微积分一练习题及答案

1、微积分（1）练习题一. 单项选择题1设广仇）存在，则下列等式成立的有（）A. lim./-)-/(Vo)= /U)Ava .AvC lim /(xo + 2A)-/(xo)- /：->()2.hF列极限不存在的有（=/ (xo)c职仕普HeA.lim xsin-4-B.3lim exDlimXT8设/W的一个原函数是£亠，则/（x）=（）A. -2严B£亠C4e亠D一2恥亠2yx.0 < X < 14-函数fM = l 1, A- = l在0,4-0）上的间断点X = 1为（）间断点。1 + X, X > 1A.跳跃间断点；B.无穷间断点；C.可去间

2、断点；P.振荡间断点5. 设函数/（%）在“闰上有定义，在,b）内可导，则下列结论成立的有（）A. 当/3）/0）<0时，至少存在一点使/（幻=0；B. 对任何§（",/?）,有liin/（.v）-/（） = 0 ;Tc.当/（"）=/（）时，至少存在一点（"”），使广（§） = 0；n.至少存在一点弘（询,6. 已知/的导数在x = «处连续，若lim上® = _1,则下列结论成立的有（）F % _ aA. x = a是f（x）的极小值点；Bx = d是/（X）的极大值点；c.(4/)是曲线y =的拐点；n. x =

3、 a不是/(x)的极值点，J)也不是曲线y = fix)的拐点；二. 埴空：1. 设 y = /arcsin 丄,/'可微，则 y'(x) = x)2. 若y = 3“ -2,+x_3 ,贝lj y<6) =3. 过原点(0,1)作曲线)，=戶的切线，贝IJ切线方程为4. 曲线y = §单-2的水平渐近线方程为JC铅垂渐近线方程为5. 设/'(lnx) = l + x,则fx) =/(x) =x+3三. 计算题：A-2limX2 -1(1) limj，+2兀-3(3) lim W.2)(4) y = ln(l-2x)2 求yz xsin 3x e- +

4、/-5x = 0 求字|,=°ax四. 试确定"，b ,使函数他)=严+嘗)+ 2，匕在x = o处连续且可导。01,A" < 0五试证明不等式：当兀>1时，e-x<ex <i(xex +e)2六. 设F(x)=匕八(x > a),其中/在ga)上连续，厂在(匕乜)内存 x-a在且大于零，求证F(x)在(么乜)内单调递增。七. 单项选择题微积分练习题参考答案1. ( B ) 2(C ) 3(A ) 4. ( C5. ( B ) 6(B )八. 埴空：（每小题3分，共15分）2.y=03 y = 2x +14 y = -2 , x =

5、05.广(x)= l + ex, f(x) = x + ex +cV- _ 1三计算题：呗片右2x2x + 2(3) liin ln(1 + A)I。xsin 3x(4) y = ln(l-2x)2 求心lim 巴 + ")j) xsin 3xdy = 2ln(l - 2x)11一2兀(一 2lx=limx2xtO X 3x4血(1-2讥l-2x严+b5x = O 求乎 dx"(y+小')+3才;/一5 = 03b+计又x = O=> y = -九. 试确定a, b,使函数他)=严+嘗)："+ 2'字在% = o处连续且可导。 1,A <

6、; 0(8分)解：/(0 + 0)= lim /?(1 + sin x)+° + 2 = ° + Z? + 2/(o-o)=nmpu-il=o ,函数/(x)在 x = 0 处连续 /(O+O)=/(O-O)x->0a + b + 2 = 0,(1)(0)=血(l + smx)i + 2-g “ + 2»aXrr/n 八-1-a + b + 2. eax 1/_ (0) = Inn = lim= ag(TxX-M) x函数/(X)在x = 0处可导 /；(o) = r(o),故a = b(2)由(1) (2)知o=b = l十.试证明不等式：当兀>1时

7、，e-x<ex <l(xex +e)(8分)2证：(法一)设/(/) = " rel,x则由拉格朗日中值定理有e(x-1) < - e = e (x-1) v1)§ e (l,x)整理得：e-x <ex <-(xex +e)2法二：设 f(x) = ex -exfx)=ex-e>0(x> 1)故 f(x) = ex -ex 在 x>l 时，为増函数，/(x) = ex - ex > /(l) = 0,即 ex > ex设 f(x) = e" - + 防+ e)Jfx) = ex-(ex +xex)=-ex(l-x)<0(x>l) 故 fx) = ex-(xex+e)在2 2 2X>1时,为减函数,f(x) = ex-(ex+xer)< /(l) = 0,即ex <-(xex +e)2 2综上,e.x<e<l(xee)十一. 设 %）=小）7 呗 >“）,其中/在",2）上连续，厂（X）在仏48）内 x-a(5分)存在且大于零，求证F（x）在（匕七）内单调递增。Gv-«