二次根式知识点总结与对应典型例题讲解可用于提高培优

1、二 次 根 式 相 关 知 识 总 结 及典型例题讲解知 识 点 一 ：二 次 根 式 的 概 念【知识要点】 二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义【典型例题】【例1】下列各式1），其中是二次根式的是_（填序号）举一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A、 B、 C、 D、2、在、中是二次根式的个数有_个【例2】若式子有意义，则x的取值范围是举一反三：1、使代数式有意义的x的取值范围是（ ） A、x>3 B、x3 C、 x>4 D 、x3且x42、使代数式有意义的x的取值范围是3、如果代数式有意义，那么，直角坐标系中点P（m

2、，n）的位置在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【例3】若y=+2009，则x+y=解题思路：式子（a0），y=2009，则x+y=2019举一反三：1、若，则xy的值为（ ）A1 B1 C2 D32、若x、y都是实数，且y=，求xy的值3、当取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。已知a是整数部分，b是 的小数部分，求的值。若的整数部分是a，小数部分是b，则。若的整数部分为x，小数部分为y，求的值.知识点二：二次根式的性质【知识要点】 1. 非负性：是一个非负数 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到 2. 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可

3、以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式： 3. 注意：（1）字母不一定是正数（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替 （3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外 4. 公式及的区别及联系 （1）表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数 （2）表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数 （3）和的运算结果都是非负的【典型例题】【例4】若则举一反三：1、若，则的值为。2、已知为实数，且，则的值为（ ）A3B 3C1D 13、已知直角三角形两边x、y的长满足x240，则第三边长为.4、若及互为相反数，则。（公式的运用）【例

4、5】 化简：的结果为（ ）A、42a B、0 C、2a4 D、4举一反三：1、 在实数范围内分解因式: = ；=2、 化简：3、 已知直角三角形的两直角边分别为和，则斜边长为 （公式的应用）【例6】已知,则化简的结果是A、 B、C、D、举一反三：1、根式的值是( )A-3 B3或-3 C3 D92、已知a<0，那么2a可化简为（ ）Aa Ba C3a D3a3、若，则等于（ ）A. B. C. D. 4、若a30，则化简的结果是（ ）(A) 1 (B) 1 (C) 2a7 (D) 72a5、化简得（ ）（A）2（B）（C）2（D）6、当al且a0时，化简7、已知，化简求值：【例7】如果表

5、示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简ab+ 的结果等于（ ） A2b B2b C2a D2a举一反三：实数在数轴上的位置如图所示：化简：【例8】化简的结果是2x-5，则x的取值范围是（ ）（A）x为任意实数 （B）x4 （C） x1 （D）x1举一反三：若代数式的值是常数，则的取值范围是（ ）或【例9】如果，那么a的取值范围是（ ） A. a=0 B. a=1 C. a=0或a=1 D. a1 举一反三：1、如果成立，那么实数a的取值范围是（ ）2、若，则的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）【例10】化简二次根式的结果是（A） (B) (C) (D)1、把二次根式化

6、简，正确的结果是（ ） A. B. C. D. 2、把根号外的因式移到根号内：当0时，；。知 识 点 三：最 简 二 次 根 式 和 同 类 二 次 根 式【知识要点】1、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：被开方数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号2、同类二次根式（可合并根式）： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。【典型例题】【例11】在根式1) ，最简二次根式是（ ） A1) 2) B3) 4) C1) 3) D1) 4)解题思路：掌握最简二次根式的条件。举一反三：1、中的最简二

7、次根式是。2、下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）ABCD3、下列根式不是最简二次根式的是()A.B.C.D.4、下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ (1) (2) (3) (4) (5) (6)5、把下列各式化为最简二次根式： (1) (2) (3)【例12】下列根式中能及是合并的是( )A. B. C.2 D. 举一反三：1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（ ） A、 B、 C、 D、2、在二次根式：；中，能及合并的二次根式是。3、如果最简二次根式及能够合并为一个二次根式, 则a=_.知 识 点 四：二 次 根 式 计 算分 母 有 理 化【知识要点】 1分母有理化定义

8、：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。2有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：单项二次根式：利用来确定，如：，及等分别互为有理化因式。两项二次根式：利用平方差公式来确定。如及，分别互为有理化因式。3分母有理化的方法及步骤：先将分子、分母化成最简二次根式；将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；最后结果必须化成最简二次根式或有理式。【典型例题】【例13】 把下列各式分母有理化（1） （2） （3） （4）【例14】把下列各式分母有理化（1） （2） （3） （4）【例15】把下列各式分母有理化：

9、（1） （2） （3）举一反三：1、已知，求下列各式的值：（1）（2）2、把下列各式分母有理化：（1） （2） （3）小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类： 及；             及；及；      及知 识 点 五：二 次 根 式 计 算【二次 根式 的 乘除 】【知识要点】 1积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。=·（a0，b0）2二次根式的乘法法

10、则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。·（a0，b0）3商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根=（a0，b>0）4二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。=（a0，b>0）注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式【典型例题】【例16】化简(1) (2) (3) (4)() (5) ×【例17】计算（1）   （2）   

11、    （3）   （4）（5）       （6）   （7）          （8）【例18】化简： (1) (2) (3) (4)【例19】计算：(1) (2) (3) （4）【例20】能使等式成立的的x的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、无解知 识 点 六：二 次 根 式 计 算 【二次 根 式 的 加 减 】【知识要点】 需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同

12、的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数【典型例题】【例20】计算（1）； （2）；（3）； （4）【例21】 （1） （2）（3） （4）（5） （6）知 识 点 七：二 次 根 式 计 算【二 次 根 式 的 混 合 计 算 及 求 值 】【知识要点】 1、确定运算顺序；2、灵活运用运算定律； 3、正确使用乘法公式；4、大多数分母有理化要及时；5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；【典型习题】1、2、 (2+43)3、 ·（-4）÷ 4、5、） 6、7、8、【例21】1已知：，求的值2已知，求的值。3已知：，求的值4求的值5已知、是实数，且，求的值知 识 点 八 ：根 式 比 较 大 小【知识要点】 1、根式变形法 当时，如果，则；如果，则。2、平方法 当时，如果，则；如果，则。3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。4、分子有理化法 通过