限内，当X满足什么条件时，经过点kPi、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= X的函数值.【答案】（i）减小 PiOAi是等边三角形，

9、PiOAi=60 °又 PiB OAi ,* OB=BAi=I , PiB=, Pi的坐标为（i,）,代入反比例函数解析式可得k=.,反比例函数的解析式为y=; 如图所示，过P2作P2C AiA2于点C, F2AiA2为等边三角形， P2AiA2=60 °设 AiC=X 贝U P2C=x,点P2的坐标为（2+x, x）,代入反比例函数解析式可得（2+x）. X=,解得 Xi= - i, x2=- L* - i （舍去），0C=2+kW - 1 =应 + 1 , P2C=观（农1）=卫-3 , 点F2的坐标为（丿包+1 ,心小-/ ）,k当1v x< 品+1时，经过点P

10、1、F2的一次函数的函数值大于反比例函数y=!的函数值【解析】【解答】解：（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，点P1离X轴的距离变小，而0A1的长度不变，故厶P1OA1的面积将减小，故答案为：减小；【分析】（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，点P1离X轴的距离变小，而 0A1的长度不变，故 P1OA1的面积将减小；（2）由A1的坐标为（2，0）， P1OA1是等边三角形， 求出P1的坐标，代入反比例函数解析式即可；由厶P2A1A2为等边三角形，求出点P2的坐标，得出结论4 .如图，RtA ABO的顶点 A是双曲线 y= 与直线 y= - X -（ k+1）在第二象限的交J点.AB丄X轴于B,且SA

11、ABCF .Iy .BO（1）求这两个函数的解析式;（2）求直线与双曲线的两个交点 A、C的坐标和 AOC的面积.【答案】（1）解：设A点坐标为（x, y）,且XV 0, y>0,Il3则 SaABOF f?|BO|?IBAIF 心？（- ） ?y=二， XyF- 3,又y=,即 xy=k,' k= - 3.y=-, y=- x+2；所求的两个函数的解析式分别为(2)解：由 y=- x+2,令 x=0,得 y=2.直线y=- x+2与y轴的交点D的坐标为(0, 2),A、C两点坐标满足k较易，由公式丨-T=2Sxabo, AOC 为 Sx cda+Sa odc 即(k>0)

12、上的点，过点 P作直 (a> 口).设 OPA的面积为交点 A 为(-1, 3), C 为(3, - 1), SAOc=SX oda+S ODC=山 OD? (x+2 )=上 × 2×3+1) =4 .【解析】【分析】两解析式的 k 一样，根据面积计算双曲线中的 可求出k;( 2)求交点就求两解析式联立的方程组的解，可分割 可求出.5.已知：O是坐标原点，P ( m , n)( m > 0)是函数 y= 线PA OP于P,直线PA与X轴的正半轴交于点 A (a, 0)(3)n是小于20的整数，且kF ,求OF2的最小值.【答案】(1)解：过点P作PQ X轴于Q,

13、贝U PQ=n, OQ=m, a= “ =二(2)解：解法一：V OP=AP, PA 0P, OPA是等腰直角三角形. m=n= 1+= ?an.即 n4 - 4n2+4=0,. k2- 4k+4=0, k=2.解法二：V OP=AP, PA OP, OPA是等腰直角三角形. m=n .设厶OPQ的面积为SiS 11 n4则：Si= - 二？mn=匸(1+ / ), 即：n4 - 4n2+4=0, k2- 4k+4=0, k=2.(3)解：解法一：V PA OP, PQ丄 OA, OPQ OAP.sl设： OPQ的面积为Si ,贝yLT =恃 I即:化简得:化简得：2n4+2k2 kn4 -

14、4k=0(k - 2)( 2k- n4) =0, k=2 或 k= （舍去）， 当n是小于20的整数时，k=2.OP2=n2+m2=n2+又 m>0, k=2, n是大于0且小于20的整数.当 n=1 时，OP2=5,当n=2时,当n=3时,OP2=5,当n是大于3且小于20的整数时,即当n=4、5、619时，OF2的值分别是:52+、62+> 32+ 乎.0P2的最小值是5.a的方程，求出 A的坐标；（2）由【解析】【分析】（1）利用 OPA面积定义构建关于已知OP=AP, PA OP,可得 OPA是等腰直角三角形，由其面积构建关于 n的方程，转化为k的方程，求出k; （3）禾U

15、用相似三角形的面积比等于相似比的平方构建关于k的方程，最值问题的基本解决方法就是函数思想，利用勾股定理用m、n的代数式表达 OP2，,在n的6.如图，在平面直角坐标系中， 上，顶点B在第一象限，线段范围内求出OP2的最值. ABC的顶点A在X轴负半轴上，顶点在 轴正半轴网;,的长是一元二次方程的两根，点C的坐标, 为顶点的 的坐标；若(6,0)(2) 若反比例函数'Jr的图象经过点0,求k的值；(3) 如图过点作轴于点 ；在 轴上是否存在点，使以 ，三角形与以，冋， 为顶点的三角形相似？若存在，直接写出满足条件的点(2)解：如图，过点 作，垂足为，-1J/JI6E C =.= 45 ,

16、设L,. VI.1. =12, EC=12-在 Rt BECK k - A ,/. A- (U X)- =£整理得：眉-选：讯隰-：寸解得：I刃=P (不合题意舍去)，卜=-. |去 二止I朋二尸-疔二TJt 常二T把M必代入M ,得 R 16(3)解：存在.如图2 ,3C6即6)则OI如图3解得：0P=2 或 OP=6,解得：OP=12P (0, 2)或 POA Of则若点P在OD上，若 PDBsAAOPy巴JD /LO图3CX若点P在OD上方， PDBS AOPPDDBpo - S 2_ PO04，即 尸0bP (0, 12)yP XK.AO图4CI如图4若点P在OD上方， BD

17、Q AOP,PD Db 则创 OF ,即卩解得：OP=4+2 7或OP=4-2 （不合题意舍去）， P （ 0, 4+2）;如图5,Ss若点P在y轴负半轴， PDB AOP,PD Db则创 Of，即卩OPy 2解得：OP=-4+2 .或-4-2 .（不合题意舍去），则P点坐标为（0，4-2 .）故点的坐标为： 隐鈴或丨匚穆I或或I：隱痊严斛或枣L总:疋【解析】【解答】解：（1）解一元二次方程，解得：=了* = T所以 '-:匚二二所以-盅爛协怨攔【分析】（1）首先利用直接开平方法求出方程的两根，从而得出OA=OC=6进而得出 A,C两点的坐标；（2） 如图，过点 作，垂足为 ，根据等腰

18、直角三角形的性质得出，设I饶EC=12- 在Rt BE（中 利用勾股定理建立方程，求解并检验即可得出BE,OE的长从而得出B点的坐标，然后 禾U用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；（3） 存在. 如图2,若点P在OD上，若 PDB AOP,根据相似三角形对应边成比OA OF二例得出，根据比例式列出方程，求解即可得出P点的坐标；如图3,若点P在PD DBOD上方， PDB AOP,根据相似三角形对应边成比例得出则根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P点的坐标；如图4,若点P在OD上方， PDB AOP,根PD Db据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P点的坐

19、标；如图5，若点P在y轴负半轴， PDBsA AOP,根据相似三角形对应边成比PD DB例得出， 根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P点的坐标，综上所述即可得出答案。7.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限 C, D两点，坐标轴交于 A、B两点，连结 OC, OD ( O是坐标原点).(1) 利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；(2 )求厶DOC的面积.(3)双曲线上是否存在一点P,使得 POC和厶POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由【答案】(1)解：将C(1, 4)代入反比例函数解析式可得：k=4,则反比例函数解析式为:4V=-X将

20、D(4, m)代入反比例函数解析式可得：m=1(2) 解：根据点 C和点D的坐标得出一次函数的解析式为：y=-x+5则点A的坐标为(0, 5),点B的坐标为(5, 0). Sadoc=5 × 5 25 × 1 ÷-5 × 1 ÷ 2=7.5(3)解：双曲线上存在点P(2,2)使得SA POC=S POD,理由如下:TC点坐标为：(1,4),D点坐标为：(4,1),. OD=OC=,当点P在 COD的平分线上时， COP=Z POD,又OP=OP, POCA POD, Sa POCFSA POD.TC点坐标为：(1,4),D 点坐标为：(4,1)

21、,可得 COB= DOA,又I这个点是 COD的平分线与双曲线的 y 交点， BOP= POA, P点横纵坐标坐标相等，即 xy=4， x2=4, X= ±2/x>0, x=2, y=2,故P点坐标为(2,2),使得 POC和厶POD的面积相等利用点CD关于直线y=x对称,P(2,2)或P(-2,-2).答：存在，P(2, 2)或 P(-2, -2)【解析】【分析】(1)观察图像，根据点 C的坐标可求出函数解析式及m的值。(2) 利用待定系数法，由点D、C的坐标求出直线 CD的函数解析式，再求出直线CD与两坐标轴的交点A、B的坐标，然后利用 SDOC=S AOB-S BOC-S

22、AOD ,利用三角形的面积公式 计算可解答。1(3) 双曲线上存在点 P,使得SPOC=S POD ,这个点就是 COD的平分线与双曲线的 y= 交点，易证 POC POD,则POC=Spod ,可得出点P点横纵坐标坐标相等，利用反比 例函数解析式，建立关于X的方程，就可得出点P的坐标，利用对称性，可得出点P的另一个坐标，即可得出答案。&如图，Pi、P2是反比例函数 y= ( k> 0)在第一象限图象上的两点，点Ai的坐标为(4 , 0) 若 pOA与 P2A1A2均为等腰直角三角形，其中点Pi、P2为直角顶占八、(1) 求反比例函数的解析式.(2) 求P2的坐标.根据图象直接写

23、出在第一象限内当X满足什么条件时，经过点kPi、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= i'的函数值.【答案】(1)解：过点Pi作P1BX轴，垂足为B 点Ai的坐标为(4, 0), PiOAi为 等腰直角三角形0B=2, PiB= - OA=2' Pi的坐标为(2, 2)k将Pi的坐标代入反比例函数y= - (k>0),得k=2 × 2=4斗JF 二一反比例函数的解析式为(2) 过点P2作F2C X轴，垂足为C V P2A1A2为等腰直角三角形 P2C=AC设 P2C=AC=a,贝U P2 的坐标为（4+a, a）4将P2的坐标代入反比例函数的解析式为a=“，

24、解得 ai= , a2= -（舍去） P2的坐标为（-'-）时，一次函数的函数值大于反比例函数的值.Pi的坐标，再代入反比例函数求解；( 标设为(4+a, a)P2的横坐标，判断的坐标为(4, 0) , PiOAi为等腰直角三角形，求得2),并代入反比例函数求得X的取值范围.先根据 P2AiA2为等腰直角三角形，将P2的坐a的值，得到P2的坐标；再根据 Pi的横坐标和9.已知一次函数y=- x-i2的图象分别交X轴，y轴于A, C两点。01(1) 求出A, C两点的坐标；(2) 在X轴上找出点 B> ACB AOC,若抛物线过 A, B, C三点，求出此抛物线的解BA向 ABCy

25、=-i2 ；当 y=0 时,x=-16,即 A(-16,0),C(0,-12)析式;(3) 在的条件下，设动点 P Q分别从A, B两点同时出发，以相同速度沿AC、C, A运动，连接 PQ,设AP=m,是否存在 m值，使以A，P, Q为顶点的三角形与 相似？若存在，求出所有 m值；若不存在，请说明理由。(2)解：过C作CB丄AC,交X轴于点B，显然，点B为所求。 则 OC2=OA?OB,此时 OB=9,可求得 B(9,0);7 M此时经过A. B. C三点的抛物线的解析式为 y=把X2+匸-12(3)解：当 PQll BC时,如图(", APQsAACB;则有:25 mW =厉,即反

26、=1当 PQ丄 AB 时, APQS ACB;有:123解得m= P【解析】【分析】(1)令直线的解析式 y=0,可得A的坐标，令x=0,可得C的坐标(2) 要使 ACB AOC,贝U B点必为过C点且垂直于 AC的直线与X轴的交点那么根据射影定理不难得出 B点的坐标，然后用待定系数法即可求得抛物线的解析式( 3)本题可分两种情况进行求解： 当PQ/ BC时， APQsA ACB; 当PQ AB时， APQ ACB可根 据各自得出的不同的对应成比例线段求出m的值点P是边AB上的一动点，连结 DP(1)若将 DAP沿DP折叠，点A落在矩形的对角线上点 A'处，试求AP的长；PE 交 BC

27、 于点 E, 将 DAP 与 PBE 分另IJ沿 DPB处，若 P, A',(2) 点P运动到某一时刻，过点 P作直线 与PE折叠，点 A与点B分别落在点 A',A' &,2 ,试求此时AP的长；(3) 当点P运动到边AB的中点处时，过点B'三点恰好在同一直线上，且P作直线PG交分别沿DP与PG折叠，点 A与点B重合于点F处，连结 CF,BC于点6,将厶DAP与厶PBG请求出CF的长【答案】(1)解：当点A落在对角线BD上时，设AP= PA= x,在 RtA ADB 中， AB= 4, AD= 3, BD=气沪 * = 5,. AB= DA= 3, BA

28、 = 2,在 Rt BPA中，（4 - x） 2= x2+22 ,解得 x=- AP =当点A落在对角线AC上时,由翻折性质可知:PD AC,则有 DAP ABC,ADAL) * BC3X3AB AP的长为山或-J(2)解：如图3中，设AP= X,贝U PB= 4 - X,根据折叠的性质可知：PA= PA = x, PB= PB= 4 - x,T A' =B2, 4 - X - X= 2, X= 1, PA= 1 ;根据折叠的性质可知：PA= PA' = X, PB= PB= 4 - X, A' =B2, x( 4 - X)= 2,. X= 3, PA= 3;综上所述，

29、PA的长为1或3（3）解:如图5中，作FH丄CD由H.B5由翻折的性质可知； AD= DF= 3.BG= BF，G、F、D共线,设 BG= FG= X,在 RtAGCD中，(x+3) 2= 42+ ( 3- x) 2 ,解得 X= , DG= DF+FG= I, CG= BC- BG=15363hFH=,DH=, CH= 4 -【解析】【分析】（1）分两种情形： 当点A落在对角线 BD上时，设 AP=PA =X构建方程即可解决问题；当点A落在对角线AC上时，利用相似三角形的性质构建方程即可 解决问题；（2）分两种情形分别求解即可解决问题；（3）如图5中，作FH丄CD由H.想办法求出FH、CH即

30、可解决问题11.如图，在矩形 ABCD中，AB= 6 , BC= 4,动点Q在边AB上，连接 CQ , 将厶BQC沿 CQ所在的直线对折得到 CQN ,延长QN交直线CD于点M .5CL>WAQ BA1R（备用團）（备用團）(1) 求证：MC= MQ(2) 当BQ= 1时，求DM的长;(3)过点D作DE CQ ,垂足为点E ,直线QN与直线DE交于点F ,且也' ：；,求 BQ的长.【答案】(1)解：证明：I四边形ABCD是矩形， DC AB即 MCQ= CQB, BQC沿CQ所在的直线对折得到 CQN CQN= CQB即 MCQ= MQC,° MC=MQ .(2) 解

31、：四边形ABCD是矩形， BQC沿CQ所在的直线对折得到 CQN, CNM= B=90 °设 DM=X,贝U MQ=MC=6+x, MN=5+x,在 RtA CNM 中，MB2=BN2+MN2 ,即(x+6) 2=42+ (x+5) 2 ,解得：X=, DM=, DM 的长 2.5.(3) 解：解：分两种情况：当点M在CD延长线上时，如图所示：由（1）得 MCQ= MQC,DE CQ, CDE=Z F,又 CDE=Z FDM , FDM=Z F, MD=MF .过 M 点作 MH 丄DF于 H,贝U DF=2DH,DE CQ MH DF, MHD= DEC=90, DM=1 , MC=MQ=7 ,. MN =如-用= BQ= NQ= F当点M在CD边上时，如图所示，类似可求得BQ=2.综上所述，BQ的长为或2.【解析】【分析】(1 )由矩形的性质得出 B=90° , AB=CD=6, CD/ AB