数值分析第五版课后答案

1、2给出/(x) = Iar数值表如下：r0.40.50.60.70.8IlLT-0.916 291一 0.693 147-0.510 826-0. 356 675-0.223 144用线性垢值及二次箱值计算InO. 54的近似值解 依据插值误差估计式选距离054较近的点为插值节点，并建立差商 表如下:x0 = 0. 5X = 0.6Xz = 0. 41.823 2102. 027 325二 一 0.204 115-0.693 147-0.510 826一 0. 916 291写出Newton插值多项式M(h) =0.693 147+ 1.823 210(工一05)N?(j) =4-(-0. 2

2、04 115)(j-0.5)(x0.6)计算近似值M(O54) =0.693 147+ 1.823 210(0.54 -0.5) =0.620 218 6N2(0. 54) = M (0.54)-0.204 115(0. 54- 0.5X0. 54- 0.6) =-0.616 8394设二为互异节点(j = 0.1 山)求证：n(i) 为切(工)三Pd = o, 1，”八99(ii )另(町-(x) = 0 (& = 1, 2,.n).证明(i )令/(工)=工仁若插值节点为场0 = 0,1 ，”).则八刃的并 次插值多项式为仁”(才)=工才仏(丁)插值余项为R尺(工=/(x) L(j

3、t) =-7770/1 (.r)5 十 1)!又因为所以严(C = 0, Rfl(x)二 0所以SS(刃=丿iD L ' ? 'i-o ；-n L ' Z fiI)L ' z z/«o9 *<>' <5设 f(x) 6 C?a$ b且 f(a) = f(b) = 0.求证:£ (")(一刃if = (jr-x)' 三 0max I /(j) IC £(b a)? max I f (x) | gfO证明 令T = «和工=6,以此为插值节点则插值多项式为L (x) = /(a) -

4、+ f(b) 7三 0a bb a应用插值余项公式有I /(-r) L (r) | =/z (?)(x u)(x 6) |£(a,ZO£ max | /7f) I max | (# a)(r ZO | =Z（6 a）? max |（x） |O6.在一 4<r<4上给出f（x） = b的辛距节点函数表，若用分段二次插值求h的近似值，要使微断误差不超过ICT,问使用函数表的步长应取多少？解若插值节点为X,-, , xf和工小则分段二次插值多项式的插值余项为式中爲一1 = X, A = X, + A.（IW e* max | （«r 工尸）（工卫）（才一才沖

5、）| W 0 齐23< W6 得 y 0.006 5&插值点个数44）def叶眾啜”6*】217N 是奇数，故实际可采用的函数值表步长4 （4）fi"4 =畐"006 5797.若 y. = 2" 求 $ y,及 & y.解根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解=（E-（：）（_ lLEy = 2 （：）«_ 1）1”：=（若（：）（_1）_2）几=（2_1） = ” = 2"歹y, = （E? -E*T = （ETt ）4（E- "% =O'、” = £2（弘）=*2 =&如果/

6、（x）是加次多項式，记f（jr） = f（x + h）- /（j-）.证明f（j-）的 k阶差分丁（文）（0 W怡£加）是m-k次多项式，并且A7<x） = 0（2为正 蔓數）.证明 对m次多项式/（£应用Taylor公式有L?'/"）= /（x + A）/（x）= 门刃/1 +务门刃+ 4广"刃 匕！刃！即A/（z）为m-1次的多项式.丁（小= （/（=）,对7«-1 >0次多项式/（工）应用上述推理过程知 （八工）=圧fS 是m-2次的多项式依此过程递推知&/（刃（0$加）为m-k次多项式所以为常数，故丫*了（工

7、）=0（/为正整数）.9. ii明 （/>g*） = /* Ag* + g屮 4几证明 （齐gj = /iigm /*g* = fi gw fkgki + 办 gw 齐 g» =gz （启i 一人）+ /*（gii gJ = gw 5 +15.证明两点三次Hermite *值余项是/?3（-r）= “a f 工及¥ （文工 z？ （如）4!并由此求出分段三次Hermite插值的课差限.证明若工 工-"屮且插值多项式满足条件= /&）比（工屮）=f（Ti）Hj （Xh-j ） = /（x>+i）知描值余项RQ） = /（t）-H.（x）有二重零点

8、心和工1故设R（x）=虹工）（工一及尸（工一0*屮）2确定函数k（x）:当工=及或工屮时k（G取任何有限值均可：当丁工才工屮时，才 （工八工屮），构造关于变ft r的函数 g（r） = /（D-Hj（f） 虹工）（一及严（/一才屮）？ 显然有g（x* ）=0,g（j7）0,&（二屮=0g'QJ = 0） = 0在O- !和!，工屮上对g（x）使用Rolle定理存在中 5 刃及 字G J*ti）使得g'（°） = 0,g'（%）= 0在（小巾），5、/），5、工屮）上对g'Q）使用Rolle定理，存在0 （I*»中）、巾2 （71 %）

9、和阻屮G （少，才屮）使得g气 v»j）= g"（ 712）= g"（ %, i）= 0再依次对g"和广 使用Roh定理，知至少存庄£ （及.工屮）使得 g"（g） = 0而g=rn（O-Hx）4!，将"弋入，得到机工）=ee（二工屮）椎导过程表明E依赖于几，工屮及几综合以上过程可知R（x） = *广'応）（才工 J（JT JT屮）2下面建立分段三次Hermite插值的谋差限.记人（Q为/（刃在0, £上的 基于綽距节点的分段三次Hermite值函数= a +刨（6 = 0, 1.n）, h = b a在小

10、区间及 丁屮上有I 2、人（虫）I = * 丨I（X x*）2（r ）2 <7T max | f） ） max （才一比），（工一工屮尸4! arb而最值max52(5一 I)?护0Wmax （x进而得误差估计I 2) A(J)Kmax |oo4 W16.求一个次数不高于4次的务項式P(P使它满足P(0) = P(0) = 0, P(I) = Pz(l) = 1P(2) = 1.解法一 利用Hermite插值可得到次数不高于4的多项式Xu = 0 才 1 = 11H3（x）= 工恥丿（才）+工巾伤（&）0 /«0切（才）=（_2 匸空）（工一勺）2 = （1 +2z）（

11、x- I）2工。JT | 工u 一一 JT i8（才）=（_2 工二月）（广乜）2 =（3 2匸）土X）如 Xi Xo伐（工）=x（x- I）2向=（x-l）x2所以Hj（工）=（3 2広）才2 + （丁 一】）才？=才+ 2j*2设P（p = H3（h） + A（才一竝工一小）2,其中A为待定常数，令P（2）=1得于是P（T）=丄工讥匸一3尸4建立如下差商表:解法二（带重节点的Newion插值法）00112这样可写出Newton插值公式P(x) = 0十 0(工一0) + 1(丁一0)? - l(.r-0)2(x- 1) 4-4(才 一0”(2 1)2 =工2一十01) + 4-”(工一】)

12、2 =44”（工 _3）?17设/（Q =订占飞在一 5 =工5上取 =10扶爭矩节点求分段线 1 I性插值函數Z*（x）.计算各节点间中点处人（才）与/（x）的值并估计谋差.解 若“ =5工2 = 5,则步长人= = I =-54- ih = 5 +n10）.在区间工工宀上，分段线性插值丙数为11° (x) = /(丄)+ /(g)max45(x jrt )(x .ri41 )2才(1+宀6x2 - 2FTT77工r+1 一攵+不1 + 云 1 + xf+1分段线性插值函数定义如下：仏（工）=肝（刃=亍甘+升佥'xe x,各节点间中点处函数值及插值函数值如下所示:X土 0.

13、5土 15±2.5±3.5±4.5/(j)0. 800 00. 307 70.137 90.075 50.047 1/a（J）0. 750 00. 350 00. 150 0 0. 079 40. 048 6估计误差：在区间工工,+门上I fd) |= yj /*(?)( J X.XXXI) £4- max | fS I max | (工jt,(z 一 不申)| 厶5W5zfj而T =儿+出1r r max I $(£ 1) | =-4令广=筝¥亦> =0得3的驻点0± 1 于是max fix) | = max<

14、 I /*(0) | I f<± 1) |. f (± 5) | = 2 故有结论IW*X2X# = xe右端与，无关故I /（x） fA（x） |<5, 51&求/（x） = X2在s小上的分段线性插值函数并估计误差 解 在区间上= a 亠=九九=才“一兀（0 W i W n 1） h = max ht.函数/（x）在工八工宀上的线性插值西数为2、Q = /（r）幺二"）+/（文沖）*一互=召（如一刃+字（.Z 2xf xr+! x9 hint分段线性插值函数2 2h （:T）=八"（X）=务（g JT）+ -<X X, ）

15、才 丁八 X,+ l误差估计1/（工）一炉（工）|= 右你）（工一工,）（工切）<i- max | fix'） I max | （=才,）（r - g ） | =* X 2 X （乡）=牛工 工八g I /（x） h （工）| £ maxn<ra-1I /（）片（jt） I £ max 与19.求f（工）=P在s 6上的分段Hermite辎值，并估计谋差 解 在区间ob上儿=。亠=h.hi = T, 令h = max A,.g底lI 在区间乂,，Xh-1的Hermite插值函数为/：r,（x） = £（1_2） /£_ZZiiL V

16、+4”（才_工,）（才_ 斗'+X, Xr+1 /X,匸沖 /XX. X,+1 /-Tr+I T, / X|+| Xi J4#+i （x 于）, 文 k J >4-1J-i /估计误差I /（«r）肝（r） | =x, ）?（x xr+i ）2 £7T7 max | /ai （x） | max I （x .r, ）（t Xh-i）I2 = x 24 x j =舘，对于h<Jr)有I /(x) h(x) |< max | /(x) /*B(jr) |< max 靠=鴛20.终定敎抿裹如下:0.250. 300. 390.450. 530. 50

17、0 00. 547 70. 624 50. 670 80. 728 0试求三次样条福值S（j）.并满足条件0.250.250. 300.390.450. 530.531. 000 00. 954 00.853 30.771 70. 715 00. 686 80. 920 0 = /心，x0 xi0. 719 3 = /去，工1 业0. 544 0 = fjcx,比,小0. 405 0 = /xt.工3 9 x4一 0.352 5 = /j：3, x4. x4(j ) S'(0. 25) = 1. 000 0, S'(0 53) = 0. 686 8；(ii)丫(0.25) =

18、口(0.53)=0.解htt = 0. 30 0. 25 =0. 05,h = 0. 39 -0. 30=0. 09h2 0. 45 0. 39 =0. 06.hi = 0. 53 -0. 45=0. 08rfi “- h 小-1h得/田旳h,+h闪=5=订.儿=21143 =3=丁.As = T3s T9入3 =建立差商（均差）表（i）已知一阶导数边界条件弯矩方程组解此方程得2152914392TT394T12 -M-0. 920 0"M?-0. 719 3M：=6一 0. 544 0Ma-0.405 0M-0. 352 5.= 2.027 8.=一 1.464 3. M? =-

19、1.031 3=一 0. 807 2. M, =- 0. 653 9三次样条表达式为L 878 3x3 - 2. 422 7+ 十 1.859 1x4-0. 157 3G0. 25. 0. 300.801 9x3 一 1. 453 8x2 + 1. 568 5x + 0. 186 3“ 60. 622 5x3 一 1.244 Ox2 + 1. 486 6x4-0. 197 0工 60. 30. 0. 390. 39 > 0. 45（0.319 4才彳 一 0.834 8工？ + 1.302 5x + 0. 224 6>x 60.45. 0. 53（II）已知二阶导数边界条件M

20、76; = 0弯矩方程组2350143解此方程得Mi =一 1.880 9.M2 =一 0.861 6. M3 = L030 4x 6 0. 30, 0. 39x 6 0.39 0.45三次样条表达式为（一 6. 269 7F +4. 702 3jr2 -0. 205 9才+ 0.355 5. z 0. 25, 0. 301.887 6x3 - 2. 639 3x2 + 1. 996 6x + 0. 135 3. S（X）= v一 0. 468 9x3 + 0. 117 8x2 +0. 921 3工 + 0.275 1, 2. 146 7x3 - 3.413 2x2 + 2. 510 3才+

21、0.036 7. x 6 O.45 0. 53第三章4计算下列函数/(刃在1上的|11/lh与|f 11“ (1> /(T)(X 1)3| f3 = 斗;解 (1) f (£ = 3(阳一 W 孑 Q" <0, 1),故 #()单增 *II / II x = max |工一1)' | = max I /(0) | * S /(1 > | = 1m V jf£ 1II / IL = J I /<x) I dx = J (1 z)dx =li / ih = P /(x)dx y =17 = 1I /(JT> | <LrII

22、/ II ? = /3 肛=maxI /<0) L /(y )H_+)在 I /(l) I J-y乩 时权函就以工=1十十区间一11益试求首项承教为1的正交多孑式 睜）* n 0% I« 2* £解 任区间一叭上定义内积 5 g> = |'/（j>g（x）p（x）dz<p (r> = 11=（f炉农）_0 =o g、g _ 36 少 517' g，竅、 136/525 1 戸一 ,対）-16715709弱（w）=（囂_ g ）輿血竽=卫一 x18- /（.r） = sin 在1* 1上按勒让德多项式展开求三次最隹平方逼近多顼式.

23、解 记他二为勒it德正交多项式(p“ pj =p;(r)dx =< 7i = 0 1.2-i如十1Q(f><t f) = 0. (/>i f = r, I Pi、f) = 0/r 48(k 10)</>!/)= JJT/(r)的三次最佳平方逼近多项式为吕 S c 丄 12 亠/、1 八、168(/ 10)亠，、2j 7予*/ = ° + F' 3 + ° +Ps 3 =120(21 -2/r?) k 420(/ 10)彳亠:jc 十；P 7t1.553 2jc - 0. 562 2x19观测物体的直.线运动得出以下数提：时间/s0

24、0.91.93.03.95.0距离f/m010305080110求运动方程.解 经描图发现/和$近似服从线性规律故作线性模型& = a + b仁令 Q = span 1. ”.计算离敵内枳有?R(1,1) = £1? = 6.(!./) =另匚= 14.7(f门=£(； = 53. 63SA(1 C = 2801(z> s) = yt,s, = 1 078;=Oj ="求解法方程组得-64. 7 a r 280 -.14. 7 53.63J ib Ll 078.运动方程为a = 7. 855 048 b = 22. 253 765 =- 7.855

25、048 + 22. 253 76f平方误差S2 = £勺心)2 心 2 1 X 10*20.已知实验數据如下：JTi1925313844yi19.032.349.073.397.8用最小二来法求形如y = a十虹2的经验公式并计算均方误差 解 0 spanl.r2 计算离散内积44(1, 1) = 12 = 5,(1. x2)=另才=5 327C尸 e(+ F)=另耳=7 277 69944(1，y) = 271. 4(工？，y) = 乂#» = 369 321. 5/O解法方程组 55 327 * ran r 271.4 -.5 327 7 277 699J LbJ L3

26、69 321. 5.得a q 0. 972 579, b= 0. 050 035均方误差5= xT* =0.122621.在某化学反应中由实验得分解物浓度与时间关系如下：时间/0510152025303540455055滾度y(X 10-4)01. 27 2. 16 2.86 3.44 3. 87 4. IS 4.37 4.51 4. 58 4.62 4.64用聂小二来法求y = /(z).解 观察所给数据特点建立拟合模型y = aeTa,b>0)该模型关于参 数非线性两边取对数得ny = Ina 一记 Ina = A4> = span 1一 |,由于t = 0时条件自然满足，内积

27、(八g> = 丈心g(I经计算有/"f(1. 1) = 11,(1 一 丄)=一 0.603 975(一+ y ) = 0.062 321.(1, Inj) =一 87. 674 095(-y, lnv)= 5.032 489解法方程组II一 6 603 975一 0. 603 975-1 r0. 062 321LAl一 87.674 095-1.5.032 489.得到拟合模型拟合平方渓差得 A =-7.558 781. b=l, 496 163, a = e' = 5. 215 103 X 10*皿% 5y = 5. 215 103e?一_ X 10-4|带=E y

28、亿 一凶丁 = 3. 376 9 X 10y第四章I*踽定下列求积公式中的持定事戟，使其代數精瑞度尽苣高并指明所构 it出的求积公式所具有的代數精度<(1>w 4-i/(-A) + AV(0)(2) /(x)dx A i/(-A) + AJ(0) + Aj/(A)rJ -鼬(3) f(T)djr =J 和一 )+ 2/(q)+3/X比)(4) fA/(.r)dz 吐几卩八人门+曲社十(0 广")1J ii£解 ("将/(工)=b 4 F分别代入公式两端并令其左右相等.得，Ac + An 4 儿=* 2AhA. - + /l4 i = 0<h A_

29、 -F h'Ai =亍川s解博码=旳=£ 九=y.所求公式至少具有2次代数精确度.乂由于J = #(-为)4-令 /?t° d.r H £(力)° -F hr-a33*ALAh故 /(z)dr一力)+斗"(O) +弓/具有3次代数精确度. A3OO(3)当/(x) = 1时易知有P/(.r)d.r = +/(- 1)+ 2/(厂)+ 3/()令求积公式对八文)=x. r准确成立即1 + 2x + 3.tz = 01 + 2卅 + 3x1 = 2则可解得I jj =0. 289 9、 I Xi = 0. 689 9IX2 = 0. 526

30、 6I = 0. 126 6将/(t) = +代入已确定的求积公式，则1 x3dj H £/(- 1)+ 2/(X) + 3/(x2) J-*l0故求积公式具有2次代数精确度所求节点为厂=一02899 心= 0.526 6或X = 0. 689 9. x2 = 0. 126 6.2. 分别用梯形公式和辛普淼公式计算下列积分.«1)f d £ “工刀=8$(2) (* d.r n = 10>(3f y/xdjr n = 4 ；(4)>/4 sin2?如,n = 6.解 (】复化梯形公式n = 8,a = 0,b = 1 /(x) =.h =亠4 +广8T

31、* =夸/(a+ 2 乂 /(及)+ /3)= 0. 111 404 = I复化辛普森公式M = *S =令/(<2)亠 4 7/5+4,) +2另/(工*> +0. Ill 57(3n = 4y=l,6=9/i = 2J(«r)=>/7复化梯形公式为= #/(。)+ 2乞/(£)+/(» = 17. 227 74乙A I复化辛普森公式为s, =+ 4+) + /(» = 17. 322 23. 直接验证柯特斯公式(4.9)具有5次代数精确度.证明 柯特斯公式为/(PcLr =寄7/(如)+ 32/(4 ) + 12/(工2)+ 32/

32、(j-3)+ 7/(xj 令 f(jr) = 1 则/(x)dx = h q“肿 f( j“) + 32/(j|) + 12/(r2 > + 32/(x3)十 7/5 ) = h a令 /(x)=.则/(-r)dj- = xdx = £(/ a?)J wJ aL备*7/(竝)+ 32/(工i)十 12/(x2)+ 32/(-r3 ) + 7£(二)=-y (6? a2) 令 /(x) = jt，得j /(x)dx = J _r'cLr = -y (63 a3)7/(xn) + 32/(j|) + 12/(x2) + 32/(J3 )+7fxK) = -y (6

33、3 a3) 令 /(x) x3,则f /(T)dz = x2djr = a*)Jaa47/(心)+ 32/(t, ) + 12/(x2) + 32/(x3) + 7/(j) = *(" 一 a') 令 /(x) = x1.则J f(jr)<lT = J j4dx =a')7/(%) + 32/() + 12/(工2)+ 32/(匕)+ 7/(x.) = y(6s - a5)令 f(x) = F 则J /(x)d.r = J xsdj = -|-(/ - a")寄7/(几)+ 32*4 ) + 12/(j-2 ) + 32/(乃)+ 7/(q ) = *

34、(胪 一 d)令/（X）=工6 则/（工）血 H 7/（竝）+ 32/（孑）+ 12/（十）+ 32心）+ 7/（/ ） 因此该柯待斯公式具有5次代数精度.4. 用辛普森公式求积分'dj并估计谋差.J0解 S =屿卫e + 4e4 4- e_1 = 0. 632 33 0误差-L X X e,r = 0. 000 35, 代(0, 1)5. 推导下列三种矩形求积公式.(1) 肛=(b-a)/(G +(2) J = (6 a)/(6) (3) (/3壮= aF.解 (】)左矩形公式将fix)在a处展开得/(x) = f(a) + f"()(jr a) f 6 (a, x)两边在

35、"刁上积分得| /(x)djr =(f> a) /(a) + a)djrJ /(r)dx由于x-fl在a. 6上不变号故由积分第二中值定理有可 （s » 使(6 u)/(a) 4- f (>2)(jt a)d«r故有 八刃山=(6-a)f(a) + */z5)(6-a)?, q £ (a, b)右矩形公式同（1）将/'（才）在6点处展开并积分得（3）中矩形公式，将/（刃在宇处展开，得 心=/佇）+门岁）（字）+（W）（工 _ 蔦， £ a、h两边积分并利用积分中值定理得“3也=/（宁）（6 °）十厂（申）专）壮十厂

36、佯（乂_专）3 =（6 - a）/（苓）+*f5）（j一马dr =（b a）/（"j"） + £f（"（b- a）3 , rj （a, b）7.如果/'（工）>0,证明用梯形公式计算积分/= |7<-r）<tr所得结果比准 瑙值/大并说明其几何意义.证明 由梯形公式的余项R（/） = 3/*（ rf）» q （a, 6）知，若f（q）> 0且b>a、则R（f） < 0.从而= T+R（/） V T即计算值比准确值大.其几何意义为./z（x） > 0.故/（t）为下凸函数梯形面积大于曲边梯形 面积

37、如图4. 1所示.&用龙贝格求积分方法计算下列积分使谋差不Mil 10-(2)xsinxdr;O(3) X J1 工,dr. Jo解（1）计算如下表所示,kTW00.771 743 310. 728 069 90.713 512 I20.716 982 80. 713 287 00. 713 272 030. 7)4 200 20. 713 272 60. 713 271 70.713 271 7因此 0. 713 271 1.（2）计算如下表所示:k7Y)03.451 313X)0718. 628 283 X 107-4. 446 923 X 10因此 J 一 4. 446 923

38、X 10 = 0.9.用n = 23的高斯-勒让德公式计算积分*$irudr1解 因为才 1,3,令r =工一2则/ 故j ersinxdx = J eWin(r + 2df当n = 2时.esin-rdx = 0. 555 555 6 X /X 0.774 596 7) + /(0. 774 596 7) +0. 888 888 9 X /(O) = 10. 948 4当n = 3时.AsirLrd.r a 0.347 854 8 X /X0.861 136 3) +/(O. 861 136 3) +0. 652 145 2 X /<- 0. 339 981 0)十 /(O. 339

39、981 0)= 10.950 14】2用下列方法计算积分厲.并比较结呆.(1) 龙贝格方法；(2) 三点及五点高斯公式；(3) 将积分区间四筝分，用复化两点高斯公式. 解(1)计算见下表：68数值分析全析稱解kT1*>T0Ti*»01.333 33311.166 667L 111 11121.116 6671. 100 0001.099 25931. 103 2111. 098 7251.098 6401.098 63141. 099 7681.098 6201.098 6131.098 6131.098 613取 / = 1.098 613.(2) 积分区间13,采用高斯公式

40、时需先变换到一1,叮上.故作变换 y = *(a+6) + *(b- a)/ = t 4- 2则当 y 1，3时，r G 一 1】，且 dy = dr, J：竽=冬. 三点离斯公式ZT2 a °* 555 555 6 ( 2 - 0. 7；4 596 7 + 2 + 0. 74 596 7 )+0. 888 888 9 X = 1-098 039-i FT2 Q 236 926 * ( 2 -0?906 179 8 + 2 +"0 906 179 8)+0. 478 628 912 - 0. 538 469 312 + 0. 538 469 30. 568 888 9 X1

41、2To1.098 609(3) 将区间1. 3四等分在每个小区间上用两点高斯公式得0. 5df2. 5ToT5z°*5X 2.5 + O.5X (-吉)十2.5 + 05>< 壽= 0.405 405 40 5dr3 5 + 0. 5t°-5X3.5 + 0.5X (- *)十 3.5 + 0.5X* = 0.287 671 2严 dy = r 0 5df J2 y J-j 4. 5 + 0. 5f0. 5X14. 5 + 0. 5 X (-壽)+ 4.5 + 0.5X 咅=6 223 140 50e5dz5.5 + 0.51°*5X 55 + 05X

42、(-)+55 + 05X = 0. 182 320 41 = A + h + h + A 1.098 538】3用三点公式和积分方法求/(x) = /一-r在x = 1. 0> 1. 1和1.2处 (1 + JC)的导数值.并估计误圣/(工)的值由下表給出：JT1.01. 11.22、0. 250 00. 226 80.206 6解 由带余项的三点求导公式可知 fZ =帶一 3/G+4/(zJ 心)+与厂(&)/(X.)=寺一/5)+/3) 存厂(&)/<X2) - /(Xn) - 4/(x,) 4- 3/(x2) -h y r<6)£ ( d J7

43、? ) i = O I9 2取上表中竝=l.o, 4 = 1.1, r = 1.2分别将有关数值代人以上三式即可得导数近似值.由于厂(£)IM max | 厂(jt) |= max4!(1+x)5戸=0. 75从而可求得误差上限与导数值如下表所示:X1.01.11.2三点公式一 0. 247-0.217-0. 187误差0. 002 50.001 250. 002 5理论解-0.23一 0. 215 959 4-0. 187 828 7数值积分法.设卩（刃=/（X）.由f（x屮）=/（x*） + f >H y）（x）dxJ对积分采用梯形公式，得/匕屮）=f （如）二卫祕丑）+卩

44、（心+）-)JC）" 彳 X* /、P（P 5）* E 5 才2）令女=0. 1,得°(jrQ + c( j'i ) a 勒/(厂)一 /(Jo) no同样对卩(才i ) + <p(x2) a /(.r2) fx)fp（x）dx有/（.7屮）=+卫山亍°）卩（工屮）+叭工一 ） 一（工n * "11、/*-/12¥（鼻） p （工1 工什 I从而有卩（工0）+ 卩（大2）2 +f（=2）一 /<Xo）代入数值，解方程即得卩（口）仏=0, 1, 2）如下表所示:1.0L 1L2数值解-0. 247-0*217-0.187理论解

45、一 6 25-0, 215 959 4-0. 137 828 7溟羞0.0030.001 040 60.000 828 7第五章1*设才是对祢阵且。訂经过:高斯消去法一步后、A约化为 L 0证明A2是对称紙阵.证明由消元公式及A的对称性得故如是对称矩阵2.设a = y 是苛称正定矩阵，经过高斯消去法一步后a约化为g aj -0 缶其中崗=(跻j证明：(1) A的对角元素站 > 0仁=1- 2, -* W)；(2) A.是对称正定矩阵*证明 (1>因A对称正定.故ait Ae, er) => 0, j = 1 * 2丹由其中哥=(0.0, 1, 0, r 0)T为第f个单位向量

46、.(2)由A的对称性及消元公式得故缶也对称=L.A"1 一空1其中L.=<2| did1 1 S显然Li非奇异VxHO.有Ijx H 0(x, L|ALx) = (Lfx, Al.x) > 0 (由 A 的正定性) 故LAL为正定矩阵.又L.Aty = Q° ，而atl >0,故久为正定矩阵.L o £&用追赶法解三对角方程纽Ar = b其中-2-1一 120_ 1000'0丁0A =0一 12_ 10« b =000_ 12-10-000_ 12.0.解设有分解2一 100O'' a0000-一 12_

47、 100一 1020000_ 12一 10=0_ 10000_ 12_ 100_ 1aj0-000_ 12_000_ 1as-000-0I念000010300001&-00001-由公式)b = a】 C = apib, = a,p,_i +a, i = 2,345c, = aft,i = 2, 3, 4其中bt. at9 c.分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元-1素.故有yi丁r0=0740片-0-6了解得解得10.下述矩阵能否分解为LU（其中L为单位下三角阵为上三角阵）？若能分解那么分解是否唯一？423,1 1r】96 一A =241 B =2 21 c =25

48、15A67.3 3L.61546.解 A中亠=0故不能分解.但det（A） =一10工0故若将A中第一行 与第三行交换则可以分解且分解唯一.B中比= =0但它仍可以分解为-1-11rB =2100 -1_3厶？ 1-_00厶2 -9其中厶？为一任意常数且U奇异故分解不唯一.对 C4 H 0. , = 1 2 3故C可分解且分解唯一.厂-1J 2 6C=2 11 3.6 3L.L11 设A=|"°"0,5计算.4的行范數、列范数、2-范戟以及F-范数.Lo. 1 0.3 II A l| 吹=maxS i知I = i】j-1ata|A|叫II A | FS I如丨=0

49、8 -1aj = vO. 71 0. 8420. 6 0. In r0. 6 0. 5.0.5 0.3Lo. 10.3Am(ATA) = 0.685 34 37 330. 33q0. 34 J故12.求证：II A II 2 = J max (" A) = 0. 827 85 II X II :< II x II I < n | x | >：;(2) II A |i F W A I； 2 W I A ：| F证明 （1）由定义知WZ召臊小纤II X | . < HxL <n|x| “II x !| e :即(2)由范数定义有II A | ; = Am.x

50、(ATA) < A)(ATA) + A?(A7A) 4- +An(ATA)tr(ATA)=为亦 + Sa*- + += S S42? = iiA ii 丨i)丿ldlII A II i =人“(AA) AAll：II FY A II F W II A II 2 II丄Ai (ATA) + A2 (AtA) 4- - -b AR(ATA)=丄 | nn17矩阵第一行乘以一数成为2入 An9证明当入=士 时,Cond(A);e有最小值.证明 设入工0,则3 I A I.II A | * =2.II A'11216 lA 1+3,Cond<A>. = | 4-' f

51、| . I| A N ='M2o故I A I = y时*即A =±y时,Cond(4)有最小值此时min Cond(A) = 7rlOO 991骸设“999计算"条件数S20.一 98一 9999-i一 100.Cond( A)v- = | 4 1 1| A | 屮=39 601r!9 80119 6021Ar A =L19 60219 405 JCond( A);=兀“ A)V 九“(AU)=39 20619*证明：若A是正交綽.则Cond(A)2 = 1.证朋 因A正交故A A = A4t = /, A1 ="*从而有11 A | 3 =ptAJA = y/p(l) = 1! A I II 2