微分几何第三版【梅向明黄敬之编】1

1、第一章曲线论§ 2向量函数5.向量函数r(t)具有固定方向的充要条件是r (t) x r'(t)= 0。分析：一个向量函数r (t) 一般可以写成r(t)= - (t) e(t)的形式，其中e(t)为单位向量函数， (t)为数量函数，那么r (t) 具有固定方向的充要条件是e(t)具有固定方向，即e(t)为常向量，(因为e(t)的长度固定)。证对于向量函数r (t)，设e(t)为其单位向量，则r (t) = (t) e(t)，若r (t)具有固定方向，则e(t)为常向量，那么r'(t)= '(t) e ，所以 r x r' = m( e x e) =0

2、。反之，若 r x r'=0，对 r(t)= (t) e(t)求微商得 r ' = ' e +， e'，于是 r x r'= 2( e x e') =0 ,则有 = o 或 e x e' =0。当 (t) = o 时，r(t) =0 可与任意方向平行；当=0 时，有 e x e' = 0 ,而(e x e' )2 = e2e'2-(e e' )2 = e'2,(因为e 具有固定长，e e' = 0)，所以 e' = 0，即e为常向量。所以，r(t)具有固定方向。-4 -6.向量函数r

3、(t)平行于固定平面的充要条件是(r r'r'') =0。分析：向量函数r (t)平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量n(t)，使r (t) n = 0 ,所以我们要寻求这个向量n及n与r', r''的关系。证 若r (t)平行于一固定平面 n,设n是平面n的一个单位法向量，则n为常向量，且r (t) n = 0。两次求微商得r' n =0 , r'' n = 0 ,即向量r , r', r''垂直于同一非零向量 n,因而共面，即(r r'r'') =0。反之，若(r

4、r' r'') =0,则有r x r' = 0或r x r'=0。若r x r'= 0，由上题知r (t)具有固定方向，自然平行于.-4-一固定平面，若r x r'= 0，则存在数量函数'(t)、(t)，使r''=，r +r' 令n=7 x r'，则n = 0，且r(t)丄n(t)。对n = r x r'求微商并将式代入得n' = r x r''=(? x r')=n ,于是n x n'= 0 ，由上题知n有固定方向，而r(t)丄n，即r (t)平行于

5、固定平面。§ 3曲线的概念1.求圆柱螺线x = cost, y = sint , z =t在(1,0,0 )的切线和法平面。解 令 cost =1, si nt =0, t =0 得 t =0, r'(0)= - si nt , cost ,1 | y =0,1,1,曲线在(0,1,1)的切线为 x 1 二乂 = z，法平面为 y + z = 0。0 1 12.求三次曲线r =at,bt2, ct3在点t0的切线和法平面。r'(t0)二a,2bt0,3ct：，切线为x - at。ay -bt：2btoz ct；法平面为 a（x-at0） 2bt0（y -bt：）3ct

6、：（z-ct；） =0。3.证明圆柱螺线r = a cosas in v,br （ - ： v -）的切线和z轴作固定角。r' kb为定角证明 r'=-a sin v ,a cos，b ,设切线与z轴夹角为,则cos=为常数，故|r|e| Ja2+b2(其中k为z轴的单位向量)。4.求悬链线r = t，a cosh |(- ： t ：)从t =0起计算的弧长。I t解 r'= 1 , sinh £ , | r' | =J1+sinh2 舟=cosh首, s= coshdt = asinh 首。9 .求曲线x3 =3a2y,2xz二a2在平面y二号 与y

7、 = 9a之间的弧长。32y = 9a的交点分别为 x=a与x=3a ,曲线的向量表示为r = x, -笃，J，曲面与两平面3a 2x21,a2a 、2 , I r I2xx4a4x2a21亠一亠4 = -2，所求弧长为a4 4xa2x3a x2a(72务)dx 二 9a 。2x10.将圆柱螺线r =a cost, a si nt , bt 化为自然参数表示。tr ' = -a si nt ,a cost ,b , s = °| r'0t 二.a2 b2t，所以 t代入原方程得 r =a cos, asin Ja2 +b2Ja2 +b2bsa2 b211.求用极坐标方

8、程匸二珥R给出的曲线的弧长表达式。解 由 x =( "cos ：1 , y = Q(v)sin V 知 r' = '()cos： -(Jsin , '()sinv +(v)cosv ,.;>2 P)，从 0到二的曲线的弧长是 s= . -2)?,2)。'0|r' | =§ 4 空间曲线1 .求圆柱螺线x =a cost , y =asi nt, z = b t在任意点的密切平面的方程。解 r '= -a si nt ,a cost ,b , r''=-a cost,- a si nt,0 所以曲线在任意点

9、的密切平面的方程为x-acost y-asint z-bt-a si nta costb-a cost-a si nt0=0 ，即(b si nt )x-(b cost )y+az-abt=0 .2.求曲线r = t si nt,t cost ,t et 在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。解 原点对应 t=0 , r' (0)= sint +t cost, cost - tsint, et+t et t=0,1,1,NXXr ''(0)二2 cost + t cost, cost - tsint ,2 e +t e t=0 =2,0,2所以切线方程

10、是0+专，法面方程是y+z=0x密切平面方程是 02y z11 =0 ，即卩 x+y-z=0 ，0 2"x+y-z=0xvz主法线的方程是丿y即x=-L=z ；y + z = 02-11从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式D =三1 1 -13.证明圆柱螺线 x =acost , y =asint , z = b t的主法线和z轴垂直相交。证 r'=-asi nt,acost,b, r''= -a cost，- a sin t ,0 ，由 r'丄 r''知 r''为主法线的方向向量，而r''k=0

11、 所以主法线与z轴垂直；主法线方程是x - a cost y - asin t _ z - btcostsint0与z轴有公共点(o,o,bt)。故圆柱螺线的主法线和z轴垂直相交。4.在曲线x = cos二cost ,y = cos 二si nt , z = tsin 二的副法线的正向取单位长，求其端点组成的新曲线的密切 平面。 解 r ' = - cossint, cos 二 cost, sin 二 , r' '= -cos -：: cost,- cos 二 si nt , 0 sin : sint，- sin|r' r''|cost , co

12、s新曲线的方程为 r = cos _：: cost + sin 二 sint,cos _：: sint- sin对于新曲线 r ' = - cos -：i sint+ sin二 cost ,cos t cost+ sin二 sint ,sin -：= sin( t -t), cos( 工-t), sin 工,r''= -cos( - -t), sin( : -t),0,其密切平面的方程是x - cos a cos tsin(a -t)-cos(a -t)y - cos as in tcos(a -1)sin (a -1)z tsin asin a-0即 sin 二 si

13、n(t-二)x sin 二 cos(t-tsin -：scos 二=0 .05.证明曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。 证方法一：= 设一曲线为一球面曲线，取球心为坐标原点，则曲线的向径r（t）具有固定长，所以r -r'= 0，即曲线每一点的切线与其向径垂直，因此曲线在每一点的法平面通过这点的向径，也就通过其始点球心。二 若一曲线的所有法平面通过一定点，以此定点为坐标原点建立坐标系，则r ' = 0，r（t）具有固定长，对应的曲线是球面曲线。方法二：r -（t）是球面曲线二存在定点r0 （是球面中心的径矢）和常数 R （是球面的半径）使（，一rJr =r2

14、二 2（r -ro）r ，即（厂 ro）r = 0（*）而过曲线r=：（t）上任一点的法平面方程为（* _r）f“=：o。可知法平面过球面中心：二（*）成立。所以，曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。6.证明过原点平行于圆柱螺线r =a cost , asint , bt 的副法线的直线轨迹是锥面a422（x2 - y2） = bz2.证 r '= -a si nt,acost, r ''= -a cost，- a sin t ,0 , r ' x r''=-a-bs in t,bcost,-a为副法线的方向向 量，过原点平行于

15、副法线的直线的方程是xy z，消去参数t得a2（x2y2bz2。b si nt- b cos t a7.求以下曲面的曲率和挠率131r =a cosht, asinh t, at, r 二a(3t -t(r' r'') 2a cosh t 2a cosh t),3at2,a(3t t')(a ' 0)。 r'二asinh t, acosht, a ,r''= acosht,asinh t,0,r'''=asinh t, cosht,0 ,r' r，a-sinht,cosht,-1，所以 k2cosh

16、t|r'|3(>2acosht)3 2a cosh21(r',r'',r''') r'=3a1 -t2,2t,1 t2,r'' = 6a-t,1,t, r'，6a-1,0,1,r' x r''=18a2t2 T,-2t,t21,|r' r''|18a2 2(t2 1)k =一|r'|27a22.2(t21)33a(t21)2(r',r'',r''')18 6a32(r' r''

17、;)2182a42(t21)2 3a(t21)2 °已知曲线r =cos3t,sin3t,cos2t，求基本向量：，二：曲率和挠率；验证伏雷内公式。来求。分析 这里给出的曲线的方程为一般参数,般地我们可以根据公式去求基本向量和曲率挠率,我们也可以利用定义解 r' = -3cos2 tsin t,3sin2 tcost,_2sin 2t = sin t cost _3cost,3sin t,_4,ds -：|r'(t)| = 5sintcost,(设 sintcost>0 ), dt丄 f3cost,3sint,|r'|555d ： dt133 sint,

18、 cost,0 dt ds5 sin t cost 55:=二sin t,cost,0, h |4 43=：-= cost,sin t,5 55一3 k十|二25 s i nc ots4V =25sin t cost_sin t,-cost,0 ,由于 与方向相反，所以=|25si ntcost显然以上所得二k-, * .满足1cost,si nt,0 也满足伏雷内公式 。5 sin t cost9.证明如果曲线的所有切线都经过一的定点，则此曲线是直线。证 方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r = r(t),则曲线在任意点的切线方程是 -r(t r'(t)，由条件切线都过

19、坐标原点，所以r(tH r'(t)，可见r / r'，所以r具有固定方向，故r = r(t)是直线。方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r = r(t)，则曲线在任意点的切线方程是t _ r (t)r '(t),由条件切线都过坐标原点，所以r(t) =?；j'(t),于是r' = r'',从而r' x r'' = 0 ,所以由曲率的计算公式知曲率k=o,所以曲线为直线。方法三：设定点为r。，曲线的方程为r = r(s)，则曲线在任意点的切线方程是-r(s-：-(s)，由条件切线都过定点ro，所以r

20、76; -r(s)(s)，两端求导得：-C?(s) = M(s)十卅'，即(丸"十1说(s) + 卅'=0，而(s), : (s)无关，所以'0，可知 =0,. '(s)=0，因此曲线是直线。10.证明如果曲线的所有密切平面都经过一的定点，则此曲线是平面曲线。证 方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r = r(t)，则曲线在任意点的密切平面的方程是(r -r(t) (r'(t) r''(t) =0，由条件-r(t) (r'(t)r''(t) =0，即(7 r' r'')

21、 =0，所以 r 平行于一固定平面，即r=r (t)是平面曲线。方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r = r(s),则曲线在任意点的密切平面方程是(r(s) d0，由条件r(s)存=0，两边微分并用伏雷内公式得- .r(s)亡-0。若r(s)芒-0,又由r(s)忌=0可知r (s) / ： =r(s),所以= r (s)平行于固定方向，这时r = r(s)表示直线，结论成立。否则.=0，从而知曲线是平面 曲线。方法三：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r = r(t),则曲线在任意点的密切平面方程是(t -r(t) (r'(t)r''(t) =0 ,

22、由条件-r(t) (r'(t) r''(t) =0 ,即(r r' r'') =0，所以 r , r', r''共面，若 r / r',则r=r(t)是直线，否则可设,' = *，竹=3和'，所以r'：“；”'共面，所以.=°,从而知曲线是平面曲线。11. 证明如果一条曲线的所有法平面包含常向量e，那么曲线是直线或平面曲线。证 方法一：根据已知: 0，若是常向量，则k=|：|=0，这时曲线是直线。否则在:0两边微分得:-e =o, 即卩k -e = o ,所以1e=o，又因

23、: 0，所以 / e，而 为单位向量，所以可知 为常向量，于是|.|=|'|=：0, 即.=0，此曲线为平面曲线。方法二：曲线的方程设为r = r(t)，由条件r' e = o,两边微分得r''e = o, r''' e = o,所以r', r'', r'''共 面，所以(r' r'' r''' )=o。由挠率的计算公式可知 =0,故曲线为平面曲线。当r' x r'' = 0时是直线。方法三：曲线的方程设为r = r(t

24、)，由条件r' e = o,两边积分得(p是常数)。因r e = p是平面的方程，说明曲线r = r(t)在平面上，即曲线是平面曲线，当r'有固定方向时为直线。12. 证明曲率为常数的空间曲线的曲率中心的轨迹仍是曲率为常数的曲线。证明 设曲线(C)： r = r(s)的曲率k为常数，其曲率中心的轨迹(C )的方程为:_A a:=r (s) ：(s),(:为曲线k(C)的主法向量)，对于曲线(C )两边微分得= : (s),-分别为曲线(C)的单位切向量，向量和挠率)，.3k2,曲线(C )的曲率为k +叫3=k为常数。 i.iii丄2t ,z=1-t2为平面曲线，并求出它所在的

25、平面方程证 r'=3+4t, - 2 +10t,-2t,r''=4 , 10, - 2 ,r''' =o, 0, 0(r' r'' r''')4曲线的挠率是20，所以曲线为平面曲线。曲线所在平面是曲线在任一点的密切平面。对于t=o , r =(r *'')1,2 ,1, r'=3, - 2 , o , F''=4 , 10, - 2 , Q' =0, 0 , 0。所以曲线的密切平面，即曲线所在平面是x -1 y -2 z -13 -20 =0 ，即 2

26、x+3y+19z - 27=0.4 10-214. 设在两条曲线 、厂的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行。证 设曲线r： r = r(s)与： r=r(s)点s与s一一对应，且对应点的切线平行，则：(s) = _(S),两端对s求微商得:=-ds,即k"s)»Q(s)色,(这里k= 0,若k=h |=0,则1无定义)，所以一：/ 1 ,即主法线平行，那 dsds么两曲线的副法线也平行。15. 设在两条曲线 r、l的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的主法线平行，证明它们在对应点的切线作固定角。证设a ,a

27、分别为曲线r、的切向量，B , B分别为曲线r、F的主法向量，则由已知P(s) = ±P (M)，而一C ： ) _ ： 一 = k -： k - (s)dsdsdsds常数，故两曲线的切线作固定角。16. 若曲线r的主法线是曲线 的副法线，r的曲率、挠率分别为求证k= '0. 2 + .2),其中'0为常数。证设r的向量表示为r = r (s)，则可表示为? = r(s) + (s) 1 (s)，的切向量 宀=：.+，:(-心+) 与垂直，即 J = =0,所以为常数，设为'0，则J=(1 0k ) + .再求微商有'' = - '0

28、k+(1 ' 0 k) k - +，0'0 2 - ,:''' =(1 0 k) k ' 0 2 = 0,所以有 k= ' 0 2 + 2)。17.曲线 r =a(t-sint),a(1-cost),4acos|在那点的曲率半径最大。-t解 r' = a1-cost,si nt,-2si n ,2r''t=as in t,cost,-cos ,|r'|=2、2 |si J |,22223 t2r x r = a -2 sin ，-2 sin-cos-,4acos-2a2 sin 2 -sin - , cos

29、- ,12 2 2 2 2 2| r' x r''|=2a2 sin2 丄72 , k =丨丨=1 , R = 8a |s i nt | ,2|r|8a|s in,22所以在t=(2k+1)二,k为整数处曲率半径最大。18.已知曲线(C) C3: r =r (s)上一点r (so)的邻近一点r(s -：s)，求r(s -：s)点到r(s。)点的密切平面、法平面、从切平面的距离(设点r (s0)的曲率、挠率分别为0, . 0)。21-13-*1_3解r(so：s) r (so)=r(So).：sr(s°).：sr (s°)亠 & ：s=:- s

30、 ° 飞.：s+23!212 _3、-(k0 .：s0 k00.0 0 ；)ls，设；二 十： ；2 ： 0；3 0，其中l.i$0 ； = 0 。贝V r (s°，ls) r (s°)1231少1313=:s(' 0 ；1) ：S： 0 0 ：S(' 0 ；2)Is ：0 (' 0 0 ；3)：S 06 2 6 6上式中的三个系数的绝对值分别是点r(s0 厶s)到r(s0)的法平面、从切平面、密切平面的距离。§ 5 一般螺线5.证明如果所有密切平面垂直于固定直线,那么它是平面直线证法一：当曲线的密切平面垂直于某固定直线时，曲线的

31、副法向量是常向量即 =0。曲线的挠率的绝对值等于|为零，所以曲线为平面曲线。证法二：设n是固定直线一向量，则r' n=0，积分得r n=p ,说明曲线在以n为法向量的一个平面上，因而为平面直线。证法三：设n是固定直线一向量，则厂n=0，再微分得戶n=0,八'n=0。所以厂、"、三向量共面，于是(r' r''r''') = 0 ,由挠率的计算公式知 =0,因此曲线为平面曲线。7.如果两曲线在对应点有公共的副法线，则它们是平面曲线。证 设一曲线为r : r = r(s)，则另一曲线的表达式为：J =r(s (s) (s) ,

32、(s)为曲线r在点s的主法向量，也应为在对应点的副法线的方向向量。'】'=、*- + “ ! !'与 正交，即'-=0,于是 =0 '为常数。：'=、£ .；.!' , J' = k，一几 I-'.；” 賀（-k：. + .）也与 正交，即了' =.2=o,而，-o,所以有.=o,曲线r为平面曲线。同理曲线 为平面曲线。8.如果曲线r : r = r（s）为一般螺线,'、1为r的切向量和主法向量，R为r的曲率半径。证明":=r1 - 1 ds也是一般螺线。证 因为r为一般螺线，所以存在一非零常向量e使弓与e成固定角，对于曲线=,其切向量 '=R.t R、. - - - - R：与?共线，因此也与非零常向量e成固定角,所以丨也为一般螺线。9 .证明曲线r = r（s）为一般螺线的充要条件为（r,r,r）=0证 r = 汕,r = 一瓷2a +疋B + 心耳r = 一3