2021年交通大学土木工程专业《高等数学B1》期末考试试卷及答案

1、2021 年交通大学土木工程专业高等数学b1 期末考试试卷专业：姓名：学号：题号一二三四总分得分一、填空题（本大题共10 个小题，每小题 2 分，共 20 分）1、函数162ln 21xfxx的定义域是。2、当定义(1)f时，21( )1xf xx在1x处是连续的。3、已知2225lim32xxxaxx，则a。4、函数1sinfxx的间断点是。5、曲线345yxx在点 0, 5 的切线方程是。6、设xf为可导奇函数，且12f，则1f。7、设( )f x的一个原函数为4x，则( )fx_ 。8、函数1ln2xy的单调增区间为。9、曲线cos ,0,2yx x与坐标轴围成的面积是。10、20cos

2、xdt dtdx。二、选择题（本大题共5小题，每题 3 分，共 15分）11、已知四个命题：（1）若)(xf在0 x点连续，则)(xf在0 xx点必有极限（2）若)(xf在0 xx点有极限，则)(xf在0 x点必连续（3）若)(xf在0 xx点无极限，则)(xf在0 xx点一定不连续（4）若)(xf在0 xx点不连续，则)(xf在0 xx点一定无极限。在以上四个命题中，其中错误的命题的个数是（）a、1 b、2 c、3 d、412、设xf在0 x处可导，则000limxfxfxxx的值是( )a、0 xfb、0 xfc、0 xfd、02xf13、1limsinxxx的值是( )a、1 b、c、不

3、存在d、0 14、下列各式中正确的是（）a、( )( )df x dxf xb、( )( )df x dxf x dxdxc、( )( )df xf xd、( )( )fx dxf xc15、10()xxeedx的值是（） 。a、1eeb、1eec、12eed、12ee得分评卷人得分评卷人高等数学 b1第1页（共 6 页）高等数学 b1第2页（共 6 页）装订线三、计算与解答（本大题共10 小题，每个 5 分，共 50 分）16、求2214lim24xxx 17、求201lim3xxex18、设函数cossinxyexx ，求dy19、已知 y 2x2ln x，求22d ydx。20、设函数

4、y 由方程0 xyxyee所确定，求0 xy21、求函数149323xxxy的凹凸区间。22、计算22xxedx23、计算cosxxdx24、计算21211xxedxe25、计算4011dxx得分评卷人数据结构a卷第5页数据结构a卷第6页装订线高等数学 b1第3页（共 6 页）高等数学 b1第4页（共 6 页）四、证明及应用（本大题共2 小题，共 15 分）26、设0 x，证明ln(1)xx。（7 分）27、 现有一边长为 20cm 长的正方形铁片在四个角上截去四个小方块做成一个底面是正方形的无盖方盒，问应怎样截取，才能使这个无盖方盒的体积最大？最大体积是多少？（8 分）得分评卷人高等数学 b

5、1第5页（共 6 页）高等数学 b1第6页（共 6 页）装订线高等数学b1 期末考试试卷（闭卷）参考答案及评分标准一、填空题（本大题共10个小题，每小题2 分，共 20 分）1、13,02xxx2、2 3、-14 4、0 x5、45yx6、2 7、212x8、0,9、1 10、2cosx二、选择题（本大题共5 小题，每题 3 分，共 15分）11、b 12、c 13、a 14、d 15、d三、计算与解答（本大题共10 小题，每个 5 分，共 50 分）16、求2214lim24xxx 17、求201lim3xxex解：原式224lim22xxxx（3 分）解：原式202lim3xxe（3 分）

6、21lim2xx（4 分）23（5 分）14（5 分）18、设函数cossinxyexx ，求dy解：(e ) (cossin )e (cossin)xxyxxxxe (cossin )e ( sincos )xxxxxx（3 分）e ( 2sin)2e sinxxxx（4 分）2sinexdyxdx（5 分）19、已知 y 2x2ln x，求22d ydx。解：22(2) ln2(ln)4 ln22 (12ln)yxxxxxxxxx（3 分）222 (12ln)2 (12ln)24ln464lnd yyxxxxxxdx（5 分）20、设函数 y 由方程0 xyxyee所确定，求0 xy解：0

7、 xyxyee两边对x求导得0 xyyxyeye，由此得：xyeyyex（3 分）由0 xyxyee及0 x得0y，代入上面得：0 xy=001xxyyeyex（5 分）21、求函数149323xxxy的凹凸区间。解：显然函数的定义域是全体实数(,)2369yxx，666(1)yxx（3 分）由0y解得1x；由0y解得1x（4 分）由凹凸性判别法得：函数的凹区间是(1,)，函数的凸区间是(,1)（5 分）22、计算22xxedx23、计算cosxxdx解：原式 = 22()xedx（3 分）解：原式 =(sin )xdx（3 分）=2xec (5分) =sinsinxxxdx（备注：漏写 c得

8、 4 分，后同） =sincosxxxc (5分) 24、计算21211xxedxe解：22222111(1)ln(1)1212xxxxxedxdeecee21ln(1)2xe是221xxee的一个原函数(3 分)由牛顿 - 莱布尼兹公式：21212212111ln(1)ln(1)ln(1)122xxxedxeeee=222111lnln1212eee（5 分）25、计算4011dxx解：令(0),xt t则2,xt22dxdttdt，: 04, :02xt (2分) 122(2)22ln 1111tdxdtdtttcttx（4 分）4200122ln 142ln 31dxttx（5 分）四、

9、证明及应用（本大题共2 小题，共 15分）26、设0 x，证明ln(1)xx。（7 分）证明：令( )ln(1)f xxx1( )11fxx，当0 x时，1( )101fxx（3 分）( )f x当0 x单调递减。（5 分）0,( )(0)xf xf，而(0)0f，0,( )0 xf x即：( )ln(1)0f xxx，ln(1)xx。（7 分）27、 现有一边长为 20cm长的正方形铁片在四个角上截去四个小方块做成一个底面是正方形的无盖方盒，问应怎样截取，才能使这个无盖方盒的体积最大？最大体积是多少？（8 分）解： 如图：设截去小方块的边长为xcm ，底面正方形的边长为y cm，则由题意得220 xy，202yx于是方盒体积为2223(202 )400804vxyxxxxx（3 分）22400160124(340100)vxxxx，令24(340100)0vxx得驻点10,10